Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-11-16 | 437 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение: Пусть . Суммой чисел и называется действительное число
Теорема: Множество является аддитивной абелевой упорядоченной архимедовой группой. Сложение на согласуется со сложением на .
Доказательство:
· Сложение -б.а.о.По определению .
Поэтому множество ограничено сверху и поэтому
· коммутативность
– рациональные числа(конечные десятичные дроби), а сложение рац. чисел коммутативно.
· сложение на и согласуется.Обозначим сложение на как , на как +.
1.
2.
3.
Доказательство ОП.
· ассоциативность.
аналогично доказывается
Согласно следствию теоремы о плотности
· существование нуля. 0 является нейтральным элементом относительно сложения.
· противоположный элемент. Каждый элемент имеет противоположный
· упорядоченная группа.
· Архимедовость
По свойству архимедовости для рациональных чисел
⊠
Определение: Упорядоченная аддитивная абелева группа, для которой выполняется свойство Архимеда, называется архимедовой.
Поле действительных чисел.
Определение:Модулем действительного числа называется
Определение: Пусть действителные числа, их произведением называется действительное число, которое определяется следующим образом:
Теорема: Множество является кольцом. Умножение на согласуется с умножением на .
Доказательство:
1. для сложения всё уже доказано
2. Умножение – б. а. о.
множество ограничено сверху этого множества.
и единственным образом определено умножение неотрицательных действ-ых чисел.
Следовательно, определено умножение действительных чисел.
3. ассоциативность: доказательство достаточно провести для неотрицательных чисел, потому что для других чисел это следует из этого случая:
|
<
Аналогично:
согласно следствию теоремы о плотности множества D в множестве
4. дистрибутивность – это равенство очевидно, если одно из чисел равно , или .
Достаточно доказать дистрибутивность для Доказательство аналогично доказательству для ассоциативности. ⊠
Теорема: поле.
Доказательство: достаточно доказать, что если
Будем считать, что Тогда что
последовательность ограниченасверху ⊠
Теорема: Множество действительных чисел содержит множество рациональных чисел. Отношение «=», отношение порядка, операции умножения и сложения на множестве согласуются с соответствующими операциями на множестве
Доказательство: Множество содержит множество , поэтому мн-во содержит мн-во чисел вида ⊠
Определение, свойства и алгебраические операции с комплексными числами. Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах. Вложение поля действительных чисел в поле комплексных чисел
Определение: Системой комплексных чисел называется множество с операциями сложение и умножение:
; .
Теорема: Система комплексных чисел является полем.
Доказательство:
1. Сложение коммут-но, ассоц-но, нулевой элемент ; противоположный .
2. Умножение коммутативно, ассоциативно, единица ;
3. дистрибутивность ⊠
Обозначим – называется комплексной единицей. . . Поэтому .
Определение: Комплексное число записанное в виде называется алгебраической формой комплексного числа.
Утверждение: Сложение и умножение комплексных чисел в алгебраической форме:
;
;
Доказательство:
.
Аналогично для умножения. ⊠
Замечание: Рассмотрим пару . Поставим в соответствие числа на декартовой плоскости с координатами .
Длина вектора
эта форма записи комплексного числа называется тригонометрической.
Утверждение: Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме:
; ,
.
Утверждение: Если , , то .
Определение: Корнем -ой степени из компл. числа назыв. такое число , что .
|
Обозначение: .
Теорема: Пусть - комплексное число, тогда ровно значений корня -ой степени из и они находятся по формуле:
- арифметическое значение корня.
Следствие: Корни степени из находятся в вершинах правильного -ка.
Следствие: Мн-во всех корней степени из 1 является мультипликативной группой.
Доказательство:
·
бинарная алгебраическая операция
·
· ⊠
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!