Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-11-22 | 603 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение. Последовательность называется бесконечные малой, если для любого положительного числа ε можно указать номер N такой, что при все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству .
Любая бесконечно малая последовательность является ограниченной.
Определение. Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен 0. То есть, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.
Определение. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа A можно указать номер N такой, что при все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству .
Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Но не каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3,... 1, n,... не является бесконечно большой, так как при A > 1 неравенство не выполняется для с нечетными номерами
Пример 21. Последовательности n, 2 n являются бесконечно большими.
Следует различать неограниченную и бесконечно большую последовательности. Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, однако неограниченная не обязательно является бесконечно большой. Рассмотрим следующий пример.
Пример 22. Пусть xn = 1,1/2,3,1/3,5,1/4,..., нетрудно заметить, что данная последовательность состоит из двух составляющих, а именно x2k-1 = 2k-1, x2k = 1/(k+1). Данная последовательность неограниченная, так как содержит неограниченную составляющую x2k-1 = 2k-1, но не является бесконечно большой, так как содержит вторую часть x2k = 1/(k+1).
|
Пример 22. Пусть xn = 1,1/2,3,1/3,5,1/4,..., нетрудно заметить, что данная последовательность состоит из двух составляющих, а именно x2k-1 = 2k-1, x2k = 1/(k+1). Данная последовательность неограниченная, так как содержит неограниченную составляющую x2k-1 = 2k-1, но не является бесконечно большой, так как содержит вторую часть x2k = 1/(k+1).
Очевидно следующее утверждение.
Лемма 1. Если n — бесконечно малая последовательность, то 1 / n —бесконечно большая последовательность.
Пример 23. Пусть n = 1/n, которая является бесконечно малой, тогда последовательность n = 1/ n = n будет бесконечно большой.
Теорема 5. Для того чтобы последовательность { xn } имела предел, равный A необходимо и достаточно, чтобы ее члены имели вид
xn = A+ n,
где
lim n n = 0.
Справедливы следующие свойства бесконечно малых последовательностей, которые легко получить из определения бесконечно малой последовательности.
Теорема 6. (свойства бесконечно малых последовательностей)
Бесконечно малые последовательности имеют следующие свойства.
1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность.
2. Бесконечно малая последовательность ограничена.
3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.
4. Если { xn } – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого N, определена последовательность {1/ xn }, и она есть бесконечно малая последовательность. Наоборот, если { xn } – бесконечно малая последовательность и все xn отличны от нуля, то {1/ xn } есть бесконечно большая последовательность
1..
Следствие 1. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
|
Теорема 5. предел последовательности равен тогда, и только тогда, когда представимо в виде суммы , где - бесконечно малая.
Теорема 8. Сходящаяся числовая последовательность ограничена.
Доказательство. Пусть – сходящаяся к числу а, тогда , где . Так как бесконечно малая последовательность ограничена, то $ такое число , что для всех выполняется . Поэтому для всех , а это и означает, что последовательность ограничена.
Рассмотренные последовательности являются бесконечно малыми. Последовательность , как следует из (2), отличается от 1 на бесконечно малую , и потому предел этой последовательности равен
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!