Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-11-16 | 605 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Методом вариации постоянных
Цель работы
1. Аналитическое вычисление фундаментальных матриц при моделировании системы методами прямого, параллельного и последовательного программирования.
2. Решение дифференциальных уравнений методом вариации постоянных.
Теоретическое обоснование
Лабораторная работа выполняется на основе моделей и индивидуального задания лабораторной работы №3.
Непрерывная линейная система также может быть описана дифференциальным векторно-матричным уравнением
(4.1)
где А – матрица коэффициентов состояний размером k ´ k; В – матрица коэффициентов управления размером k ´ n; С – матрица коэффициентов наблюдения размером m ´ k и D – матрица коэффициентов выхода размером m ´ n; X – вектор состояния (матрица-столбец размером k ´ l); U – вектор управления (матрица-столбец размером n ´ l); Y – вектор наблюдения (матрица-столбец размером m ´ l).
Решение уравнения (4.1) можно выразить через фундаментальные матрицы, определенные несколькими методами.
Первый метод основан на взятии конечного числа элементов разложения
,
где
Второй способ основан на аналитическом вычислении матрицы Ф (t).
Преобразование Лапласа векторного дифференциального уравнения дает s X (s) − X (0) = AX (s). Откуда X (s) [ I s − A ] = X (0) или X (s) = [ I s – A ]-1 X (0), где I – единичная матрица.
При применении к обеим частям последнего уравнения обратного преобразования Лапласа X (t) = L -1{[ I s − A ]-1} X (0).
Выражение L -1{[ I s − A ]-1} = e A t = Ф (t) определяет фундаментальную матрицу системы.
Множество решений однородного векторно-матричного дифференциального уравнения где каждому начальному условию соответствует только одно решение дифференциального уравнения, образует N -мерное векторное пространство. Среди множества решений всегда может быть выбрано n линейно независимых. Матрица X (t)[ n ´ n ], столбцами которой являются n линейно независимых решений системы, называется фундаментальной матрицей этой системы дифференциальных уравнений.
|
Общее решение матричного дифференциального уравнения для известной фундаментальной матрицы Ф (t) определяется формулой Коши (формулой вариации постоянных)
(4.2)
где l – собственные значения матрицы Ф.
Описание работы
Рассмотрим систему с передаточной функцией (4.3)
(4.3)
Метод прямого программирования
Рис. 4.1. Схема моделирования системы методом прямого программирования
(4.4)
C = [3 4 1], D = 0.
Аналитическое вычисление фундаментальной матрицы заключается в определении матрицы состояния A, разности [ I s − A ], нахождении обратной матрицы и применении обратного преобразования Лапласа к каждому элементу обратной матрицы.
В пакете MatLab эти операции выполняются следующим образом.
A=[0,1,0;0,0,1;0,-10,-7] %Матрица состояния А
syms s %Символьная переменная
Is=[s,0,0;0,s,0;0,0,s] %Единичная матрица
F=inv([Is]-[A]) %Обратная матрица в частотной области
F1=ilaplace(F) %Обратная матрица во временной области.
В результате выполнения программы получают фундаментальную матрицу в частотной области
(4.5)
и во временной области
(4.6)
Выражение (4.6) получено из (4.5) с помощью обратного преобразования Лапласа применительно к каждому элементу матрицы. В случае нулевых начальных условий X (0) = 0 и нулевой матрицы выхода системы D = 0 первое и второе слагаемое формулы Коши (4.2) равны нулю, откуда
(4.7)
Фундаментальная матрица в символьной форме выглядит как
.
Для определения подынтегрального выражения (4.7) вычисляют:
СФВU = [3 Ф 13 + 4 Ф 23 + Ф 33]×[1] = [3 Ф 13 + 4 Ф 23 + Ф 33] =
= .
Выходную величину системы определяют из выражения (4.7):
Решение матричного интегрального уравнения
График переходной функции (рис. 4.2) определяют следующим образом
t=0:0.01:1;
|
y=(3/10)*t-(1/12)*exp(-2*t)-(8/75)*exp(-5*t)+(19/100);
Plot(t,y).
