Измерение параметров полупроводников с помощью эффекта Холла

ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОЛУПРОВОДНИКОВ С ПОМОЩЬЮ ЭФФЕКТА ХОЛЛА

Гальваномагнитные эффекты

Физические явления, обусловленные движением носителей заряда под действием внешних и внутренних полей или разности температур, называются кинетическими явлениями или явлениями переноса. К ним относятся электропроводность и теплопроводность, гальваномагнитные, термомагнитные и термоэлектрические явления. Кинетические явления лежат в основе фотоэлектрических и фотомагнитных эффектов. Среди многообразия кинетических эффектов под названием гальваномагнитных объединяются эффекты, возникающие в веществе, находящемся в магнитном поле, при прохождении через вещество электрического тока под действием электрического поля. Другими словами, гальваномагнитные явления наблюдаются в веществе при совместном действии электрического и магнитного полей. К важнейшим гальваномагнитным явлениям относятся:

1. эффект Холла;

2. магниторезистивный эффект или магнетосопротивление;

3. эффект Эттингсгаузена, или поперечный гальваномагнитный эффект;

4. эффект Нернста, или продольный гальваномагнитный эффект.

 

Эффекты перечислены в порядке их практической значимости. Названия «продольный» и «поперечный» отражают направление градиентов температуры относительно тока. Рассмотрим эти эффекты.

Эффект Холла

Американский физик Эдвин Герберт Холл в 1879 году впервые описал явление, впоследствии названное его именем. Явление, открытое Холлом, состоит в том, что в проводнике с током, помещенном в магнитное поле, перпендикулярное направлению тока, возникает электрическое поле в направлении, перпендикулярном направлениям тока и магнитного поля. Наиболее важным применением эффекта Холла является определение концентрации носителей заряда в материалах, проводящих электрический ток, в частности, в полупроводниках, у которых концентрацию носителей зарядов можно произвольно изменить, например, за счет введения примесей.

Обратимся к чисто примесному полупроводнику, для определенности электронному. Схема, иллюстрирующая возникновение эффекта Холла, изображена на рисунке 1. К образцу прямоугольной формы, расположенному по длине вдоль оси Х, приложено электрическое поле Е, вызывающее электрический ток плотностью:

 

J _x = –enV_x = σ E_x, (1),

 

где:

e – абсолютная величина заряда электрона;

n – собственная концентрация электронов в объеме полупроводника.

Образец помещен в магнитное поле В, параллельно оси Z. В результате действия на движущиеся носители силы Лоренца

 

F = –e[ V, B ] (2)

 

электроны отклоняются в отрицательном направлении оси Y (дрейфовая скорость электронов V направлена против тока) и скапливаются у боковой (передней) грани образца. Их накопление идет до тех пор, пока поперечное электрическое поле (поле Холла) не компенсирует поле силы Лоренца в направлении оси Y.

Вследствие появления поперечного поля Холла Е результирующее электрическое поле в образце конечных размеров будет повернуто относительно оси Х на некоторый угол φ_н (угол Холла), а ток будет идти лишь в направлении оси Х. Как видно из рисунка 1, угол определяется при этом соотношением:

 

(3), где μ – дрейфовая подвижность.

Поскольку поле Холла Е _y уравновешивает силу Лоренца, можно полагать, что оно должно быть пропорционально как приложенному полю В, так и току J _x в полупроводнике. Поэтому величину, называемую коэффициентом Холла, определяют так:

 

(4)

 

Следует обратить внимание на то, что, поскольку поле Холла направленно против оси Y (рис. 1), коэффициент R должен быть отрицательным.

С другой стороны, если бы заряд носителей был положительным (в дырочном полупроводнике), знак их Х -компоненты скорости был бы обратным, и сила Лоренца осталась бы по направлению неизменной. В результате поле Холла, имело бы направление, противоположное тому, которое оно имеет при отрицательно заряженных носителях.

Из этого вывода следует, что по знаку ЭДС Холла можно определить знак носителей заряда и, следовательно, тип проводимости полупроводника.

Чтобы рассчитать коэффициент Холла, воспользуемся выражением для общей силы, действующей на электрон со стороны электрического и магнитного полей. В общем случае эта сила определяется векторным уравнением:

 

F = –е Е – e[ V, B ]. (5)

Рис. 1. Схема возникновения эффекта Холла при действии силы Лоренца на движущиеся электроны.

