Определение наивыгоднейших условий эксперимента

Под наивыгоднейшими условиями эксперимента понимаются такие, для которых погрешность результата эксперимента при фиксированном значении доверительной вероятности имеет наименьшее значение.

5. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

Математически рассматриваемая задача решается путем отыскания ми­нимума функции (5.5)[2].

Условия экстремума погрешности А_Е* имеют вид

ЭАу 0;...;------ = 0.

Э А у Э А у

(5.18)

-0;

дх\ 0X2 Эх^

Раскрывая величину Д_Е* в соответствии с выражениями (5.3) и (5.5), сис­тему уравнений (5.18) можно представить в форме

Э1п(П Э ln(f) 4 9 Э1п(П Э ln(f), 7 Ах\ н------------------- Ах2

dln(f) д ln(f) 1 2 Sln(f) д ln(f) 4 2 ----------------- Ах\ н---------------- Ах2 +... = 0. дх дхдх Эх 2

^5х1 Э_Х1 2

 

Sln(f) Э ln(f)

< дх] дх]дх2

Дх^

+

Эх2 дх\дх2

Sln(f) д ln(f)

^дх2 дх2 2

х2 Эхп2

д2

Ах 2

 

 

0;

0;

(5.19)

Система (5.19) состоит из п уравнений и содержит п неизвестных. Если решение этой системы существует, то можно найти численные значения вели­чин x-i, х₂,..., х_п, при которых погрешность Д_Е* принимает экстремальное значе-

ние.

Дальнейший анализ направлен на получение ответа, соответствует ли найденный экстремум минимуму величины Д_Е*. С этой целью вычисляются зна-

е2Ду

чения вторых производных

при найденных значениях переменных х.

дх[

Если вторые производные окажутся положительными, то это соответст­вует минимуму величины Д_Е*.

_______________ 5. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ _______________

Контрольные вопросы

1. Что такое погрешность определения величин функций?

2. С какой целью рассчитывают погрешность?

3. Какие виды погрешностей вы знаете? Как они определяются?

4. В чем заключается цель решения обратной задачи теории эксперимен­тальных погрешностей?

5. Что понимают под выражением «наивыгоднейшие условия проведения эксперимента»?

6. Какова основная идея математического решения задачи поиска наивы­годнейших условий проведения эксперимента?

МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

6.1. Основные определения и понятия

Ранее мы рассматривали пассивный эксперимент, и математическая ста-тистика использовалась, в частности, при обработке экспериментальных дан­ных. На стадии постановки эксперимента она не применялась. При активном же эксперименте математическая статистика используется уже на стадии поста-новки и планирования эксперимента.

Пассивный эксперимент предусматривает накопление информации “в режиме нормальной эксплуатации", но это требует много времени и затрат. По-этому предлагается "не ждать милостей от природы", а активно вмешиваться в ход технологического процесса: «разбалтывать» («покачивать») его тихонько, но целенаправленно, и быстро накапливать при этом информацию. Программа покачивания как раз и задается планом. Сам метод планирования может изме­няться в зависимости от вида задачи, но принцип покачивания остается.

Теория планирования эксперимента началась с работ знаменитого анг-лийского ученого Р.Фишера в 30-х годах XX столетия, использовавшего ее для решения агробиологических задач. В дальнейшем это направление было раз­вито в пятидесятых годах в США Дж.Боксом и его сотрудниками. Отечествен­ные ученые также внесли большой вклад в развитие теории эксперимента, предложив ряд новых методов, а инженеры-исследователи все шире применя­ют эти методы на практике.

Под математической теорией планирования эксперимента будем пони­мать науку о способах составления экономичных экспериментальных планов, которые позволяют извлекать наибольшее количество информации об объекте исследования, о способах проведения эксперимента, о способах обработки экспериментальных данных и их использования для оптимизации производст-венных процессов, а также инженерных расчетов.

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Принятая терминология — это либо перевод терминов с английского, ли­бо просто их перенос в оригинале, и это необходимо иметь в виду при чтении литературы по теории планирования экспериментов.

