Физические основы меаники. Колебания и волны. Молекулярная физика и термодинамика.

Примеры решения задач

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид х = A + B t + C t ³, где A = 5 м, В = 3 м/с, С =1 м/с ³. Найти координату х, скорость υ_х и ускорение а _х точки в момент времени t =2 с.

 

 

Дано: Решение.

х = A + B t + C t ³ Координату х найдем, подставив в уравнение

A = 5 м движения числовые значения коэффициентов

В = 3 м/с А, В и С и времени t:

С = 1 м/с ³ х = 5 + 3∙2 + 1∙2 ³ = 15 м.

t =2 с Мгновенная скорость относительно оси х есть

первая производная от координаты по времени:

х =? υ_х =? а _х =? υ_х = = В + 3 С t ².

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

а _х = = 6 С t.

В момент времени t =2 с

υ_х = 3 + 3 ∙1 ∙2 ² = 15 м/с;

а _х =6 ∙ 1 ∙ 2 = 12 м/с².

Ответ: х = 15 м, υ_х = 15 м/с, а _х = 12 м/с²

 

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону

φ = A + B t + C t ², где A = 10 рад, В = 10 рад/с, С = - 3 рад /с ². Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r = 0,2 м от оси вращения, для момента времени t =3 с.

Дано: Решение.

φ = A + B t + C t ²

A = 10 рад

В = 10 рад/с

С = - 3 рад /с ²

r = 0,2 м

t =3 с

а =?

Рис. 1

Полное ускорение а точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения а _τ, направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения а _n, направленного к центру кривизны траектории (рис. 1)

= _τ + _n.

Так как векторы _τ и _n взаимно перпендикулярны, то модуль полного ускорения

. (1)

Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами

а _τ = ε r, а _n = ω² r,

где ω - модуль угловой скорости тела;

ε - модуль его углового ускорения.

Подставляя выражения а _τ и а _n в формулу (1), находим

. (2)

Угловую скорость ω найдем, взяв первую производную угла поворота по времени:

.

В момент времени t =3 с модуль угловой скорости

ω = |10+2 ∙ (- 3) ∙3| = - 8 рад/с.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

рад/с².

Подставляя выражения ω, ε и r в формулу (2), получаем

м/с².

Ответ: а = 12,86 м/с²

Пример 3. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m = 30 г поднялась на высоту h = 4 м. Определить упругость пружины пистолета, если она была сжата на х = 10 см. Массой пружины и силами трения пренебречь.

Дано: Решение.

m = 30 г Рассмотрим систему пружина-пуля. Так как на тела

h = 4 м системы действуют только консервативные силы, то для

х = 10 см решения задачи можно применить закон сохранения

k =?энергии в механике. Согласно ему полная механическая

энергия Е ₁ системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии Е ₂ в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), то есть

Е ₁ = Е ₂, или

Т ₁ + П ₁ = Т ₂ + П ₂, (1)

где Т ₁, Т ₂, П ₁ и П ₂ – кинетические и потенциальные энергии системы в

начальном и конечном состояниях.

Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид

П ₁ = П ₂. (2)

Примем потенциальную энергию пули в поле сил тяготения Земли, когда пуля покоится на сжатой пружине, равной нулю, а высоту подъема

пули будем отсчитывать от торца сжатой пружины. Тогда энергия системы в начальном состоянии будет равна потенциальной энергии сжатой пружины, то есть , а в конечном состоянии – потенциальная энергия пули на высоте h, то есть .

Подставив выражения П ₁ и П ₂ в формулу (2), найдем

= , откуда

. (3)

Проверим, дает ли полученная формула единицу коэффициента упругости k. Для этого в правую часть формулы (3) вместо величин подставим их единицы (единицу какой-либо величины принято обозначать символом этой величины, заключенным в квадратные скобки):

.

Убедившись, что полученная единица является единицей k (1 Н/м), подставим в формулу (3) значения величин и произведем вычисления:

.

Ответ: k = 235,44 Н/м

Пример 4. Определить число N молекул, содержащихся в объеме V = 1 мм³ воды, и массу m ₁ молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекул.

Дано: Решение.

V = 1 мм³ Число N молекул, содержащихся в некоторой системе

m ₁=? N=? d =? массой m, равно произведению постоянной Авогадро

N _А на количество вещества ν

N = ν N _А.

Так как ν = m / М, где М – молярная масса, то

.

Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим

N = ρ V N _А / M.

Произведем вычисления, учитывая, что М = 18∙10 ^{– 3} кг/моль (табл. 9 приложения).

