Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-11-16 | 243 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида .
Необходимый признак сходимости числового ряда:
Если ряд сходится, то .
Данный признак означает, что если , то ряд расходится. Например, расходится, так как . Из выполнения условия в общем случае не следует сходимость ряда . Например, для ряда (гармонический ряд), условие выполнено, но данный ряд расходится.
Положительные числовые ряды. Признаки Коши и Даламбера
Положительные ряды
Если an ≥ 0 (n = 1, 2, 3,...), то ряд a 1 + a 2 + a 3 +... называется положительным. В том случае, когда при всех n оказывается an > 0, будем называть ряд строго положительным.
Положительные ряды обладают многими свойствами, сближающими их с обычными суммами конечного числа слагаемых.
Легко видеть, что частичная сумма
Sn = a 1 + a 2 +... + an
положительного ряда возрастает (может быть, не строго) с увеличением n. Так как всякая возрастающая числовая последовательность имеет конечный или бесконечный предел (причем члены последовательности не превосходят этого предела), то для любого положительного ряда существует предел
Этот предел будет конечным или бесконечным, смотря по тому, ограничено сверху или нет множество частичных сумм { Sn }
Теорема (признак Даламбера). Пусть для числового ряда с положительными членами:
cуществует l, то
при l <1 ряд сходится,
при l >1 ряд расходится,
при l =1 ряд может сходиться или расходиться (в этом случае признак на вопрос о сходимости ряда ответа не дает).
По определнию предела > 0 N=N(), что n>N выполняется неравенство:
или .
Выберем N так, чтобы для n>N было l + =q<1, тогда
Ряд aNq+aNq2+...+aNqm+... сходится, так как знаменатель прогрессии q<1. Тогда по теореме 1 ряд также сходится.
|
Для случая q>1 доказательство аналогично, только нужно рассмотреть .
Признак Коши: Если существует , то при l <1 ряд сходится; l >1 - ряд расходится; l =1 — определить сходимость невозможно.
Доказательство признака Коши аналогично доказательству признака Даламбера.
Знакочередующиеся числовые ряды. Абсолютная и условная сходимости
Знакочередующимся числовым рядом называется ряд
Абсолютная и условная сходимость
Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.
Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.
Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Функциональные ряды. Равномерная сходимость функционального ряда.
Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция .
Равномерная сходимость
Существует функция такая, что:
Факт равномерной сходимости последовательности к функции записывается:
Степенные ряды
Определение
Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:
Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x 0), то есть ряд вида
где x 0 − действительное число.
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!