Обучение основным методам интегрирования.

В Maple имеется пакет student, предназначенный для обучения математике. Он содержит набор подпрограмм, предназначенных для выполнения расчетов шаг за шагом, так, чтобы была понятна последовательность действий, приводящих к результату. К таким командам относятся интегрирование по частям inparts и замена переменной changevar.

Формула интегрирования по частям:

Если обозначить подынтегральную функцию f=u (x) v’ (x), то параметры команды интегрирования по частям такие: intparts(Int(f, x), u), где u – именно та функция u(x), производную от которой предстоит вычислить по формуле интегрирования по частям.

Если в интеграле требуется сделать замену переменных x=g (t) или t=h (x), то параметры команды замены переменных такие: changevar(h(x)=t, Int(f, x), t), где t - новая переменная.

Обе команды intparts и changevar не вычисляют окончательно интеграл, а лишь производят промежуточную выкладку. Для того, чтобы получить окончательный ответ, следует, после выполнения этих команд ввести команду value(%); где % - обозначают предыдущую строку.

Не забудьте, перед использованием описанных здесь команд обязательно загрузить пакет student командой with(student).

 

Задание 4.

1. Найти неопределенные интегралы: а) ;

б) .

> Int(cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x),x)=

int(cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x), x);

> Int((3*x^4+4)/(x^2*(x^2+1)^3),x)=

int((3*x^4+4)/(x^2*(x^2+1)^3),x);

2. Найти определенный интеграл , при условии a >0, b >0.

> assume (a>0); assume (b>0);

> Int(sin(x)*cos(x)/(a^2*cos(x)^2+b^2*sin(x)^2),

x=0..Pi/2)=int(sin(x)*cos(x)/(a^2*cos(x)^2+b^2*

sin(x)^2),x=0..Pi/2);

3. Найти несобственный интеграл , при a >-1

> restart; assume(a>-1);

> Int((1-exp(-a*x^2))/(x*exp(x^2)),

x=0..+infinity)=int((1-exp(-a*x^2))/(x*exp(x^2)),

x=0..+infinity);

4. Численно найти интеграл

> Int(cos(x)/x, x=Pi/6..Pi/4)=evalf(int(cos(x)/x,

x=Pi/6..Pi/4), 15);

5. Полностью проделать все этапы вычисления интеграла по частям.

> restart; with(student): J=Int(x^3*sin(x),x);

> J=intparts(Int(x^3*sin(x),x),x^3);

> intparts(%,x^2);

> intparts(%,x);

> value(%);

6. Вычислить интеграл с помощью универсальной подстановки .

> J=Int(1/(1+cos(x)), x=-Pi/2..Pi/2);

> J=changevar(tan(x/2)=t,Int(1/(1+cos(x)),

x=-Pi/2..Pi/2), t);

> value(%);

J =2

 

Контрольные задания.

1. Вычислите предел .

2. Найти пределы функции при и при .

3. Найти .

4. Найти точки разрыва функции .

5. Найти экстремумы функции , и указать их характер.

6. Провести полное исследование функции .

7. Построить график функции с указанием координат экстремумов.

8. Вычислить неопределенный интеграл .

9. Вычислить несобственный интеграл при a >0 b >0 для случаев a > b, a = b, a < b.

10. Численно найти интеграл .

11. Полностью проделать все этапы вычисления интеграла по частям.

12. Вычислить интеграл с помощью универсальной подстановки tg(x /2)= t.

 

Контрольные вопросы.

1. Что такое команды прямого и отложенного исполнения? Опишите их действия.

2. С помощью какой команды вычисляются пределы? Какие у нее параметры?

3. Какие команды позволяют найти производную функции?

4. Опишите команды, позволяющие исследовать функцию на непрерывность.

5. Какая последовательность команд необходима для нахождения max и min функции с указанием их координат (x, y)?

6. Какие недостатки имеют команды maximize, minimize и extrema?

7. Опишите общую схему исследования функции и построение ее графика в Maple.

8. Какие команды производят аналитическое и численное интегрирование? Опишите их параметры.

9. С помощью каких команд вводятся ограничения на параметры для вычисления интегралов, зависящих от параметров?

10. Для чего предназначен пакет student?

11. Опишите команду интегрирования по частям.

12. Опишите команду интегрирования методом замены переменных.

V. Линейная алгебра

 

1. Векторная алгебра.

2. Действия с матрицами.

3. Спектральный анализ матрицы.

4. Системы линейных уравнений. Матричные уравнения.

 

§1. Векторная алгебра

 

Основная часть команд для решения задач линейной алгебры содержится в библиотеке linalg. Поэтому перед решением задач с матрицами и векторами следует загрузить эту библиотеку командой with(linalg).

 

Способы задания векторов.

Для определения вектора в Maple используется команда vector([x1,x2,…,xn]), где в квадратных скобках через запятую указываются координаты вектора. Например:

> x:=vector([1,0,0]);

x:=[1, 0, 0]

Координату уже определенного вектора x можно получить в строке вывода, если ввести команду x[i], где i - номер координаты. Например, первую координату заданного в предыдущем примере вектора можно вывести так:

> x[1];

Вектор можно преобразовать в список и, наоборот, с помощью команды convert(vector, list) или convert(list, vector).

 

Сложение векторов.

Сложить два вектора a и b можно с помощью двух команд:

1) evalm(a+b);

2) matadd(a,b).

Команда add позволяет вычислять линейную комбинацию векторов a и b: , где - скалярные величины, если использовать формат: matadd(a,b,alpha,beta).