Истинный вид функции отклика y=f(xi,..., х,..., х_к) до эксперимента чаще всего неизвестен, в связи с чем для математического описания поверхности от­клика используют уравнение

у=ро+i>_Ix_I+ixx_Ixu +i>nx_I² +-> (6-1)

i -l i,u-l i-1

где x, x_u - переменные факторы при i=1,..., k; u=1,..., k; i^u;

A

 

д f

V ⁽'/ 0

; Д_м -

 

d²f

V i и Jo

; Д..

 

_к2дх^г,

\ ' /О

коэффициенты.

Это уравнение является разложением в ряд Тейлора неизвестной функ­ции отклика в окрестности точки с х=х_ю.

На практике по результатам эксперимента производится обработка дан­ных по методу наименьших квадратов. Этот метод позволяет найти оценку b коэффициентов р, и данный полином заменяется уравнением вида

г г ш г и и г 1-Х iyu=\ i-\

К + Z Ь,х, + ^ Ь_!их_;х_и +|>,,х,. ² +..., (6.2)

которое является регрессионной моделью (моделью регрессионного анализа). В этом выражении у означает модельное, т.е. рассчитываемое по уравнению модели, значение выхода. Коэффициенты регрессии определяются экспери­ментально и служат для статистической оценки теоретических коэффициентов, т.е.

Ь ₀ -► Д, b _t -> д., ъ._ш -> д._и, ь_я -> д..

В регрессионной модели члены второй степени хх_и, х² характеризуют кривизну поверхности отклика. Чем больше кривизна этой поверхности, тем больше в модели регрессии членов высшей степени. На практике чаще всего стремятся ограничиться линейной моделью.

Последовательность активного эксперимента заключается в следующем:

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

1) разрабатывается схема проведения исследований, т.е. выполняется планирование эксперимента. При планировании экспериментов обычно требу­ется с наименьшими затратами и с необходимой точностью либо построить регрессионную модель процесса, либо определить его оптимальные условия;

2) осуществляется реализация опыта по заранее составленному иссле­дователем плану, т.е. осуществляется сам активный эксперимент;

3) выполняется обработка результатов измерений, их анализ и принятие решений.

Таким образом, планирование эксперимента - это процедура выбора ус­ловий проведения опытов, их количества, необходимых и достаточных для ре­шения задач с поставленной точностью.

Использование теории планирования эксперимента обеспечивает:

1) минимизацию, т.е. предельное сокращение необходимого числа опы­тов;

2) одновременное варьирование всех факторов;

3) выбор четкой стратегии, что позволяет принимать обоснованные ре­шения после каждой серии опытов;

4) минимизацию ошибок эксперимента за счет использования специаль­ных проверок.

Для иллюстрации некоторых из этих положений воспользуемся ставшим уже классическим примером из книги В.В.Налимова, Т.И.Голиковой [7].

Пример хорошего и плохого эксперимента

Рассмотрим пример - взвешивание трех объектов А, В, С на аналитиче­ских весах. Первый - традиционный - подход предусматривает последователь­ное взвешивание каждого из образцов. Исследователь вначале делает холо­стое взвешивание для определения нулевой точки весов, а затем по очереди взвешивает каждый из образцов. Это пример традиционного использования однофакторного эксперимента, т.е. здесь исследователь изучает реакцию на

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

поведение каждого из факторов в отдельности. Традиционная схема взвешива­ния трех объектов представлена в табл. 6.1.

Масса каждого объекта оценивается только по результатам двух опытов: того опыта, в котором на весы был положен изучаемый объект, и холостого опыта. Например, масса объекта A: m_A=yi-y₀. Как обычно, ошибка взвешивания предполагается независимой от взвешиваемой величины, аддитивной и имею­щей одно и то же распределение. Тогда дисперсия измерения веса образца следующая:

а_А = о +о = 2с, (6.3)

где а² — дисперсия любого взвешивания. Такими же будут и дисперсии весов образцов В и С.

Таблица 6.1 Традиционное проведение эксперимента*

 

Номер опыта	А	В	С	Результат взвешивания
	-1	-1	-1	Уо
	+1	-1	-1	У1
	-1	+1	-1	У2
	-1	-1	+1	Уз

*' Когда образец кладется на весы, в таблице ставится +1, когда он на весах отсут­ствует, то -1.

Приведем теперь тот же эксперимент по несколько иной схеме, задавае­мой матрицей планирования, приведенной в табл.6.2.

