Статистический анализ регрессионной модели.

НАЗНАЧЕНИЕ И ТИПЫ

ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПЛАНОВ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

Назначение ортогональных планов первого порядка - построение линейных моделей статики вида:

Существуют два типа ортогональных планов первого порядка:

1. Полный факторный эксперимент (ПФЭ, ).
2. Дробный факторный эксперимент (ДФЭ, ).

ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ.

Полным факторным экспериментом называется точный план, спектр которого включает по одному разу все вершины пространства планирования типа единичный n-мерный гиперкуб, а частоты повторений наблюдений во всех точках спектра одинаковы и равны:

+1	+1
-1	+1	Спектр плана
+1	-1
-1	-1

Полный факторный эксперимент является точным планом только для числа опытов, кратных 2^n.

+1	+1	+1
-1	+1	+1
+1	-1	+1
-1	-1	+1
+1	+1	-1
-1	+1	-1
+1	-1	-1
-1	-1	-1

Матрица полного факторного эксперимента записывается следующим образом: в первом столбце знаки ⌠+■ и ⌠-■ меняются на каждой строке, в каждом последующем столбце частота смены знаков уменьшается в два раза по сравнению с предыдущим столбцом. В последнем столбце первая половина имеет знак ⌠+■, а вторая половина √ знак ⌠-■.

Реализация полного факторного эксперимента осуществляется в случайной последовательности. Прежде чем приступить к реализации опытов, необходимо произвести рандомизацию матрицы плана (определить случайную последовательность строк матрицы плана).

			Серия
+1	+1	+1
-1	+1	+1
+1	-1	+1
-1	-1	+1
+1	+1	-1
-1	+1	-1
+1	-1	-1
-1	-1	-1

Рандомизация осуществляется на основе таблицы случайных чисел, из которой извлекаются элементы из интервала от 1 до N. Рандомизация необходима для защиты результатов эксперимента от возмущений, действующих на объект, и при построении модели используют усредненное значение выхода по всем сериям.

Реализация плана на объекте производится в случайной последовательности, в результате которой получается матрица значений выхода ,где N - число опытов, m - число повторений плана (m=3 - 5).

,

- значение выхода объекта в i-ом опыте j-ой серии.

После проведения эксперимента необходимо вычислить МНК - оценки неизвестных параметров модели и провести статистический анализ полученной регрессионной модели.

 

ВЫЧИСЛЕНИЕ МНК-ОЦЕНОК И ИХ СВОЙСТВА ПРИ ОРТОГОНАЛЬНОМ ПЛАНИРОВАНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

При вычислении МНК-оценок используются усредненные значения выхода:

Рассмотрим пример при N=3

Матрица полного факторного эксперимента обладает следующими тремя свойствами:

1. Сумма элементов любого столбца равна нулю:

2. Сумма квадратов элементов любого столбца равна числу опытов:

3. Скалярное произведение каждой пары столбцов равно нулю:

Матрица базисных функций, соответствующая полному факторному эксперименту, также обладает этими свойствами, за исключением первого столбца, для которого не выполняется первое свойство.

Информационная матрица полного факторного эксперимента диагональная, так как в соответствии со вторым свойством все диагональные элементы информационной матрицы равны N, а в соответствии с третьим свойством все недиагональные элементы равны нулю.

Таким образом, оценка i-го элемента вектора равна алгебраической сумме элементов вектора с учетом знаков элементов i-го столбца матрицы базисных функций F, деленной на N.

Ковариационная матрица МНК - оценок равна

Таким образом, при ортогональном планировании первого порядка дисперсии оценок всех коэффициентов модели одинаковы и равны , а ковариации каждой пары равны нулю.

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ

Статистический анализ при активном экспериментировании начинается с проверки гипотезы о воспроизводимости результатов эксперимента. Эта гипотеза формулируется следующим образом: эксперимент является воспроизводимым, если в каждой точке плана генеральная дисперсия выхода одинакова.

Таким образом, воспроизводимость может иметь место только тогда, когда случайный процесс e(t) является стационарным процессом.

Дисперсии в точках плана можно оценить на основе матрицы значений выхода.

- построчные дисперсии.

Проверка гипотезы воспроизводимости осуществляется на основе критерия Кохрена (G-распределения).

Если выполняется неравенство , то эксперимент признается воспроизводимым. Если эксперимент признан воспроизводимым, то в качестве оценки дисперсии внешнего шума принимается среднеарифметическое значение всех построчных дисперсий.

Остальные этапы статистического анализа (проверка значимости оценок, проверка адекватности и расчет доверительных интервалов) производятся аналогично случаю пассивного эксперимента с использованием в качестве оценки дисперсии внешнего шума среднеарифметического значения построчных дисперсий с числом степеней свободы равным N(m-1). Таким образом, в случае активного эксперимента отпадает необходимость проведения дополнительного эксперимента с целью определения оценки внешнего шума, которая определяется по результатам активного эксперимента.

В случае, если эксперимент невоспроизводим, то есть дисперсии в разных точках неодинаковы, то можно использовать специальные планы для построения которых необходима функция эффективности эксперимента , то есть зависимость дисперсии внешнего шума от координат точек плана.

В качестве функции эффективности можно использовать функцию, значения которой равны построчным дисперсиям.

Основным недостатком полного факторного эксперимента является его сильная избыточность, особенно при большом числе факторов. Поэтому полный факторный эксперимент применим для сравнительно небольшого числа факторов. При большом числе факторов необходимо использовать дробный факторный эксперимент, который позволяет резко сократить число опытов, то есть обладает большей насыщенностью.

 

Тема 12. Дробный факторный эксперимент