Теоретические основы моделирования

Моделирование - исследование каких-либо явлений, процессов или систем объектов путем построения и изучения их моделей; использование моделей для определения или уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов. На идее моделирования базируется любой метод научного исследования - как теоретический (при котором используются различного рода знаковые, абстрактные модели), так и экспериментальный (использующий предметные модели).

Важнейшим видом моделирования является математическое моделирование. В этом случае копия моделируемого объекта (модель) представляет собой некоторые математические соотношения (уравнения, зависимости) между параметрами системы. Задавая значения одних параметров и находя из этих соотношений другие, интересующие исследователя параметры, можно тем самым проводить эксперименты с математической моделью. Математическое моделирование, в результате которого получен результат при помощи ЭВМ называется вычислительный эксперимент. Возможности вычислительного эксперимента часто превышают возможности материального моделирования. В некоторых случаях удается провести вычислительный эксперимент тогда, когда натурный в принципе невозможен (задачи прогнозирования, поведение технических систем).

Частным случаем математического моделирования является имитационное моделирование.

Имитационное моделирование - это воспроизведение процессов, происходящих в системе, с искусственной имитацией случайных величин, от которых зависят эти процессы, с помощью датчика случайных чисел или псевдослучайных чисел. Комбинируя детерминированные и стохастические зависимости, составляют алгоритм моделирования системы. Применяя его, получают независимые реализации процесса в заданных условиях использования системы

Имитационное моделирование представляет собой процесс проведения вычислительных экспериментов с математическими моделями, имитирующими поведение реальных объектов, процессов и систем во времени в течение заданного периода.

Одним из видов имитационного моделирования является статистическое имитационное моделирование, позволяющее воспроизводить на ЭВМ функционирование сложных случайных процессов.

Статистическое моделирование – это метод решения вероятностных и детерминированных задач, основанный на эффективном использовании случайных чисел и законов теории вероятностей

Статистическая модель процесса – это алгоритм, с помощью которого имитируют работу сложной системы, подверженной случайным возмущениям; имитируют взаимодействие элементов системы, носящих вероятностный характер.

Таким образом, при имитационном моделировании стохастических систем приходится имитировать случайное событие с заданными вероятностями, случайные величины с заданными распределениями, случайные процессы с заданными характеристиками (математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция). Для имитации случайных величины с заданным распределением нужно иметь генератор (датчик) случайных чисел, генерирующий числа с заданным законом распределения.

 

6.2. Статистическое моделирование данных с использованием программных сред.

Анализ данных средствами Microsoft Excel

Генерация случайных чисел

При реализации статистического моделирования возникает задача получения (генерации) случайных числовых последовательностей с заданными вероятностными характеристиками. Каждое число в модели – это имитация случайного значения какого-либо параметра реального процесса или системы, подверженного случайным возмущениям [1].

Для того чтобы сформировать массив случайных чисел, распределенных по требуемому закону распределения можно воспользоваться функцией Генерация случайных чисел.

Данная функция входит в состав надстройки Анализ данных. Для вызова этой надстройки необходимо на вкладке Данные, в группе Анализ выбрать команду Анализ данных.

 

Рис. 6.1. Окно надстройки Анализ данных

 

В диалоговом окне Анализ данных (рис.6.1)необходимо указать функцию Генерация случайных чисел и нажать OK. Появится соответствующее диалоговое окно (см. рис. 6.2).

В случае отсутствия на вкладке Данные этой надстройки необходимо ее добавить: кнопка «Office» (Файл), выбрать кнопку Параметры Excel (Параметры), в левой части открывшегося окна нажать кнопку Надстройки. Затем в нижней части окна в строке Управление выбрать Надстройки Excel, нажавкнопку Перейти. В открывшемся окне Надстройки выбрать надстройку Пакет анализа.

Рис. 6.2. Диалоговое окно Генерация случайных чисел

 

В диалоговом окне (см. рис. 6.2) необходимо задать следующие параметры:

1. Число переменных – вводится число столбцов значений, в которых будут размещаться сгенерированные в соответствии с заданным законом распределения случайные величины

2. Число случайных чисел – вводится число значений, которое необходимо вывести в каждом столбце выходного диапазона.

3. Распределение – в выпадающем списке выбирается тип распределения, необходимый для генерации случайных чисел.

4. Параметры – вводятся параметры, необходимые для выбираемого распределения.

5. Случайное рассеивание - данный аргумент позволяет при повторных запусках генератора получать те же значения случайных величин, что и при первом. Таким образом, одну и ту же генеральную совокупность случайных чисел можно получить несколько раз. В случае, если этот аргумент не задан (равен 0), при каждом последующем запуске генератора будет формироваться новая генеральная совокупность.

