угловой скорости твердого тела

Скорость центра масс С катка 2 равна скорости груза 1:

(3)

Угловая скорость катка 2, мгновенный центр скоростей которого нахо­дится в точке Р₂,

Учитывая (3), получим

(4)

Скорость точки D катка 2

т. е.

Скорость точки Е блока 3 равна скорости точки D катка 2:

v_E = v_D. (5)

Но

Следовательно, по (5),

Так как

R₂ = 2r₂,

То

откуда

(6)

Заменяя в формуле (6)

,

получим

или

После интегрирования(при нулевых начальных условиях)

⁽⁷⁾

Когда груз 1 пройдет путь s = 0,06л м, блок 3 повернется на угол φ₃

При этом повороте блока 3 на 180° его точка А₀ перейдет в конечное положение А и шатун 4 из начального положения А₀В₀ перейдет в ко­нечное положение АВ.

Каток 5 переместится влево при повороте блока 3 на угол π/2 и вправо при повороте блока еще на π/2; значит, конечное положение катка 5 совпадает с его начальным положением.

Таким образом, конечное положение всей системы вполне определено (рис. 155, б).

Вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении как сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3, 4, 5:

T=T₁ + T₂ + T₃ + T₄+T₅. (8)

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,

. (9)

Кинетическая энергия катка 2, совершающего плоское движение,

(10)

где J_2ξ — момент инерции катка 2 относительно его продольной централь­ной оси С_2ξ

(11)

Подставляя (3), (4), (11) в формулу (10), получаем

Кинетическая энергия тела 3, вращающегося вокруг оси Ох,

(13)

где J_3x — момент инерции блока 3 относительно оси Ох:

(14)

Подставляя (6), (14) в формулу (13), получаем

Кинетическая энергия шатуна 4, совершающего плоское движение,

где v_C4 — скорость центра масс С₄ шатуна 4; ω₄ — угловая скорость ша­туна 4; J _4ξ — момент инерции шатуна относительно центральной оси С_4ξ. Для определения v_C4 и ω₄ найдем положение мгновенного центра ско­ростей шатуна 4. Так как скорости точек А и В в этот момент парал­лельны, то мгновенный центр скоростей шатуна 4 находится в бесконеч­ности; следовательно, угловая скорость шатуна в данный момент ω₄ = 0, а скорости всех его точек параллельны и равны между собой. Таким образом, кинетическая энергия шатуна 4

(16)

где

v_C4 = v_A. (17)

Вращательная скорость точки А тела 3

v_A = ω₃R₃, (18)

или с учетом (14)

Поскольку г₃₌ получим

v_A = 2 v ₁

По (17)

v_C4 = v_A. V_C4 = 2v₁ (19)

После подстановки (19) в (16) выражение кинетической энергии ша­туна 4 принимает вид

Т₄=¹/2m₄(2 v ₁)²=2 mv ₁² (20)

Кинетическая энергия катка 5, совершающего плоское движение,

где v _C5 — скорость центра масс С₅ катка 5; - момент инерции катка 5 (однородного сплошного цилиндра) относительно его центральной про­дольной оси — угловая скорость катка 5.

Так как каток катится без скольжения, то мгновенный центр скоростей находится в точке Р₅. Поэтому

Следовательно,

Так как звено ВС₅ совершает поступательное движение, то v_c5 = v_B но v_B = v_c4 =2 v₁. Значит, v_c5 = 2 v₁.

Поэтому выражение кинетической энергии катка 5 принимает вид

T_s = ³/4m₅ (2 v₁)² = 3m₅ v₁² (21)

Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (8) с учетом (9), (12), (15), (20), (21):

Подставляя сюда заданные значения масс, получаем

или

(22)

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении. Покажем внешние силы, приложенные к сис­теме (рис. 155, в).

Работа силы тяжести G_t

(23)

Работа силы трения скольжения

Так как

то

(24)

Работа силы тяжести G₂

(25)

Работа сил сцепления F_сц2, F_си5 катков 2 и 5 равна нулю, так как эти силы приложены в мгновенных центрах скоростей этих катков. Работа силы тяжести G₄

где h_C4 — вертикальное перемещение центра тяжести С₄ шатуна 4 из на­чального положения в его конечное положение (рис. 155, г):

. (26)

Работа пары сил сопротивления качению катка 5

(27)

где Мс = δN₅ =δG₅ ^— момент пары сил сопротивления качению катка 5; φ₅ — угол поворота катка 5.

