Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-11-16 | 2293 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение. Характеристическим уравнением линейного оператора f называется уравнение вида , где λ –любое действительное число, А – матрица линейного оператора, Е – единичная матрица того же порядка.
Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А (линейного оператора f). В матричном виде характеристическое уравнение имеет следующий вид:
или
.
Следовательно, приравнивая характеристический многочлен к нулю, получаем уравнение степени n, где в качестве неизвестного выступает λ, получаем значения его корней – характеристических чисел данной матрицы. Характеристические корни играют большую роль во многих разделах математики. Рассмотрим одно из применений характеристических корней – очень важный инструмент при исследовании линейных пространств, а также при решении многих прикладных задач линейной алгебры.
Набор всех корней характеристического уравнения называют спектром оператора f (каждый корень рассматривают с той кратностью, которую он имеет в характеристическом уравнении).
Пример. Найти характеристические корни матрицы .
Составим матрицу
Приравнивая характеристический многочлен к нулю, получаем квадратное уравнение
. Тогда корни уравнения равны .
Определение. Пусть f линейный оператор пространства и - некоторый ненулевой вектор, для которого справедливо равенство
где - действительное число. Тогда вектор называют собственным вектором оператора и матрицы его задающего, - собственным значением, или собственным числом преобразования. При этом говорят, что собственный вектор относится к собственному значению .
Собственные векторы играют большую роль, как в самой математике, так и в ее приложениях. Например, резонанс, при котором собственные частоты колебаний системы, совпадают с частой колебаний внешних сил. В математике собственные векторы полезны при решении систем дифференциальных уравнений.
|
Теорема. Если линейный оператор f в базисе (первый базис) имеет матрицу А и в базисе (второй базис) – матрицу В, то имеет место равенство: .
Следовательно, при переходе к новому базису характеристический многочлен линейного оператора не меняется.
◌ Если Т – матрица перехода от первого базиса ко второму, то . Тогда преобразуем правую часть равенства ●
Теорема. Для того чтобы число λ0 из поля Р было собственным значением вектора пространства Ln над Р необходимо и достаточно, чтобы число λ0 являлось характеристическим корнем оператора f.
Док-во. I. Необходимость. Пусть λ0 собственное значение оператора f, тогда в Ln существует собственный вектор , такой, что .
Пусть – его координатная строка в некотором базисе, тогда
(1)
С другой стороны, т.к. , где – матрица линейного оператора в заданном базисе, то
(2)
Приравняв правые части (1) и (2) получим:
(3)
Равенства (3) означают, что числовой вектор с координатами является решением следующей системы уравнений (4).
(4)
Вектор отличен от нулевого (т.к. он собственный), поэтому система (4) имеет ненулевое решение, следовательно ее определитель равен 0.
(5)
а значит и транспонируемый определитель равен 0.
(6)
Таким образом, λ0 – корень характеристического уравнения.
II. Достаточность. Пусть λ0 – характеристический корень оператора в некотором базисе . Докажем, что λ0 является собственным значением оператора A.
Действительно, если λ0 – характеристический корень, то будет выполняться равенство (6), а следовательно, равенство (5), а это будет означать, что система (4) имеет ненулевые решения.
Выберем какое-нибудь ненулевое решение системы(4): числовой вектор . Тогда выполняются равенства (3).
Рассмотрим вектор , а для него будет выполняться равенство (2) и, в силу формулы , справедливо равенство (1), где – матрица оператора в базисе В. Отсюда следует равенство , которое означает, что вектор является собственным вектором оператора , которому соответствуют собственное значение λ0. Это и требовалось доказать. Теорема доказана.
|
Замечание. Для того чтобы найти собственные значения оператора, надо составить и решить уравнение (5). Чтобы найти собственные векторы оператора нужно составить систему уравнений (4) и найти фундаментальный набор решений этой системы.
Для контроля за правильностью вычисления собственных значений (они могут быть совпадающие, комплексные) используются два факта:
1) , где последняя сумма след матрицы – сумма диагональных элементов.
2) .
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы .
Приравнивая к нулю получаем .
Найдем собственные векторы.
1) . , .
.
Пусть - свободная переменная, тогда Получаем вектор .
2) . , .
.
Пусть - свободная переменная, тогда
Получаем вектор .
3) . , .
.
Пусть - свободная переменная, тогда Получаем вектор .
Упражнение. Сделать проверку для вектора .
.
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!