Нахождение базиса системы векторов. Ортогонализация системы векторов по процедуре Грамма-Шмидта.

Если имеется система n векторов , то с помощью команды basis([a1,a2,…,an]) можно найти базис этой системы.

При помощи команды GramSchmidt([a1,a2,…,an]) можно ортогонализовать систему линейно-независимых векторов .

 

Задание 1.

1. Даны два вектора: и . Найти и угол между a и b. Для решения этой задачи наберите:

> with(linalg):

> a:=([2,1,3,2]); b:=([1,2,-2,1]);

a:=[2,1,3,2]

b:=[1,2,-2,1]

> dotprod(a,b);

> phi=angle(a,b);

 

2. Найти векторное произведение , а затем скалярное произведение , где , .

> restart; with(linalg):

> a:=([2,-2,1]); b:=([2,3,6]);

a:=[2,-2,1]

b:=[2,3,6]

> c:=crossprod(a,b);

c:=[-15,-10,10]

> dotprod(a,c);

3. Найти норму вектора .

> restart; with(linalg):

> a:=vector([1,2,3,4,5,6]): norm(a,2);

4. Из системы векторов: , , , , выделить базис и ортогонализовать его по процедуре Грамма-Шмидта:

> restart; with(linalg):

> a1:=vector([1,2,2,-1]):

a2:=vector([1,1,-5,3]):

a3:=vector([3,2,8,7]): a4:=vector([0,1,7,-4]):

a5:=vector([2,1,12,-10]):

> g:=basis([a1,a2,a3,a4,a5]);

g:= [ a1, a2, a3, a5 ]

> GramSchmidt(g);

[[1,2,2,-1], [2,3,-3,2], ,

 

Действия с матрицами

Определение матрицы.

Для определения матрицы в Maple можно использовать команду matrix(n, m, [[a11,a12,…,a1n], [a21,a22,…,a2m],…, [an1,an2,…,anm]]), где n - число строк, m – число столбцов в матрице. Эти числа задавать необязательно, а достаточно перечислить элементы матрицы построчно в квадратных скобках через запятую. Например:

> A:=matrix([[1,2,3],[-3,-2,-1]]);

В Maple матрицы специального вида можно генерировать с помощью дополнительных команд. В частности диагональную матрицу можно получить командой diag. Например:

> J:=diag(1,2,3);

Генерировать матрицу можно с помощью функции f (i, j) от переменных i, j – индексов матрицы: matrix(n, m, f), где где n - число строк, m – число столбцов. Например:

> f:=(i, j)->x^i*y^j;

> A:=matrix(2,3,f);

Число строк в матрице А можно определить с помощью команды rowdim(A), а число столбцов – с помощью команды coldim(A).

 

Арифметические операции с матрицами.

Сложение двух матриц одинаковой размерности осуществляется теми же командами, что и сложение векторов: evalm(A+B) или matadd(A,B). Произведение двух матриц может быть найдено с помощью двух команд:

1) evalm(A&*B);

2) multiply(A,B).

В качестве второго аргумента в командах, вычисляющих произведение, можно указывать вектор, например:

> A:=matrix([[1,0],[0,-1]]);

> B:=matrix([[-5,1], [7,4]]);

> v:=vector([2,4]);

> multiply(A,v);

> multiply(A,B);

> matadd(A,B);

Команда evalm позволяет также прибавлять к матрице число и умножать матрицу на число. Например:

> С:=matrix([[1,1],[2,3]]):

> evalm(2+3*С);

 

Определители, миноры и алгебраические дополнения. Ранг и след матрицы.

Определитель матрицы А вычисляется командой det(A). Команда minor(A,i,j) возвращает матрицу, полученную из исходной матрицы А вычеркиванием i -ой строки и j -ого столбца. Минор M_ij элемента a_ij матрицы А можно вычислить командой det(minor(A,i,j)). Ранг матрицы А вычисляется командой rank(A). След матрицы А, равный сумме ее диагональных элементов, вычисляется командой trace(A).

> K:=matrix([[4,0,5],[0,1,-6],[3,0,4]]);

> det(K);

> minor(K,3,2);

> det(%);

-24

> trace(K);