Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-11-22 | 131 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ИНТЕГРАЛЬНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
Студент должен знать:
- понятие случайной величины и ее виды;
- способы задания случайной величины;
- закон распределения случайной величины;
Студент должен уметь:
- строить ряд распределения случайной величины;
- находить функцию распределения случайной величины.
Литература: [5] стр.60-72.
Основные теоретические сведения
Величина, которая в результате опыта может принимать те или иные значения называются случайной величиной. Например, время ожидания автобуса на остановке, число свободных мест в вагоне поезда и т. д. Обозначать случайные величины будем заглавными латинскими буквами X, Y, Z и т. д.
Случайная величина называется дискретной, если мы можем перечислить все ее возможные значения и указать вероятность каждого значения.
Возможных значений может быть бесконечно много. Обычная дискретная величина задается рядом распределения в виде следующей таблицы.
X | ... | ||||
P | ... |
Здесь, - все возможные различные значения случайной величины, а - вероятности, с которой случайная величина принимает соответствующие значения,
Не всегда можно задать случайную величину, указав вероятность каждого отдельного значения. В ряде случаев вероятность каждого отдельного значения равна 0. Любую случайную величину можно задать, указав ее функцию распределения.
Функция F(x)=P(X<x) называется интегральной функцией распределения случайной величины X или просто функцией распределения.
Функция распределения обладает следующими свойствами.
1. Монотонностью, то есть, если то
2. Для любых справедливо
3.
С помощью функции распределения можно подсчитать вероятность попадания случайной величины Х в интервал [a, b).
|
Назовем случайную величину непрерывной, если непрерывна ее функция распределения F(x).
Заметим, что в этом случае вероятность каждого значения случайной величины равна нулю.
Будем считать, что существует функция такая, что
при всех .
В этом случае функцию назовем плотностью распределения случайной величины Х или дифференциальной функцией распределения. Справедливо равенство
Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (а,b) можно посчитать по формуле .
Свойство плотности распределения .
Примеры
Пример 1. Имеется 10 деталей, из них 6 стандартные. Составить ряд распределения числа стандартных деталей из двух выбранных.
Решение: Очевидно, что при выборе двух деталей, число стандартных деталей может оказаться равным 0, 1, 2, то есть мы имеем дело с дискретной случайной величиной. Найдем вероятность, с которой принимается каждое значение, и составим ряд распределения. Считаем, что выбор каждой детали равновозможен, и применим для нахождения вероятностей классическое определение.
Число всех возможных исходов для выбора двух исправных деталей равно .
Число благоприятных вариантов для выбора только нестандартных деталей равно .
Число благоприятных вариантов для выбора одной исправной детали равно .
Число благоприятных вариантов для выбора только стандартных деталей равно .
Таким образом,
Составим ряд распределения.
Х | |||
Р |
Для проверки убедимся, что сумма вероятностей равна 1.
Пример 2. В партии из семи деталей четыре окрашенные. Наудачу взяты три детали. Построить ряд и многоугольник распределения случайной величины - числа окрашенных деталей среди отобранных.
Решение: Случайная величина может принять следующие четыре значения: , , , . Вероятности этих значений равны:
, ,
Складывая полученные вероятности, имеем:
.
Составим ряд распределения:
x | ||||
p | 1/35 | 12/35 | 18/35 | 4/35 |
|
Построим многоугольник распределения случайной величины Х (рис.4).
Рисунок 4. Многоугольник распределения
Пример 3. Найти интегральную функцию распределения случайной величины Х, заданной рядом распределения. Построить ее график.
-1 | |||
p | 0,1 | 0,4 | 0,5 |
Решение. Чтобы найти вероятность события Х< x, разобьем числовую ось на интервалы точками – 1, 0 и 2. Если , то событие невозможно и в этом случае . Если то событие имеет место тогда и только тогда, когда , то есть
-1 0 2 х
Если , то событие может произойти только в том случае, если Х = -1 или Х = 0, то есть
И, наконец, если , то событие достоверно и
На координатной плоскости построим график (рис.4).
