Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-11-17 | 245 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Основные понятия: дифференциальное уравнение первого порядка, решение, общее решение, общий интеграл, задача Коши, частное решение, интегральная кривая, теорема существования и единственности решения задачи Коши; дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, однородное уравнение первого порядка [1, с. 417-421].
Дифференциальным уравнением первого порядка относительно искомой функции называется уравнение вида
.
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид
.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде
или .
При решении таких уравнений сначала разделяют переменные, потом находят общий интеграл, при этом возможна потеря решений (см. решение типовых задач, пример 3).
Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид
(10.1)
или
,
где и однородные функции степени , т.е. и .
Однородное уравнение (10.1) с помощью подстановки ( ), где новая неизвестная функция, приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
Задачи А
1. Является ли функция решением уравнения ?
2. Найти общее решение дифференциального уравнения .
3. Решить задачу Коши .
4. Проверить, что функции и являются решениями уравнения проходящими через точку (0; 0). Какое условие теоремы существования и единственности решения здесь нарушается?
5. Какие из дифференциальных уравнений являются уравнениями с разделяющимися переменными: а) ;
б) ; в) ?
6. Найти общее решение дифференциального уравнения .
7. Установить соответствие между дифференциальными уравнениями:
1) 2) 3)
и общими решениями:
|
А) В) С) D)
8. Какие из дифференциальных уравнений являются однородными уравнениями:
а) ; б) ; в) ?
Задачи Б
Решить дифференциальные уравнения:
9. . 10. . 11. ;
Решить задачу Коши:
12. . 13. .
14. .
15. Построить интегральную кривую уравнения , проходящую через точку .
Домашнее задание
16. Является ли функция решением уравнения ?
Решить дифференциальные уравнения:
17. . 18. . 19. .
Решить задачу Коши:
20. , . 21. .
Дополнительные задачи
22. Решить дифференциальное уравнение .
Решить задачу Коши:
23. . 24. .
25. . 26. .
Решение типовых задач
Пример 1. Проверить, являются ли функции , решениями дифференциального уравнения .
Функция будет решением, т.к. и
для всех А функция не является решением дифференциального уравнения ни на каком интервале, т.к. и равенство выполняется только для отдельных значений – нет такого интервала, на котором равенство выполнялось бы для всех .
Пример 2. Решить задачу Коши .
Исходное уравнение можно записать в виде .
Разделяя переменные, будем иметь . Интегрируя по обе части этого уравнения , ,
получим общий интеграл , .
Потенцируя последнее равенство, получим
или , где , .
Решением уравнения также будет: . Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид , .
Далее, используя заданное начальное условие , получим
, откуда . Следовательно, искомое частное решение имеет вид .
Пример 3. Решить уравнение .
Разделяя переменные и интегрируя , получим , или , где , .
При делении на и потеряли решения , . Итак, общее решение уравнения имеют вид: . Решениями также являются .
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение .
Разделив обе части уравнения на , получим .
Это однородное дифференциальное уравнение. Полагаем , тогда и уравнение принимает вид или
. Это уравнение с разделяющимися переменными:
, , .
Так как , то общий интеграл уравнения: .
Ответы
9. 10. . 11. .
12. . 13. . 14. . 15. . 16. Да.
17. . 18. , . 19. 20. . 21. . 22. , . 23. . 24. . 25. . 26. .
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!