Величина холловского поля определяется балансом сил в направлении оси Y, при котором F = 0. Отсюда:

 

Е _y = – V _xB. (6)

 

Тогда, воспользовавшись соотношением (1), имеем:

 

. (7)

 

Сравнивая (4) и (7), видим, что:

 

(8)

 

Таким образом, коэффициент Холла обратно пропорционален концентрации носителей и ни от каких других параметров полупроводника не зависит. Знак «минус» показывает электронную проводимость, дырочной проводимости соответствует знак «плюс».

Для практического определения коэффициента Холла воспользуемся уравнением (7), заменив напряженность электрического поля E_y потенциалом поля.

 

(9)

 

В случае однородного образца мы имеем:

 

(10),

 

здесь: - U _x – холловская разность потенциалов или э.д.с.Холла. С учетом выражений (7) и (10) э.д.с. Холла равна:

 

, (11),

 

где: - a и b поперечные размеры образца, a, b(соответственно по направлениям z и y); I_x – сила тока, протекающая через образец; B_z – индукция магнитного поля.

В действительности произведенный элементарный вывод коэффициента Холла не точен: в нем предполагалось, что все носители имеют одинаковую дрейфовую скорость, и не учитывался характер распределения электронов по скоростям и механизм рассеяния носителей.

Более строгое выражение для коэффициента Холла имеет вид:

 

(12),

 

где r = <τ²>/<τ>², r – называют холл-фактором, τ – время релаксации носителей заряда. Через n в данном случае обозначена концентрация носителей (электронов или дырок). Параметр r является атрибутом реального твердого тела и зависит от механизма рассеяния носителей.

Так, - при рассеянии на ионах примеси r = 315π/512 = 1,93, что обычно имеет место в области низких температур;

- при рассеянии на тепловых колебаниях решетки r = 3π/8 = 1,18 - соответствует более высокой области температур;

- при рассеянии на нейтральных примесях, а также в металлах и сильно вырожденных полупроводниках r = 1.

В полупроводнике со смешанной проводимостью в слабом магнитном поле () коэффициент Холла равен

 

(13)

 

Так как в случае собственной проводимости n = p = n_i, то, введя b = μ_n / μ_p

для собственного полупроводника, получим:

 

, (14)

 

т. е. знак R_н определяется тем типом носителей тока, подвижность которых больше. Обычно отношение дрейфовых подвижностей b > 1 и R < 0. В частном случае собственного полупроводника, когда подвижности электронов и дырок равны между собой (n = p и μ_n = μ_p), коэффициент Холла, а следовательно, и ЭДС Холла равны нулю.

Из формулы (13) следует, что для получения максимальных значений R_H целесообразно использовать полупроводник с одним знаком носителей заряда. В этом случае (13) переходит в (12) и ЭДС Холла максимальна.

Рассмотрим теперь произведение коэффициента Холла R _н и электропроводности σ = enμ для чисто примесного полупроводника. С учетом (12)

 

(15)

 

Мы видим, что величина | R_н |σ пропорциональна величине дрейфовой подвижности μ, при этом коэффициентом пропорциональности является безразмерная константа r (холл-фактор). Поэтому величина

 

μ_n =| R_н |σ (16)

 

имеет размерность подвижности и называется холловской подвижностью.

Таким образом, определив экспериментально R _н, σ и взяв их произведение, получим μ_n. Если известен механизм рассеяния, то по μ_n можно определить дрейфовую подвижность μ = μ_n/r, а по R _н – концентрацию носителей заряда и их знак; благодаря этому эффект Холла является одним из важнейших методов исследования полупроводника.

Выражение для практического определения коэффициента Холла можно получить из формулы (11):

 

(17)

 

В системе СИ R _x имеет размерность м³/Кл. Тогда из формулы (12) можно найти концентрацию носителей заряда

 

(18

 

(19)

 

Одновременно с постоянной Холла определяют удельную проводимость образца «σ». Для образца с данными размерами (рис.2) удельная проводимость определяется по формуле:

 

(20)

 

Так как

 

(21)

 

(22)

 

Отсюда, можно определить подвижность электронов и дырок:

 

(23)

 

(24)

 

Порядок выполнения работы

 

Подготовка установки к работе.

Включить измерительные приборы. Установить переключатель рода работ и пределов измерений в следующие положения на приборах:

1.1 В7-20 (ток) – 10mА - (постоянный ток);

1.2 В7-27 (напряжение) – 10 В - (постоянное напряжение);

1.3 Измеритель «МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ» установит на «0».