F(x)
0,5
0,1
-1 0 2 x
Рисунок 5. График интегральной функции распределения
Пример 4. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
X | |||
p | 0,3 | 0,1 | 0,6 |
Найти функцию распределения и начертить ее график.
Решение: Если , то , поскольку случайная величина не принимает значений меньших 1.
Если , то .
Если , то – на этом интервале принимает значение 1 с вероятностью 0,3 и значение 4 с вероятностью 0,1. Поскольку эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей 0,3 + 0,1 = 0,4.
Если , то .
Итак, функция распределения аналитически может быть записана так:
График данной функции:
Рисунок 5. График функции распределения.
Пример 5. Найти функцию плотности непрерывной случайной величины, заданной функцией распределения
Построить графики функций F(x) и f(x). Найти вероятность попадания в интервал .
Решение. Найдем дифференциальную функцию распределения (функцию плотности):
Построим график функции распределения (рис. 6) и график дифференциальной функции распределения (рис. 7)
F(x)
1
0 1 x
Рисунок 6. График интегральной функции распределения
f(х)
0 1 х
Рисунок 7. График дифференциальной функции распределения
Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал
Пример 6. Случайная величина Х задана функцией распределения:
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (0,1).
Решение: Вероятность того, что примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале .
|
Положив , получим:
Пример 6. Разыгрываются две вещи стоимостью по 150 рублей и одна вещь стоимостью 300 рублей. Составьте закон распределения выигрышей, купившего 1 билет из 50.
Решение. Искомая случайная величина Х представляет собой выигрыш и может принимать три значения: х1 = 0, х2 = 150 и х3 = 300 рублей.
Первому результату благоприятствует 47 случаев, второму результату – два случая и третьему – один случай. Найдем их вероятности:
; ; .
Закон распределения случайной величины имеет вид:
Значения xi | |||
Вероятности pi | 0.94 | 0.04 | 0.02 |
В качестве проверки найдем
.
Задачи
1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Х | ||||
Р | 0,3 | 0,1 | 0,4 |
Построить многоугольник распределения и функцию распределения F(x).
2. Дан ряд распределения случайной величины
Х | -2 | -1 | |||
Р | 0,2 | 0,2 | 0,4 | 0,1 |
Требуется: а) построить многоугольник распределения;
б) построить F(x);
в) найти
3. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули 1 шар. Случайная величина Х – число вынутых белых шаров. Построить ряд распределения и функцию распределения F(x).
4. Устройство состоит из 3-х работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.
5. Бросают 3 монеты. Требуются: построить ряд распределения и функцию распределения F(x) случайной величины Е, равную числу выпавших «решек».
6. Построить ряд распределения и функцию распределения F(x) числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если вероятность попадания равна 0,4.
7. В партии из 25 изделий, среди которых имеются 6 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения числа бракованных изделий в выборке.
8. Случайная величина Е задана функцией распределения
Найти: а) f(x); б) ; в) .
9. Дано:
Построить и начертить ее график.
10. Дано:
а) Построить ; б) Найти: .
11. Дано:
Найти и построить ее график
12. Дано:
Найти: построить графики и .
13. Дано:
Найти: построить графики и
14. Дано:
Найти: построить графики и
|
15. Дано:
Найти: построить графики и
16. Дано:
Найти: построить графики и
17. Дано:
Найти: построить графики и
18. Дано:
Найти: построить графики и
19. Дано:
Найти:
20. Дано:
Найти:
21. Дано:
Найти:
22. Дано:
Найти:
23. Дано:
Найти:
24. Дано:
Найти:
25. Дано: Найти: С.
26. Дано: . Найти:
Ответы:
1. 2. в) 0,8. 3.
4.
Х | ||||
Р | 0,729 | 0,243 | 0,027 | 0,001 |
5.
а)
Х | ||||
Р |
б)
6.
Х | ||||
Р | 0,729 | 0,243 | 0,027 | 0,001 |
7.
Х | |||
Р | 0,36 | 0,48 | 0,16 |
8. а) б) 0,25 в) 0,75
9. 10.
11.
20. 1, 25. С=1, 26. .
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!