молекул.

Массу m ₁ одной молекулы можно найти по формуле

m ₁ = М / N _А (1)

Подставив в (1) значения М и N _А, найдем массу молекулы воды.

кг.

Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубическая ячейка) V ₁= d ³, где d – диаметр молекулы. Отсюда

. (2)

Объем V ₁ найдем, разделив молярный объем V _m на число молекул в моле, то есть на N _А.

V ₁ = V _m / N _А. (3)

Подставим выражение (3) в (2).

,

где V _m = М / ρ.

Тогда

. (4)

Проверим, дает ли правая часть выражения (4) единицу длины.

.

Произведем вычисления.

м =311 пм.

Ответ: m ₁ = 2,99∙10 ^{– 26 кг;} N = 3,34∙10 ¹⁹; d = 311 пм

Пример 5. Баллон содержит m ₁ = 80 г кислорода и m ₂ = 320 г аргона. Давление смеси р = 2 МПа, температура Т = 300 К. Принимая данные газы за идеальные, определить объем V баллона.

Дано: Решение.

m ₁ = 80 г По закону Дальтона давление смеси равно сумме

m ₂ = 320 г парциальных давлений газов, входящих в состав смеси.

р = 2 МПа По уравнению Менделеева-Клапейрона, парциальное

Т = 300 К давление р ₁ кислорода и р ₂ аргона выражаются

V =? формулами

р ₁= m ₁ R T / (M ₁ V), р ₁ = m ₂ R T / (M ₂ V).

Следовательно, по закону Дальтона давление смеси газов

р = р ₁ + р ₂, или р = ,

откуда объем баллона

V = . (1)

Произведем вычисления, учитывая, что М ₁ = 32 ∙ 10 ^{– 3} кг/моль, М ₂ = 40∙10 ^{– 3} кг/моль (табл. 9 приложения)

м ³ = 13,1 л.

Ответ: V = 13,1 л

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ № 1

КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Таблица вариантов к контрольной работе №1

Алфавит	Номера задач по первой букве
фамилии	имени	отчества
А,К,Ф
Б,Л,Х
В,М,Ц
Г,Н,Ч
Д,О,Ш
Е,П,Щ
Ё,Р
Ж,С, Э
З,Т,Ю
И,У,Я

 

Например, студент Сиделов Никита Игоревич должен решить следующие задачи: по первой букве фамилии С – (103, 118), по первой букве имени Н – (127, 134) и по первой букве отчества И – (141, 160).

 

101. Мотоциклист за первые 5 мин проехал 3 км, за последующие 8 мин – 9,6 км и за последние 6 мин – 5,4 км. Определить скорость движения мотоциклиста на каждом из трех участков пути; среднюю скорость за все время движения.

102. Товарный поезд длиной L ₁ = 630 м и экспресс длиной L ₂ = 120 м идут по двум параллельным путям в одном направлении со скоростями v ₁ = 48,6 км/ч и v ₂ = 102,6 км/ч соответственно. В течение какого времени экспресс будет обгонять товарный поезд?

103. С аэростата, находящегося на высоте 300 м, упал камень. Через какое время камень достигнет земли, если аэростат опускается со скоростью 5 м/с? Если аэростат поднимается со скоростью 5 м/с?

104. Мальчик бросил горизонтально мяч из окна, находящегося на высоте 20 м. Сколько времени летел мяч до поверхности земли, и с какой скоростью он был брошен, если он упал на расстоянии 6,0 м от основания дома?

105. Какую начальную скорость надо сообщить камню при бросании его вертикально вниз с моста высотой 20 м, чтобы он достиг поверхности воды через 1 с? На сколько дольше длилось бы падение камня с этой же высоты при отсутствии начальной скорости?

106. Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями v ₁ = 36 км/ч и v ₂ = 54 км/ч. Пассажир в первом поезде замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение времени t = 6 с. Какова длина второго поезда?

107. Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою частоту за 1 мин с 300 до 180 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанное им за это время.

108. Точка движется по окружности радиусом 20 см с постоянным тангенциальным ускорением 5 м/с2. Через какое время после начала движения нормальное ускорение точки будет равно тангенциальному?

109. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением: S = A + Bt + Ct2, где А = 3 м, В = 2 м/с, С = 1 м/с2. Найти среднюю скорость и среднее ускорение за первую и вторую секунды его движения.

110. Точка движется по окружности радиусом 2 см. Зависимость пути от времени: S = Сt3, где С = 0,1 см/с3. Найти нормальное и тангенциальные ускорения точки в момент, когда линейная скорость станет равной 0,3 м/с.