Так как каток 5 катится без скольжения, то угол его поворота

(28)

где s_C5 — перемещение центра тяжести С₅ катка 5.

В данном примере работу пары сил сопротивления вычислим как сумму работ этой пары при качении катка 5 влево при повороте тела 3 на угол π/2 и качении вправо, когда тело 3 повернется еще на угол π/2.

Перемещение центра тяжести С₅ катка 5 равно перемещению ползуна В влево и право:

s_C5 = 2 (B₀B^/). (29)

Определим перемещение В₀В' при повороте тела 3 на угол π/2. За начало отсчета координаты точки В выберем неподвижную точку К плоскости (рис. 155, г). При этом повороте тела 3 шатун из положения А₀В₀ перейдет в положение KB'. Тогда

В₀В' = КВ₀ - KB¹,

где

КВ₀ = КО + ОВ₀ = R₃ +

KB' = / = 4R₃.

Следовательно,

. (30)

Подставляя (30) в (29), а затем в (28), находим полный угол поворота катка 5:

φ₅ = 1,76R₃/R₅. (31)

Работа пары сил сопротивления качению по (27)

(32)

Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (23) —(26) и (32):

Подставляя заданные значения масс, получаем

или

(33)

Согласно теореме (2), приравняем значения Т и определяемые по формулам (22) и (33):

откуда

= 0,21 м/с.

Задание Д.11. Исследование поступательного и вращательного движений твердого тела

Механическая система состоит из механизма (колес 1 и 2) и груза 3. К колесу 1 приложена пара сил с моментом М = М (t) (движущий момент) или движущая сила Р — Р (t).

Время t отсчитывается от некоторого момента (t = 0), когда угловая скорость колеса 7 равна ω₁₀. Момент сил сопротивления ведомого колеса 2 равен М _с. Другие силы сопротивления движению системы не учитывать.

Массы колес 1 и 2 равны т₁ и т₂, а масса груза 3 — m ₃.

Радиусы больших и малых окружностей колес R₁ r₁ R₂, r₂.

Схемы механических систем показаны на рис. 156—158, а необходи­мые для решения данные приведены в табл. 48.

Найти уравнение движения тела системы, указанного в последней графе табл. 48.

Определить также натяжение нитей в заданный момент времени, а в вариантах, где имеется соприкасание колес 1 и 2, найти, кроме того, окружное усилие в точке их касания. Колеса 1 и 2, для которых радиусы инерции i_X1 и i_Х2 в табл. 48 не заданы, считать сплошными однородными дисками.

Пример выполнения задания. Дано: т₁ = 100 кг; т₂ = 150 кг; т₃ = 400 кг; М = 4200 + 200t Н • м; М_с = 2000 Н • м = const; R₁ = 60; R₂ = 40 см; r₂ = = 20 см; i_X1 = i_x2 = 30 см; ω₁₀ = 2 рад/с.

Найти уравнение ср₂ = f(t) вращательного движения колеса 2 механизма, а также окружное усилие S в точке касания колес 1 и 2 и натяжение нити Г в момент времени t₁ = 1 (рис. 159, а).

Решение. В данной механической системе колеса 1и 2 механизма вращаются вокруг неподвижных осей, а поднимаемый груз 3 совершает поступательное движение.

Напишем дифференциальные уравнения движения каждого из этих трех тел, для чего отделим одно от другого, разрезав нить, удерживающую груз 3, и разъединив колеса 1и 2 в точках соприкасания зубцов (рис. 159,6).

К колесу 1механизма приложены сила тяжести движущий момент М, составляющие реакции подшипника , окружное усилие и нормальная реакция колеса 2.

К колесу 2 механизма приложены сила тяжести, момент сил сопро­тивления М_с, составляющие реакции подшипника , натяжения Т нити, ккоторой подвешен груз 3, окружное усилие