1.4 Ручка «Рег. ТОКА» - в крайнем левом положении «0».

 

 

Рис. 3. Схема экспериментальной установки

 

Приложение

ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОЛУПРОВОДНИКОВ С ПОМОЩЬЮ ЭФФЕКТА ХОЛЛА

Гальваномагнитные эффекты

Физические явления, обусловленные движением носителей заряда под действием внешних и внутренних полей или разности температур, называются кинетическими явлениями или явлениями переноса. К ним относятся электропроводность и теплопроводность, гальваномагнитные, термомагнитные и термоэлектрические явления. Кинетические явления лежат в основе фотоэлектрических и фотомагнитных эффектов. Среди многообразия кинетических эффектов под названием гальваномагнитных объединяются эффекты, возникающие в веществе, находящемся в магнитном поле, при прохождении через вещество электрического тока под действием электрического поля. Другими словами, гальваномагнитные явления наблюдаются в веществе при совместном действии электрического и магнитного полей. К важнейшим гальваномагнитным явлениям относятся:

1. эффект Холла;

2. магниторезистивный эффект или магнетосопротивление;

3. эффект Эттингсгаузена, или поперечный гальваномагнитный эффект;

4. эффект Нернста, или продольный гальваномагнитный эффект.

 

Эффекты перечислены в порядке их практической значимости. Названия «продольный» и «поперечный» отражают направление градиентов температуры относительно тока. Рассмотрим эти эффекты.

Эффект Холла

Американский физик Эдвин Герберт Холл в 1879 году впервые описал явление, впоследствии названное его именем. Явление, открытое Холлом, состоит в том, что в проводнике с током, помещенном в магнитное поле, перпендикулярное направлению тока, возникает электрическое поле в направлении, перпендикулярном направлениям тока и магнитного поля. Наиболее важным применением эффекта Холла является определение концентрации носителей заряда в материалах, проводящих электрический ток, в частности, в полупроводниках, у которых концентрацию носителей зарядов можно произвольно изменить, например, за счет введения примесей.

Обратимся к чисто примесному полупроводнику, для определенности электронному. Схема, иллюстрирующая возникновение эффекта Холла, изображена на рисунке 1. К образцу прямоугольной формы, расположенному по длине вдоль оси Х, приложено электрическое поле Е, вызывающее электрический ток плотностью:

 

J _x = –enV_x = σ E_x, (1),

 

где:

e – абсолютная величина заряда электрона;

n – собственная концентрация электронов в объеме полупроводника.

Образец помещен в магнитное поле В, параллельно оси Z. В результате действия на движущиеся носители силы Лоренца

 

F = –e[ V, B ] (2)

 

электроны отклоняются в отрицательном направлении оси Y (дрейфовая скорость электронов V направлена против тока) и скапливаются у боковой (передней) грани образца. Их накопление идет до тех пор, пока поперечное электрическое поле (поле Холла) не компенсирует поле силы Лоренца в направлении оси Y.

Вследствие появления поперечного поля Холла Е результирующее электрическое поле в образце конечных размеров будет повернуто относительно оси Х на некоторый угол φ_н (угол Холла), а ток будет идти лишь в направлении оси Х. Как видно из рисунка 1, угол определяется при этом соотношением:

 

(3), где μ – дрейфовая подвижность.

Поскольку поле Холла Е _y уравновешивает силу Лоренца, можно полагать, что оно должно быть пропорционально как приложенному полю В, так и току J _x в полупроводнике. Поэтому величину, называемую коэффициентом Холла, определяют так:

 

(4)

 

Следует обратить внимание на то, что, поскольку поле Холла направленно против оси Y (рис. 1), коэффициент R должен быть отрицательным.

С другой стороны, если бы заряд носителей был положительным (в дырочном полупроводнике), знак их Х -компоненты скорости был бы обратным, и сила Лоренца осталась бы по направлению неизменной. В результате поле Холла, имело бы направление, противоположное тому, которое оно имеет при отрицательно заряженных носителях.

Из этого вывода следует, что по знаку ЭДС Холла можно определить знак носителей заряда и, следовательно, тип проводимости полупроводника.

