Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-11-15 | 472 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Простейшие свойства сходящихся рядов.
1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда. Отсюда следует, что изменение или выбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.
2. Если ряд сходится, то .
3. Если ряд сходится, то сходится ряд и имеет место равенство .
4. Если ряды и сходятся, то сходится и ряд имеет место равенство .
5. Если ряд сходится, то .
Отсюда следует
Признак расходимости ряда. Если , то ряд расходится
Исследование ряда на сходимость.
Сходимость рядов. Признаки сравнения |
Необходимый признак сходимости, вообще говоря, не гарантирует сходимости ряда. Сходимость или расходимость ряда устанавливается с помощью достаточных признаков. Признаки сравнения, которые мы рассмотрим ниже, как раз и представляют собой достаточные признаки сходимости или расходимости рядов. Признаки сравнения рядов Даны два ряда и − такие, что для всех n. Тогда справедливы следующие признаки: Если сходится, то также сходится; Если расходится, то также расходится. Предельные признаки сравнения рядов Пусть даны два ряда и , у которых члены an и bn положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки: Если , то оба ряда и либо сходятся, либо расходятся; Если , то ряд сходится, если сходится ряд ; Если , то ряд расходится, если расходится ряд . Так называемый обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при 0 < p ≤ 1. |
Пример 1 |
Определить, сходится или расходится ряд . Решение. Легко видеть, что для n > 1. Применяя далее признак сравнения, находим Поскольку ряд сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем степени p = 2, то исходный ряд также сходится. |
|
Признак Даламбера.
Признак Даламбера — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.
Если для числового ряда
существует такое число , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство
то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера
то ряд расходится.
Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме
Если существует предел
то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если , а если — расходится.
Замечание. Если , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.
Примеры
Ряд
абсолютно сходится для всех комплексных , так как
Ряд
расходится при всех , так как
Если , то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда
и
удовлетворяют этому условию, причём первый ряд расходится, а второй сходится.
38. Признак Коши.
Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:
Если для числового ряда с неотрицательными членами существует такое число , , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится. |
Предельная форма
Условие радикального признака равносильно следующему:
То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:
Если для ряда , то если ряд сходится, если ряд расходится, если вопрос о сходимости ряда остается открытым. |
Доказательство
1. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то подставив в определение предела выбранное получим:
Раскрыв модуль, получаем:
Поскольку , то ряд сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже сходится.
2. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то подставив в определение предела выбранное получим:
|
Раскрыв модуль, получаем:
Поскольку , то ряд расходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже расходится.
Примеры
1. Ряд
сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака теоремы Коши
2. Рассмотрим ряд
ряд сходится.
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!