Понятие математической модели. Типы математических моделей

 

Модель может принимать разнообразные формы, но одна их наиболее полезных и употребительных форм - это математическая, выражающая посредством математических символов существенные черты реальных систем или явлений. К сожалению, не всегда возможно создать математическую модель в узком значении этого слова.

Математическая модель есть приближенное описание объекта (явления, процесса), выраженное с помощью математической символики. Общую схему математического моделирования можно представить в виде, представленном на рис.1.3.

Рис.1.3. Общая схема математического моделирования

 

Математическое моделирование имеет два существенных преимущества перед остальными видами моделирования. Оно дает быстрый ответ на поставленный вопрос, на что в реальной обстановке могут потребоваться иногда даже годы, а также возможность экспериментирования, осуществить которое на реальном объекте зачастую просто невозможно. В ходе моделирования можно получить ответы на бесчисленное число самых разнообразных вопросов.

Постановка задачи и разработка математической модели требуют обращения к предметной области (по управлению, проектированию, разработке технологических процессов). Специалисты в предметной области, как правило, прекрасно знают свой предмет, но обычно не имеют представления о том, что требуется для разработки модели и решения задачи на ЭВМ. Поэтому содержательная постановка задачи зачастую оказывается перенасыщенной сведениями, которые совершенно излишни для работы на ЭВМ.

Хорошую модель составить не просто. Вот что пишет по этому поводу известный математик Р.Беллман [9]: «Если мы попытаемся включить в нашу математическую модель слишком много черт действительности, то захлебнемся в сложных уравнениях, содержащих неизвестные параметры и неизвестные функции. Определение этих функций приведет к еще более сложным уравнениям с еще большим числом неизвестных параметров и функций и т.д. Вот уже поистине сказка про белого бычка. Если, наоборот, оробев от столь мрачных перспектив, вы построим слишком упрощенную модель, то вскоре обнаружим, что она не предсказывает дальнейший ход явлений настолько, чтобы удовлетворять нашим требованиям. Следовательно, Ученый, подобно Паломнику, должен идти прямой и узкой тропой между Западнями Переупрощения и Болотом Переусложнения». Для успеха моделирования надо выполнить три правила, которые, по мнению древних, являются признаком мудрости. Эти правила, применительно к задачам моделирования, формулируются следующим образом:

- уметь отделить главные свойства от второстепенных,

- учесть главные свойства моделируемого объекта,

- пренебрегать его второстепенными свойствами.

В жизни, однако, не всегда легко отделить главное от второстепенного и составить приемлемую математическую модель. И самое печальное, что научить математическому моделированию, наверное, в какой-то степени так же трудно, как научить писать стихи или музыку. Составление модели - это искусство, творчество. А там, где творчество, там важны личные качества, знания, способности, если угодно, талант.

Искусство моделирования состоит в способности анализиро­вать проблему, выделять из неё путем абстракции её существен­ные черты, выбирать и должным образом модифицировать основные предположения, характеризующие систему, а затем отрабатывать и совершенствовать модель до тех пор, пока она не станет давать полезные для практики результаты.

Не существует твердых и эффективных правил относительно того, как надо формулировать задачу, как выбирать переменные и соотношения, описывающие поведение системы, как выбирать огра­ничения, как вырабатывать критерии оценки эффективности моде­ли. Следует помнить, что никто не решает задачу в чистом ви­де, но каждый оперирует с моделью, которая была построена, ис­ходяиз поставленной задачи.

В зависимости от характера изучаемых процессов в системе математические модели бывают [25]:

- статические, отражающие поведение объекта в какой-либо момент времени (например, поперечный разрез объекта) и динамические, отражающие поведение объекта во времени (временные ряды);

- детерминированные, отображающие детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий, и стохастические, отображающие вероятностные процессы и события;

- дискретные, предназначенные для описания дискретных процессов, и непрерывные, отражающие непрерывный характер процессов, протекающих в системе;

- дескриптивные, служащие лишь для описания процессов функционирования, протекающих в системе, и оптимизационные, позволяющие управлять характеристиками процессов.

 

Требования, предъявляемые к математическим моделям

 

Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования адекватности, непротиворечивости, универсальности и экономичности.

Модель считается адекватной, если она отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью.

Непротиворечивость модели заключается в том, что она не должна содержать зависимостей, которые бы противоречили друг другу.

Универсальность модели состоит в том, что она служит математическим описанием для целого класса (близких или далеких по характеру) задач. Например, дифференциальные уравнения являются математическими моделями для колебаний математического маятника, описывают колебательные процессы в механической и электрической системах, описывают колебания арки моста, процессы, протекающие в струнах музыкальных инструментов, и т.д. Универсальность определяется также числом и составом учитываемых в модели входных и выходных параметров.

Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов для ее реализации, а именно, затратами машинного времени и памяти. Эти затраты зависят как от особенностей выбранной модели, так и от методов решения соответствующих математических задач.

Требования адекватности и универсальности, с одной стороны, и высокой экономичности, с другой, очевидно, являются противоречивыми. Поэтому для удовлетворения всем указанным требованиям разработчик модели должен идти на компромисс.

 

Моделирование систем на ЭВМ

Эффективность экспериментальных исследований сложных систем оказывается крайне низкой, поскольку проведение натурных экспериментов с реальной системой либо требует больших материальных затрат и значительного времени, либо вообще практически невозможно, например, на этапе проектирования, когда реальная система отсутствует.

Появление современных ЭВМ явилось решающим условием широкого внедрения методов математического моделирования в исследование сложных систем вообще, и информационных систем, в частности. Математические модели и аналитические методы их исследования могут решить многие проблемы, определяющие качество функционирования сложных систем. Однако, одновременно с этим появились причины, препятствующие применению в инженерной практике аналитических методов исследования систем:

- наличие случайных зависимостей между параметрами, характеризующие процессы в системе,

- необходимость учета стохастических свойств системы.

Это приводит к необходимости разработки более адекватных математических моделей. С этой целью шире стали применяться методы имитационного моделирования.

Современные ЭВМ можно разделить на две группы: универсальные, предназначенные для выполнения расчетных работ и управляющие, предназначенные, прежде всего, для управления объектами в реальном масштабе времени. Управляющие ЭВМ могут быть использованы как для управления технологическими процессами, так и для реализации имитационных моделей. Эксперимент с имитационной моделью требует серьезной подготовки [25], поэтому имитационная модель характеризуется наличием математического, программного, информационного, технического и других видов обеспечения.

Математическое обеспечение имитационных моделей включает в себя совокупность математических соотношений, описывающих поведение реального объекта, совокупность алгоритмов, обеспечивающих работу с моделью: алгоритмы ввода исходных данных, имитации, вывода, обработки.

Программное обеспечение включает в себя совокупность программ: планирования эксперимента, имитационной модели, проведения эксперимента, обработки и интерпретации результатов.

Информационное обеспечение включает в себя средства и технологию организации и реорганизации базы данных моделирования, формы документов, описывающих процесс моделирования и его результаты.

Техническое обеспечение имитационной модели включает в себя средства вычислительной техники, связи и диалоговую систему обмена между оператором и ЭВМ, ввода и вывода информации, управления проведением эксперимента.

Таким, образом, имитационная система может рассматриваться как машинный аналог сложного реального процесса. Он позволяет заменить эксперимент с реальным процессом функционирования системы экспериментом с математической моделью этого процесса в ЭВМ.

Имитационное моделирование на ЭВМ имеет достоинства и недостатки, проявляющиеся в конкретных приложениях. Основные достоинства:

- машинный эксперимент с имитационной моделью дает возможность исследовать особенности процесса функционирования системы в любых условиях,

- применение ЭВМ в имитационном эксперименте существенно сокращает продолжительность испытаний по сравнению с натурным экспериментом,

- имитационная модель позволяет включать результаты натурных испытаний реальной системы для проведения дальнейших исследований,

- имитационная модель обладает гибкостью варьирования структуры, алгоритмов и параметров моделируемой системы, что важно с точки зрения поиска оптимального варианта системы,

- имитационное моделирование сложных систем часто является единственным практически реализуемым методом исследования процесса функционирования таких систем на этапе их проектирования.

Основным недостатком имитационного моделирования на ЭВМ является то, что решение, полученное при анализе имитационной модели, всегда носит частный характер. Поэтому для полного анализа характеристик процесса функционирования системы приходится многократно воспроизводить имитационный эксперимент, варьируя исходные данные задачи. При этом, как следствие, возникает увеличение затрат машинного времени на проведение эксперимента с имитационной моделью. Эффективность имитационного моделирования может оцениваться рядом критериев, в том числе точностью и достоверностью результатов моделирования, временем построения и работы с моделью, затратами машинных ресурсов (времени и памяти), стоимостью разработки и эксплуатации модели.

Специалисты в области проектирования, исследования и эксплуатации больших систем должны в совершенстве знать методологию машинного моделирования, сложившуюся к настоящему времени, чтобы быть готовыми к появлению ЭВМ следующих поколений, которые позволят сделать следующие шаги в направлении автоматизации построения моделей и использования имитационного моделирования систем.