Оценка генеральной дисперсии по исправленной дисперсии

: Определение. Генеральной дисперсией D_Г называют среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака Х генеральной совокупности от его среднего значения .

Если различны, то , где N – объём выборки.

Если имеют частоты , то .

 

: Определение. Генеральным средним квадратическим отклонением называют .

: Определение. Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если различны, то .

Если имеют частоты , то .

Замечание. При решениипрактических задач выборочную дисперсию удобнее находить по следующей формуле:

(3)

 

: Определение. Выборочным средним квадратичным отклонением
называют .

 

Задача. По данным выборки найти оценку для неизвестной D_Г.

Если в качестве оценки для D_Г взять D_В, то эта оценка является смещённой, а именно

(без доказательства). (4)

Значит, эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам (давая заниженное значение генеральной дисперсии).

Для получения несмещенной оценки исправим выборочную дисперсию, умножив её на .

 

: Определение. Исправленной (эмпирической) дисперсией называется

. (5)

Значит,

, или ,

где – несмещённая оценка генеральной дисперсии D_{Г .}

Действительно,

Можно доказать, что – состоятельная оценка D_Г, а значит также состоятельная оценка D_Г (т.к. множитель при ).

Замечание. При больших значениях n обе оценки и различаются мало и введение поправочного коэффициента теряет смысл.

Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют исправленное среднее квадратическое отклонение . не является несмещённой оценкой s_Г.

 

: Определение. Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

 

Рассмотренные оценки являются точечными.

Пример 9. Выборка задана следующим ДCР. Найти смещённую и исправленную оценку для дисперсии.

xi	-2	-1
ni

Решение. Предварительно найдем для каждой варианты соответствующую относительную частоту и результаты внесем в таблицу. Объём выборки n = 100.

xi	-2	-1
ni
wi	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Найдем смещённую оценку генеральной дисперсии – воспользуемся формулой (3): .

Выборочную среднюю найдем по формуле (2): . Отсюда, .

Несмещённую оценку генеральной дисперсии найдем по формуле (5): .

Задачи _______________________________________________________ ´

1. Из генеральной совокупности извлечена выборка. Найти несмещённую оценку генеральной средней.

xi
ni

2. Из генеральной совокупности извлечена выборка. Найти несмещенную оценку генеральной средней.

xi
ni

3. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки:

xi
ni

4. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

xi
ni

5. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

xi	0,01	0,04	0,08
ni

6. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

xi	0,1	0,5	0,6	0,8
ni

7. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

xi	18,4	18,9	19,3	19,6
ni

8. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

xi
ni

9. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

xi	0,1	0,5	0,7	0,9
ni

10. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

xi	23,5	26,1	28,2	30,4
ni