Тема: Перевод числа из систем счисления

Перевод целых и дробных чисел. Арифметические операции.

Цель: сформировать умения перевода целых и дробных чисел из одной системы счисления в другую; отработать навыки выполнения арифметических операций.

Теоретическая часть

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

 

N1. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другую.

Правило перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

1. Последовательно выполнять деление исходного числа и получаемых частных на q до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.
2. Полученные при таком делении остатки – цифры числа в системе счисления q – записать в обратном порядке (снизу вверх).

 

Пример1. Перевести 26₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:

Ответ: 26₁₀=11010₂

 

Пример 2. Перевести 241₁₀ в восьмеричную систему счисления. А₁₀→А_8. Решение:

Ответ: 241₁₀ = 361₈

 

Пример 3. Перевести 362710 в шестнадцатеричную систему счисления. А10→А16.

Решение:

Т.к. в шестнадцатеричной системе счисления 14 – Е, а 11 – В, то получаем ответ Е2В₁₆.

Ответ: 3627₁₀=E2B₁₆

N2. Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в другую.

Правило перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

1. Последовательно выполнять умножение исходного числа и получаемых дробные части на q до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или не достигнем требуемую точность.
2. Полученные при таком умножении целые части - числа в системе счисления q – записать в прямом порядке (сверху вниз).

Пример1. Перевести 0,5625₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А_2.

0, 5625 * 2 1 1250 * 2 0 2500 * 2 0 5000 * 2 1 0000 * 2 0 5000 * 2 1 0000

Решение:

Ответ: 0,5625₁₀ = 0,1001₂

Пример2. Перевести 0,5625₁₀ восьмеричную систему счисления. А₁₀→А₈

0, 65625 * 8 5 25000 * 8 2 00000 * 2 0 5000 * 2 1 0000

Решение:

Ответ: 0,5625₁₀ = 0,52₈

Пример 3. Перевести 0,665₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

0, 665 * 2 1 330 * 2 0 660 * 2 0 320 * 2 0 640 * 2 1 280 ………….. * 2 0 5000 * 2 1 0000

Решение:

Процесс умножения может продолжаться до бесконечности. Тогда его прерывают на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа

Ответ: 0,665₁₀ = 0,10001₂

N3. Перевод произвольных чисел из десятичной системы счисления в другую.

Перевод произвольных чисел, то есть чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляют в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.

Пример1. Перевести 26,25₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:

переводим целую часть переводим дробную часть

0, 25 * 2 0 50 * 2 1 00000 * 2 0 5000 * 2 1 0000

Ответ: 26,25₁₀=11010,01₂

Пример2. Перевести 123,5625₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₈

Решение:

переводим целую часть переводим дробную часть

0, 5625 * 8 4 5000 * 8 4 00000 * 2 0 5000 * 2 1 0000

Ответ: 123,5625₁₀=173,44₈

N4. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную.

Правило Для того чтобы число из любой системы счисления перевести в десятичную систему счисления, необходимо его представить в развернутом виде и произвести вычисления.

Пример1. Перевести число 110110₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

5 4 3 2 1 0

1 1 0 1 1 0 ₂ = 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰ =32+16+4+2=54₁₀

Ответ: 110110₂ = 54₁₀

Пример2. Перевести число 101,01₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

2 1 0 -1 -2

1 0 1,0 1 ₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2 =4+0+1+0+0,25=5,25₁₀

Ответ: 101,01₂ = 5,25₁₀

Пример6. Перевести число 2Е₁₆ в десятичную систему счисления.

Решение:

2 1

2 Е₁₆ = 2*16¹ +14*16⁰ = 32 +14 = 46₁₀.

Ответ: 2Е₁₆ = 46_10.

N5. Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Перевод целых чисел.

Правило Чтобы перевести целое двоичное число в восьмеричную (8=2³) систему счисления необходимо:

· разбить данное число справа налево на группы по 3 цифры в каждой;

· рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей цифрой восьмеричной системы счисления.

Пример 1. Перевести число 11110000010110₂ в восьмеричную систему счисления.

Решение:

7 6 0 2 6

 

Ответ: 11110000010110₂= 76026₈

Правило Чтобы перевести целое двоичное число в шестнадцатеричную (16=2⁴) систему счисления необходимо:

· разбить данное число справа налево на группы по 4 цифры в каждой;

· рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей цифрой шестнадцатеричной системы счисления.

 

Пример 2. Перевести число 11100010₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

Е 2

Ответ: 11100010₂ = Е2₁₆

Пример 3. Перевести число 11110000010110₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

 

3 С 1 6

 

Ответ: 11110000010110₂= 3С16₁₆

Перевод дробных чисел.

Правило Чтобы перевести дробное двоичное число в восьмеричную (шестнадцатеричную) систему счисления необходимо:

· разбить данное число, начиная от запятой влево целую часть и вправо дробную часть на группы по 3 (4) цифры в каждой;

· рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей цифрой восьмеричной (шестнадцатеричной)системы счисления.

Пример 4. Перевести число 0,10110000111₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

0,10110000111

В 0 7

Ответ: 0,10110000111₂ = В07₁₆