Таблица 6.2 Планирование эксперимента при взвешивании трех объектов

 

Номер опыта	А	В	С	Результат взвешивания
	+1	-1	-1	У1
	-1	+1	-1	У2
	-1	-1	+ 1	Уз
	+1	+1	+ 1	У4

В первых трех опытах последовательно взвешивают объекты А, В, С, в последнем опыте тоже взвешивают объекты А, В, С, но все три объекта вместе, а "холостое" взвешивание не производится.

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Легко заметить, что масса каждого объекта будет задаваться формулами

1..

тд =(У1 -у2 ~УЗ +У4)' 2

1. _

mg = (У2 ~У1 ~УЗ +У4); ("-4)

1..

^тС ~(УЗ ~У1 ~У2 + У4)-

Масса объекта А, вычисленная по приведенной выше формуле, оказыва­ется не искаженной массами весов объектов В и С, так как масса каждого из них входит в формулу для массы А дважды с разными знаками.

Найдем теперь дисперсию, связанную с ошибкой взвешивания, по новой схеме постановки экспериментов:

ад =(о +G +G +а) = а. (6.5)

^А 4 У1 У2 Уз У4

Аналогичным образом находим:

_ст| =а2, а2 =а2.

Мы видим, что при новой схеме дисперсия взвешивания получается вдвое меньше, чем при традиционной схеме, хотя в обоих случаях на взвеши­вание трех объектов затрачивалось по четыре опыта.

Зададимся вопросом: "В результате чего происходит увеличение точно­сти экспериментов в два раза?".

В первом случае эксперимент был поставлен так, что каждую массу мы получали лишь из двух взвешиваний. При новой схеме взвешивания каждая масса вычислялась уже по результатам всех четырех взвешиваний. Вторую схему можно назвать многофакторной, поскольку здесь оперируют всеми фак­торами так, что каждая масса вычислялась по результатам сразу всех опытов, проведенных в данной серии экспериментов, - вот главная причина уменьше­ния дисперсии вдвое.

Не подумайте, что мы зря потратили время на обсуждение такой триви­альной задачи. Точно такой же подход используется при изучении других, бо­лее сложных задач.

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Таким образом, использование теории планирования эксперимента мо-жет явиться одним из путей существенного повышения эффективности много-факторных экспериментальных исследований.

В планировании экспериментов применяются в основном планы первого и второго порядков. Планы более высоких порядков используются в инженер-ной практике редко. В связи с этим далее приводится краткое изложение мето-дики составления планов эксперимента для моделей первого и второго поряд-ков.

Под планами первого порядка понимают такие планы, которые позволя­ют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего только первые степени факторов и их произведения:

У ⁼ h + ^Y-Pi^Xi ⁺^l^iu^Xi^Xu + ^jhu^Xi^Xj^Xu +•". (6.6)

(-1 i,u- 1 ij,u- 1

Планы второго порядка позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего и вторые степени факторов:

у = К + 1>л + 1>,л² +1А*Л +•••. (6.7)

(-1 г=1 i,u- 1

Нахождение уравнения регрессии методом планирования экспериментов состоит из следующих этапов:

- выбор основных факторов и их уровней;

- планирование и проведение собственно эксперимента;

- определение коэффициентов уравнения регрессии;

- статистический анализ результатов эксперимента.

Планирование первого порядка

На первой стадии исследования обычно принимают полином первой степени. Так, для трехфакторной задачи теоретическое уравнение регрессии имеет вид

6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

y = fi₀+ У р.х. + Y /? х_;Х; +fi_l23x_lx₂x₃. (6.8)

1=1 1,14=1

Уравнение регрессии, получаемое на основании результатов экспери­мента, в отличие от приведенного теоретического уравнения, имеет вид

У ⁼ b₀ + i_J⁾_l x_i ⁺ /,bmxixu +b_l23x_lx₂x₃, (6-9)

(- 1 i,u-l

где коэффициенты регрессии bo, bi,..., Ьз,..., bi23 являются оценками для тео­ретических коэффициентов регрессии, т.е.

Ь; ->P i, Ь_ш ->£.„, Ь_ш ->Р₁₂₃.

Члены, содержащие произведения х^; х₂х₃ и т.д., называют членами, отражающими попарное взаимодействие факторов, члены вида Х1Х₂Хз — чле­нами тройного взаимодействия.