111. Горизонтально расположенный диск проигрывателя вращается с частотой 78 об/мин. На него поместили небольшой предмет. Предельное расстояние от предмета до оси вращения, при котором предмет удерживается на диске, равно 7 см. Каков коэффициент трения между предметом и диском?

112. Автомат выпускает 600 пуль в минуту. Масса каждой пули 4 г, ее начальная скорость 500 м/с. Найти среднюю силу отдачи при стрельбе.

113. Диск массой 1 кг и диаметром 60 см вращается вокруг оси, проходящей через центр перпендикулярно его плоскости, делая 20 об/с. Какую работу надо совершить чтобы остановить диск?

114. На наклонной плоскости длиной 13 м и высотой 5 м лежит груз массой 26 кг. Коэффициент трения равен 0,5. Какую силу надо приложить к грузу вдоль плоскости, чтобы втащить груз? Чтобы стащить груз с этой плоскости?

115. Летчик, масса которого равна 80 кг, выполняет мертвую петлю радиусом 25 м. При этом скорость самолета равна 540 км/ч. С какой силой давит летчик на сиденье кресла в нижней точке петли?

116. Поезд, двигаясь равномерно, проходит путь 12 км за 10 мин. Мощность, развиваемая паровозом, 2950 кВт. Определить силу сопротивления движению.

117. Брусок массой 400 г, прицепленный к динамометру, двигают равномерно по горизонтальной поверхности. Динамометр показывает при этом 1 Н. Другой раз брусок двигали по той же поверхности с ускорением. При этом динамометр уже показывал 2 Н. Каким было ускорение?

118. Поезд массой 500 т движется равнозамедленно при торможении, при этом его скорость уменьшается в течение 1 мин от 40 до 28 км/ч. Найти силу торможения.

119. Масса пассажира с лифтом 800 кг. С каким ускорением и в каком направлении движется лифт, если известно, что сила натяжения троса, поддерживающего лифт, Т = 12 кН.

120. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 45 º. Пройдя расстояние 36,4 см, тело приобретет скорость 2 м/с. Чему равен коэффициент трения тела о плоскость?

121. Мальчик спрыгнул с лодки со скоростью 4 м/с. При этом лодка пришла в движение со скоростью 0,5 м/с. Во сколько раз масса лодки больше массы мальчика?

122. Конькобежец, стоя на льду, бросил вперед пятикилограммовую гирю со скоростью 6 м/с. При этом он откатился назад со скоростью 0,5 м/с. Определить массу конькобежца.

123. При ударе двух шаров скорость одного уменьшилась на 2 м/с, а другого увеличилась на 0,5 м/с. Каково отношение масс этих шаров?

124. Из орудия массой 5 т вылетает снаряд массой 100 кг. Кинетическая энергия снаряда при вылете 7,5 кДж. Какую кинетическую энергию получает орудие вследствие отдачи?

125. Камень массой 2 кг упал с некоторой высоты. Падение продолжалось 1,43 с. Найти кинетическую и потенциальную энергию камня в средней точки пути. Сопротивлением воздуха пренебречь.

126. По небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне массой m 1 = 300 кг, ударяет молот массой m 2 = 8 кг. Определить КПД η удара, если удар неупругий. Полезной считать энергию, затраченную на деформацию куска железа.

127. Шар массой m ₁ = 1 кг движется со скоростью v ₁ = 4 м/с и сталкивается с шаром массой m ₂ = 2 кг, движущимся навстречу ему со скоростью v ₂ = 3 м/с. Каковы скорости u ₁ и u ₂ шаров после удара? Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

128. Молекула массой 4,65·10^-26 кг, летящая нормально к стенке сосуда со скоростью 600 м/с, ударяется о стенку упруго и отскакивает от него без потерь. Найти импульс силы F Δ t, полученный стенкой за время удара.

129. Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой m ₁ = 10 г со

скоростью v = 300 м/с. Затвор пистолета массой m ₂ = 200 г прижимается к стволу пружиной, жесткость которой k = 25 кН/м. На какое расстояние отойдет затвор после выстрела? Считать, что пистолет жестко закреплен.

130. Начальная скорость пули 600 м/с, ее масса 10 г. Под каким углом к горизонту она вылетела из дула ружья, если ее кинетическая энергия в высшей точке траектории равна 450 Дж?

