Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-11-16 | 218 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
Когда степень многочлена знаменателя дроби равна нулю (т.е. в знаменателе стоит число), дробь является многочленом. По теореме известно, что любой многочлен может быть разложен на множители.
Если степень знаменателя дроби больше нуля и степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь можно представить в виде простейших дробей. Если степень числителя больше дроби знаменателя, то необходимо выполнить деление многочлена на многочлен «углом».
Пример. Разложить рациональную функцию на простейшие дроби.
.
Определим , , и из системы уравнений , . Итак, .
Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
Для интегрирования рациональной функции, где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:
Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;
Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;
Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициэнтов;
Вычислить интегралы от простейших дробей.
Интегрирование простейших иррациональностей. Подстановки Эйлера.
Рассмотрим случаи, в которых замена переменной позволяет интегралы от иррациональных функций свести к интегралам от рациональных функций.Обозначим через функцию от переменных и , и некоторых постоянных, которая построена с использованием лишь четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления). Например, , и т.д.
Интеграл вида , где рационализируется с помощью первой подстановки Эйлера .
|
Пример. Найти интеграл .
Здесь , поэтому применим подстановку . Возведем обе части равенства в квадрат , , приведем подобные члены, получим , откуда , .
Подставляя полученные выражения в данный интеграл, имеем
Интеграл вида , где рационализируется с помощью первой подстановки Эйлера .
Пример. Найти интеграл .
Здесь , поэтому применим подстановку . Возведем обе части равенства в квадрат , , приведем подобные члены, получим , откуда , , .
Подставляя полученные выражения в данный интеграл, имеем Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей: , откуда Полагая , находим , при , получим , при имеем , тогда .
Таким образом, получаем
Интеграл вида , где рационализируется с помощью первой подстановки Эйлера .
Пример. Вычислить .
Здесь , поэтому применим подстановку . Возведем обе части равенства в квадрат , , откуда , , .
Подставляя полученные выражения в интеграл, .
Биномиальный интеграл.
Биномиальным дифференциалом наз-ся выражение , где , и - рациональные числа.
Интеграл от биномиального дифференциала приводится к интегралу от рациональной функции в следующих трех случаях.
Случай 1. Показатель степени - целое число. Тогда интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где - общий знаменатель дробей и .
Случай 2. Число - целое. Тогда сводится к интегралу от рац.функции с помощью подстан. , - знаменатель дроби .
Случай 3. Число - целое. Тогда интеграл рационализируется с помощью подстановки , где - знаменатель дроби .
Пример. Найти интеграл .
Здесь , , - целое число, т.е. имеет место первый случай интегрируемости. Поэтому следует применить подстановку , тогда , и данный интеграл принимает вид
61.Интегрирование функции .
Рассмотрим интегралы вида . Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций заменой переменной , где . Действительно , , , .
Пример. Вычислить .
.
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!