Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-11-28 | 267 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Перепишем формулу (3.13), заменив в ней главную часть приращения функции дифференциалом
. (3.21)
Из полученного выражения следует, что хотя дифференциал dy функции не равен приращению D y этой функции, но, так как , то с точностью до бесконечно малой более высокого порядка, чем D х, справедливо приближенное равенство
D y» dy. (3.22)
Относительная погрешность этого равенства становится сколь угодно малой при достаточно малом D х.
Выгода замены приращения функции D у ее дифференциалом dy состоит в том, что dy зависит от D х линейно, в то время как D у представляет собой обыкновенно более сложную функцию от D х.
Если положить D х = х – х 0 и х 0 + D х = х, то равенство (3.22) принимает вид: f (x) – f (x 0) » (x – x 0) или
f (x) = f (x 0) + (x – x 0). (3.23)
Формула (3.23) определяет способ приближенного вычисления функции. По этой формуле для значений х, близких к х 0, функция f (x) приближенно заменяется линейной функцией. Геометрически это соответствует замене участка кривой y = f (x), примыкающего к точке (х 0, f (x 0)), отрезком касательной к кривой в этой точке (см. формулу (3.3)).
В частности, взяв для простоты х 0 = 0 и ограничиваясь малыми значениями х, будем иметь приближенную формулу:
f (x) » f (0) + x. (3.24)
Отсюда, подставляя вместо f (x) различные элементарные функции, легко получить ряд приближенных формул:
(1+ x) m = 1+ mx; sin x» x; tg x» x; ex» 1+ x; ln(1+ x) » x и т.п.
§3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
ЧИСЛОВОЙ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
3.1. Определение производной n -го порядка
Как уже отмечалось в §1, п.1.1, производная функции y = f (x), определенной и дифференцируемой на некотором промежутке Р представляет собой функцию, также определенную на промежутке Р. Может случиться, что эта функция сама является дифференцируемой в некоторой точке х промежутка Р, т.е. имеет в этой точке производную. Тогда указанную производную называют второй производной (или производной второго порядка) функции у = f (x) в упомянутой точке х, и обозначают одним из символов
|
После того как введено понятие второй производной, можно последовательно ввести понятие третьей производной, затем четвертой производной и т.д. Если предположить, что нами уже введено понятие (n – 1)-й производной и что (n – 1)-я производная дифференцируемая в некоторой точке х промежутка Р, т.е. имеет в этой точке производную, то указанную производную называют n - й производной (или производной n-го порядка) функции у = f (x) в точке х и для обозначения ее применяются символы:
Соотношение, определяющее n- ю производную, имеет вид
. (3.25)
Функцию, имеющую на данном промежутке Р конечную производную порядка n, обычно называют n раз дифференцируемой на данном промежутке.
3.2. Вычисление производной n-го порядка
Методика вычисления производных высшего порядка предполагает умение вычислять только производные первого порядка. Поэтому для того чтобы вычислить n- ю производную от какой-либо функции, нужно предварительно вычислить производные всех предшествующих порядков. В качестве примеров вычислим производные n- го порядка некоторых элементарных функций.
1) Рассмотрим сначала степенную функцию (х > 0, μ Î R). Последовательно дифференцируя, будем иметь
Отсюда легко уяснить общий закон
.
Если, например, взять μ = –1, то получим
а при и т.п.
2) Пусть теперь Прежде всего имеем
Возьмем отсюда производную (n – 1)-го порядка по соответствующей формуле из 1), заменив в ней n на n – 1; мы и получим тогда
3) Если у = ах (0 < а ¹ 1), то .
Общая формула, легко устанавливая по методу индукции, имеет вид
4) Положим ; тогда . Таким образом, дифференцирование функции прибавляет к аргументу этой функции величину. Отсюда получаем формулу
|
5) Аналогично устанавливается и формула
3.3. Формула Лейбница для n -й производной произведения двух функций
В то время как установленное в §1, п.1.4 правило вычисления первой производной от суммы или разности двух функций легко переносится (например, последовательным применением этих правил) на случай n -й производной (u ± v)(n) = u (n) ± v (n), возникают большие затруднения при вычислении n -й производной от произведения двух функций .
Соответствующее правило носит название формулы Лейбница, и имеет следующий вид:
(3.26)
Примеры. Вычислить n -ю производную функций:
1. у = х 2cos x. Воспользуемся формулой Лейбница, положив в ней В таком случае для любого номера к Следовательно,
2. Положим Тогда Таким образом,
Рассмотренные примеры показывают, что формула Лейбница особенно эффективна в случае, когда одна из двух перемножаемых функций имеет лишь конечное число отличных от нуля производных.
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!