6. Параметры вывода – указывается место, где будет сгенерирован массив.

Рассмотрим использование инструмента примере.

Требуется создать определенное количество случайных чисел, например, 50. Данные числа будут характеризовать какие – то определенные размерные характеристики параметров лесопромышленных процессов (это могут быть параметры лесосечных работ, размеры заготовок, поступающих на конвейер, время на обработку и т.д.).

Вызовем окно надстройки Анализ данных представленным выше способом. Выберем необходимый инструмент - Генерация случайных чисел. Появится диалоговое окно Генерация случайных чисел (см. рис 6.2).

В диалоговом окне (см. рис. 6.2) необходимо задать следующие параметры:

1. Число переменных – нам необходим один столбец данных, поэтому укажем число столбцов 1.

2. Число случайных чисел – укажем 50

3. Распределение– в выпадающем списке выберем тип распределения - нормальное.

4. Параметры– укажем параметры, необходимые для выбираемого распределения (среднее = 15, стандартное отклонение = 3).

5. Случайное рассеивание - данный аргумент задавать не будем.

6. Параметры вывода– выберем опцию Выходной интервал, указав ячейку А1.

В результате получим диапазон ячеек А1:А50, в котором будут представлены сгенерированные случайные числа (рис.6.3). Далее над данными числами можно осуществлять все необходимые расчеты.

Рис. 6.3. Результат использования инструмента Генерация случайных чисел

Построение выборки данных

Генеральная совокупность – это всё множество объектов, обладающих определенным набором признаков (высота, возраст, количество и т.д.), ограниченная в пространстве и времени, входящих в предмет изучения в соответствии с программой исследования.

На практике при проведении исследований часто ограничиваются только выборочным набором объектов из генеральной совокупности, т.е. выборкой.

Выборка (выборочная совокупность). Часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для изучения, с тем чтобы сделать вывод обо всей генеральной совокупности. Для того чтобы результаты, полученные путем изучения выборки, можно было распространить на всю генеральную совокупность.

Случайная выборка строится таким образом, чтобы каждый объект генеральной совокупности имел одинаковую вероятность быть выбранным, и при этом объекты отбираются независимо друг от друга.

Существует два основных типа случайной выборки: выборка без возврата (любой объект может попасть в выборку только один раз) и выборка с возвратом (объект может попасть в выборку более одного раза, т.е. после выбора объект снова возвращается в генеральную совокупность).

В Excel реализованы случайная выборка с возвратом и систематическая выборка с помощью функции Выборка. Вызвать эту функцию можно так же в окне диалога Анализ данных. В этом случае появится диалоговое окно Выборка (см. рис. 6.4).

Рис. 6.4. Моделирование выборки

 

В диалоговом окне необходимо задать следующие параметры:

1. Входной интервал – вводится диапазон ячеек, содержащих анализируемые данные.

2. Переключатель в группе Метод выборки для случайной выборки с возвратом должен быть установлен в положение Случайный. В поле Число выборок вводится количество размещаемых в выходном столбце случайных значений (размер выборки). Для формирования систематической выборки следует выбрать переключатель Периодический и в поле Период указать шаг отбора, элементы будут отбираться через постоянный интервал.

3. Параметры вывода – указывается ячейка, рабочий лист или книга Excel, где будет сгенерирована выборка.

Построение гистограммы

Для графического отображения данных, представляющих вариационный ряд можно построить гистограмму – столбчатую диаграмму частот.

По оси абсцисс откладываются значения границ интервалов, а по оси ординат – частоты в виде столбиков, высота которых соответствует количеству попадания случайной величины в определенный интервал.

В Excel для построения гистограммы применяется функция Гистограмма. Вызвать эту функции можно в окне диалога Анализ данных. Появится диалоговое окно Гистограмма (рис. 6.5).

Рис. 6.5. Построение гистограммы

В диалоговом окне Гистограмма задаются следующие параметры:

1. Входной интервал – вводится диапазон ячеек, содержащих анализируемые данные.

2. В поле Интервал карманов вводится диапазон ячеек, содержащих значения границ интервалов (параметр является необязательным, в этом случае набор интервалов создается автоматически).

3. Параметры вывода – указывается место, где будет указана таблица частот.

4. Для вывода гистограммы следует установить флажок опции Вывод графика. Флажки опций Парето (отсортированная гистограмма) и Интегральный процент (накопленные) частоты следует оставить сброшенными.