Дифференцирование по параметру собственного интеграла с постоянными пределами интегрирования

Теорема 2.10 Пусть функция f(x, у) непрерывна на П, а функции а(у), b(у) непрерывны на [с; d]. Тогда функция I(у), определённая равенством (2.6),непрерывна на [с; d].

Доказательство. Пусть y [с; d]. Покажем, что Для этого разобьём интеграл на три слагаемых, используя свойство аддитивности интеграла.

(2.7)

Здесь интегралы обозначены в порядке следования. Рассмотрим каждый из них в отдельности. Первый из интегралов — интеграл с постоянными пределами вида 2.1, его непрерывность доказана в теореме 2.7. Поэтому

 

Займемся вторым интегралом. Функция f(x, у) непрерывна на П, следовательно, ограничена. Поэтому существует постоянная М такая, что

П.

Но тогда

А так как функция b(у) непрерывна на [с; d], то при , поэтому

Совершенно аналогично доказывается, что и

Таким образом,

что и требовалось доказать.

 

Собственные интегралы, зависящие от параметра для прямоугольника и их свойства

Теорема 4 (о непрерывности интеграла как функции параметра). Пусть функция определена и непрерывна в прямоугольнике , тогда интеграл будет непрерывной функцией от параметра в промежутке .

Доказательство.

Так как непрерывна на замкнутом множестве, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на данном прямоугольнике . Возьмем любое и зафиксируем . Тогда нашему значению будет соответствовать , такое, что для любых двух точек , принадлежащих , из неравенств и , будет следовать . Положим , , где , - любые из , и , где . Тогда получим

. Это означает, что функция равномерно стремится к . В таком случае по теореме 3 , а уже отсюда следует равенство , то есть наша функция непрерывна на .

Замечание 4. Совершенно аналогично доказывается теорема для , где .

Следствие 2. Если непрерывна на прямоугольнике , то .

Циркуляция векторного поля. Циркуляция как работа в силовом поле

Циркуля́цией ве́кторного по́ля называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по произвольному замкнутому контуру Γ. По определению

где — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур Γ, — бесконечно малое приращение радиус-вектора вдоль контура. Окружность на символе интеграла подчёркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру. Приведенное выше определение справедливо для трёхмерного случая, но оно, как и основные свойства, перечисленные ниже, прямо обобщается на произвольную размерность пространства.

Свойства

Аддитивность

Циркуляция по контуру, ограничивающему несколько смежных поверхностей, равна сумме циркуляций по контурам, ограничивающим каждую поверхность в отдельности, то есть

Формула Стокса

Циркуляция вектора F по произвольному контуру Г равна потоку вектора через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.

где — ротор (вихрь) вектора F.

В случае, если контур плоский, например лежит в плоскости OXY, справедлива теорема Грина

где — плоскость, ограничиваемая контуром (внутренность контура).

Если F — некоторое силовое поле, тогда циркуляция этого поля по некоторому произвольному контуру Γ есть работа этого поля при перемещении точки вдоль контура Г. Отсюда непосредственно следует критерий потенциальности поля: поле является потенциальным когда циркуляция его по произвольному замкнутому контуру есть нуль. Или же, как следует из формулы Стокса, в любой точке области D ротор этого поля есть нуль.

 

44. Поток векторного поля и его вычисление

Понятие потока векторного поля удобно рассматривать на примере потока жидкости, движущейся через некоторую поверхность. Объем жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность, расположенную в движущейся жидкости, назовем потоком жидкости через эту поверхность.

Пусть поверхность S расположена в поле скоростей частиц несжимаемой жидкости с плотностью ρ = 1. Можно показать, что поток векторного поля в этом случае равен

где – единичный нормальный вектор к поверхности S, расположенный по одну сторону с вектором , а величина .

Независимо от физического смысла вектора интеграл (3.34) по поверхности называют потоком векторного поля через поверхность S.

Пусть и тогда поток П вектора через поверхность S можно записать в виде:

Или учитывая связь поверхностных интегралов первого и второго родов, можно записать поток П через поверхностный интеграл в координатах:

ПРИМЕР 1. Ориентированные поверхности.

 

Непосредственное вычисление потока. Поскольку поток векторного поля определен с помощью поверхностного интеграла, вычисление потока сводится к вычислению такого интеграла от функции , где - компоненты векторного поля, - направляющие косинусы вектора нормали.