131. К пружине подвешен груз массой 10 кг. Зная, что пружина под влиянием силы 9,8 Н растягивается на 1,5 см, определить период вертикальных колебаний груза.

132. Амплитуда гармонического колебания 5 см, период 4 с. Найти максимальную скорость колеблющейся точки и ее максимальное ускорение.

133. Найти разность фаз колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих на расстоянии 2 м друг от друга, если длина волны 1 м.

134. Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4 см от источника колебаний в момент t = T/6 с равно половине амплитуды. Найти длину бегущей волны.

135. Найти длину волны колебания, период которого 10^-14 с. Скорость распространения колебаний 3·10⁸ м/с.

136. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости?

137. Точка совершает гармонические колебания х = Аsin(ω t), где А = 5 см, ω = 2 с^-1. В момент времени, когда точка обладала потенциальной энергией 0,7 мДж, на нее действовала возвращающая сила в 5 мН. Найти этот момент времени.

138. Определить период колебаний математического маятника, если модуль его максимального перемещения 18 см и максимальная скорость 16 см/с.

139. Материальная точка совершает гармонические колебания так, что в начальный момент времени смещение х ₀ = 4 см, скорость v ₀ = 10 см/с. Определить амплитуду и начальную фазу колебаний, если их период Т = 2 с.

140. Шарик массой 60 г колеблется с периодом 2 с. В начальный момент смещение 4 см и он обладает энергией 0,002 Дж. Записать уравнение простого гармонического колебания шарика и закон изменения возвращающей силы с течением времени.

141. Какое число молекул содержится в 1 г водяного пара?

142. Молекула азота летит со скоростью 430 м/с. Найти количество движения этой молекулы.

143. Найти массу атома водорода.

144. В сосуде находится 14 г азота и 9 г водорода при температуре 10 ºС и давлении 1 МПа. Найти молярную массу смеси.

145. 12 г газа занимают объем 4·10^-3 м³ при температуре 7 ºС. После нагревания газа, при постоянном давлении, его плотность стала равна 6·10^-4 г/см³. До какой температуры нагрели газ?

146. Во сколько раз плотность воздуха, заполняющего помещение зимой (7 ºС), больше его плотности летом (30 ºС)? Давление одинаково.

147. Газ нагревается от 27 ºС до 127 ºС. На сколько изменится при этом средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа?

148. Найти отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота при одинаковых температурах.

149. Какой объем занимают 10 г кислорода при давлении 750 мм рт. ст. и температуре 20 ºС?

150. Чему равна энергия вращательного движения молекул, содержащихся в 1 кг азота при температуре 7 ºС?

151. Какое количество теплоты надо сообщить 12 г кислорода, чтобы нагреть его на 50 ºС при постоянном давлении?

152. 7 г углекислого газа было нагрето на 10 ºС в условиях свободного расширения. Найти работу расширения газа и изменение его внутренней энергии.

153. При адиабатическом сжатии 1 кмоль двухатомного газа была совершена работа 146 кДж. На сколько увеличилась температура газа при сжатии?

154. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Определить КПД цикла, если известно, что за один цикл была произведена работа 2,94 кДж и холодильнику было передано 13,4 кДж.

155. 2 кмоля углекислого газа нагревают при постоянном давлении на 50 ºС. Найти изменение его внутренней энергии и количество теплоты, сообщенное газу.

156. Некоторая масса сухого воздуха поднимается в атмосфере в широком потоке такого же воздуха; теплообмен этой массы с внешними телами отсутствует. Каково изменение температуры воздуха при подъеме на высоту 500 м?

157. Какая энергия выделится при слиянии двух капель ртути диаметром 0,8 мм и 7,2 мм в одну?

158. Бутылка, наполненная газом, плотно закрыта пробкой площадью сечения 2 см². Сила трения, удерживающая пробку, 8 Н. Давление газа в бутылке и наружное

давление равны 100 кПа, начальная температура 270 К. Какое дополнительное давление надо создать, чтобы преодолеть силу трения? Какое давление надо создать изнутри, чтобы пробка вылетела из бутылки? До какой температуры надо для этого нагреть газ?

159. Воздушный пузырек диаметром 2,2 мкм, находится в воде у самой ее поверхности. Определить плотность воздуха в пузырьке, если воздух над поверхностью воды находится при нормальных условиях.

160. Открытая стеклянная колба вместимостью 250 см³ нагрета до 127 ºС. После этого ее горлышко опущено в воду, температура которой 7 ºС. Давление постоянное. Какой объем займет воздух в колбе после охлаждения? Сколько воды войдет в колбу?

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2