Рис. 4.2. Переходная функция модели, определенная методом прямого программирования
Метод параллельного программирования
При разложении передаточной функции (4.3) методом Хевисайда:
(4.8)
(4.9)
С учетом выражения (4.8) получена схема моделирования (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Схема моделирования системы методом параллельного программирования
(4.10)
D = 0.
Матрица A при параллельном программировании имеет диагональный вид, что достигается выбором базиса, при котором фазовые координаты не влияют друг на друга.
Определяют фундаментальную матрицу Ф (t):
A=[0,0,0;0,-2,0;0,0,-5] %Матрица состояния
syms s %Символьная переменная
Is=[s,0,0;0,s,0;0,0,s] %Единичная матрица
F=inv([Is]-[A]) %Обратная матрица в частотной области
F1=ilaplace(F) %Обратная матрица во временной области.
Фундаментальная матрица в частотной области
и во временной области
Решение матричного интегрального уравнения
График переходной функции (рис. 4.4) определяют следующим образом
t=0:0.01:1;
y=(3/10)*t-(1/12)*exp(-2*t)-(8/75)*exp(-5*t)+(19/100);
Plot(t,y).
Метод последовательного программирования
Структурную схему для последовательного программирования получают из передаточной функции (4.5), если ее разбить на блоки и для каждого блока представить схему моделирования
(4.11)
По блочной передаточной функции (4.11) составляют схему моделирования (рис. 4.5)
Из схемы моделирования (рис. 4.5) получена матрица коэффициентов состояния А и матрица коэффициентов наблюдения С
или
Рис. 4.4. Переходная функция модели, определенная методом параллельного программирования
(4.12)
C = [-1 -2 1], D = 0.
Определяют фундаментальную матрицу Ф (t):
A=[-2,-2,1;0,-5,1;0,0,0] %Матрица состояния
syms s %Символьная переменная
Is=[s,0,0;0,s,0;0,0,s] %Ввод единичной матрицы
F=inv([Is]-[A]) %Обратная матрица в частотной области
F1=ilaplace(F) %Обратная матрица во временной области.
Рис. 4.5 Схема моделирования системы методом последовательного программирования
Фундаментальная матрица в частотной области
и во временной области
Решение матричного интегрального уравнения
График переходной функции (рис. 4.6) определяют следующим образом
t=0:0.01:1;
y=(3/10)*t-(1/12)*exp(-2*t)-(8/75)*exp(-5*t)+(19/100);
Plot(t,y).
Рис. 4.6. Переходная функция модели по методу последовательного программирования
Задание
1. По полученным в лабораторной работе №3 схемам моделирования заданной передаточной функции и матрицам состояния А для методов прямого, параллельного и последовательного программирования определить обратные матрицы в частотной и временной области.
|
2. С помощью полученных ранее матриц коэффициентов А, В, С и обратных матриц в частотной и временной области для методов прямого, параллельного и последовательного программирования определить произведение матриц CФBU, используя Matlab.
2. Определить для методов прямого, параллельного и последовательного программирования. Построить графики Y (t).
Содержание отчета
1. Структурные схемы исследуемой системы, полученные методами прямого, параллельного и последовательного программирования.
2. Расчет обратных матриц в частотной и временной области для методов прямого, параллельного и последовательного программирования.
3. Расчет выходного сигнала для методов прямого, параллельного и последовательного программирования.
4. Графики выходного сигнала для методов прямого, параллельного и последовательного программирования.
Контрольные вопросы
1. Дайте сравнительную характеристику фундаментальных матриц, полученных по методу параллельного программирования и методу прямого программирования.
2. Дайте сравнительную характеристику фундаментальных матриц, полученных по методу параллельного программирования и методу последовательного программирования.
3. Основные свойства фундаментальной матрицы.
4. С помощью какой команды может быть получена обратная матрица в частотной области?
5. С помощью какой команды может быть получена обратная матрица во временной области?
6. Каким образом с помощью Matlab может получено подинтегральное выражение для определения выходного сигнала системы?
7. Каким образом можно записать фундаментальную матрицу в символьном виде?
Лабораторная работа № 5
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!