Чтобы рассчитать коэффициент Холла, воспользуемся выражением для общей силы, действующей на электрон со стороны электрического и магнитного полей. В общем случае эта сила определяется векторным уравнением:

 

F = –е Е – e[ V, B ]. (5)

Рис. 1. Схема возникновения эффекта Холла при действии силы Лоренца на движущиеся электроны.

Величина холловского поля определяется балансом сил в направлении оси Y, при котором F = 0. Отсюда:

 

Е _y = – V _xB. (6)

 

Тогда, воспользовавшись соотношением (1), имеем:

 

. (7)

 

Сравнивая (4) и (7), видим, что:

 

(8)

 

Таким образом, коэффициент Холла обратно пропорционален концентрации носителей и ни от каких других параметров полупроводника не зависит. Знак «минус» показывает электронную проводимость, дырочной проводимости соответствует знак «плюс».

Для практического определения коэффициента Холла воспользуемся уравнением (7), заменив напряженность электрического поля E_y потенциалом поля.

 

(9)

 

В случае однородного образца мы имеем:

 

(10),

 

здесь: - U _x – холловская разность потенциалов или э.д.с.Холла. С учетом выражений (7) и (10) э.д.с. Холла равна:

 

, (11),

 

где: - a и b поперечные размеры образца, a, b(соответственно по направлениям z и y); I_x – сила тока, протекающая через образец; B_z – индукция магнитного поля.

В действительности произведенный элементарный вывод коэффициента Холла не точен: в нем предполагалось, что все носители имеют одинаковую дрейфовую скорость, и не учитывался характер распределения электронов по скоростям и механизм рассеяния носителей.

Более строгое выражение для коэффициента Холла имеет вид:

 

(12),

 

где r = <τ²>/<τ>², r – называют холл-фактором, τ – время релаксации носителей заряда. Через n в данном случае обозначена концентрация носителей (электронов или дырок). Параметр r является атрибутом реального твердого тела и зависит от механизма рассеяния носителей.

Так, - при рассеянии на ионах примеси r = 315π/512 = 1,93, что обычно имеет место в области низких температур;

- при рассеянии на тепловых колебаниях решетки r = 3π/8 = 1,18 - соответствует более высокой области температур;

- при рассеянии на нейтральных примесях, а также в металлах и сильно вырожденных полупроводниках r = 1.

В полупроводнике со смешанной проводимостью в слабом магнитном поле () коэффициент Холла равен

 

(13)

 

Так как в случае собственной проводимости n = p = n_i, то, введя b = μ_n / μ_p

для собственного полупроводника, получим:

 

, (14)

 

т. е. знак R_н определяется тем типом носителей тока, подвижность которых больше. Обычно отношение дрейфовых подвижностей b > 1 и R < 0. В частном случае собственного полупроводника, когда подвижности электронов и дырок равны между собой (n = p и μ_n = μ_p), коэффициент Холла, а следовательно, и ЭДС Холла равны нулю.

Из формулы (13) следует, что для получения максимальных значений R_H целесообразно использовать полупроводник с одним знаком носителей заряда. В этом случае (13) переходит в (12) и ЭДС Холла максимальна.

Рассмотрим теперь произведение коэффициента Холла R _н и электропроводности σ = enμ для чисто примесного полупроводника. С учетом (12)

 

(15)

 

Мы видим, что величина | R_н |σ пропорциональна величине дрейфовой подвижности μ, при этом коэффициентом пропорциональности является безразмерная константа r (холл-фактор). Поэтому величина

 

μ_n =| R_н |σ (16)

 

имеет размерность подвижности и называется холловской подвижностью.

Таким образом, определив экспериментально R _н, σ и взяв их произведение, получим μ_n. Если известен механизм рассеяния, то по μ_n можно определить дрейфовую подвижность μ = μ_n/r, а по R _н – концентрацию носителей заряда и их знак; благодаря этому эффект Холла является одним из важнейших методов исследования полупроводника.

Выражение для практического определения коэффициента Холла можно получить из формулы (11):

 

(17)

 

В системе СИ R _x имеет размерность м³/Кл. Тогда из формулы (12) можно найти концентрацию носителей заряда

 

(18

 

(19)

 

Одновременно с постоянной Холла определяют удельную проводимость образца «σ». Для образца с данными размерами (рис.2) удельная проводимость определяется по формуле:

 

(20)

 

Так как

 

(21)

 

(22)

 

Отсюда, можно определить подвижность электронов и дырок:

 

(23)

 

(24)