Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-11-22 | 357 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пример 2.
=
= = = =
Пример 3.
= - =
=- ()=-
Вычисление определенного интеграла по частям:
Используем формулу:
-
Пример 4.
=
- + =
=()+ -1-1= -2;
Пример 5.
=-6xctgx + =
=-6· -6· +ln|sinx| =π + ln|sin |- ln|sin |=
= π + ln1- ln = π + 0+ln2= π +ln2
ЗАДАЧА 7. НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ
Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью , прямыми , и графиком непрерывной на отрезке функции , которая не меняет знак на этом промежутке.
Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:
Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу .
Определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры.
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .
Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):
О какой площади идет речь, очевидно. Решение продолжается так:
На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:
Ответ:
После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ.
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.
Решение: Выполним чертеж:
Если криволинейная трапеция расположена под осью (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле:
В данном случае:
Ответ:
Внимание! Не следует путать два типа задач:
1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.
2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.
|
Пример 3. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
, .
Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Это можно сделать решив уравнение или построив линии поточечно. Решим уравнение:
Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования .
Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:
А теперь рабочая формула: Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми , , можно найти по формуле:
Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ.
В рассматриваемом примере, очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть
Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
На отрезке , по соответствующей формуле:
Ответ:
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,
, , .
Решение: Сначала выполним чертеж:
Фигура, площадь которой нам нужно найти, представлена крупной штриховкой (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!).
Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:
1) На отрезке над осью расположен график прямой ;
2) На отрезке над осью расположен график гиперболы .
Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:
Ответ:
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
,
Представим уравнения в явном виде , и выполним поточечный чертеж:
|
Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: .
Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое? Может быть ? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что . Или корень. А если мы вообще неправильно построили график?
В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.
Найдем точки пересечения прямой и параболы .
Для этого решаем уравнение:
,
Действительно, .
На отрезке , по соответствующей формуле:
Ответ:
Пример 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
, ,
Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже.
С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия: – «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение:
На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:
Используем основное тригонометрическое тождество в виде
Проведем замену переменной , тогда:
Новые пределы интегрирования:
(4) Здесь мы использовали свойство определенного интеграла , расположив пределы интегрирования в «привычном» порядке
Ответ:
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!