Позиционные системы счисления.

Само название этих систем указывает на связь значимости числа и его изображения от позиции.

Позиция - некоторое место, в котором может быть представлен лишь один символ.

Примером позиционной системы счисления является десятичная система.

В этой системе число представляется в виде полинома "n" степени, а изображается совокупностью некоторых символов, каждый из которых имеет различный вес в зависимости от позиции, которую он занимает.

Основание системы счисления - число, которое является мощностью множества различных символов, допустимых в каждой позиции числа.

Так для десятичной системы допускаемыми являются символы: 0, 1, 2, 3,..., 9.

Обозначим через "p" основание системы счисления. Тогда веса позиций числа могут быть представлены так:

... p³ p² p¹ p⁰.

Например:

973₁₀ = 3*10⁰ + 7*10¹ + 9*10² = 3 + 70 + 900.

Любое число X в позиционной системе счисления можно представить в виде:

, где

m - число позиций или разрядов, отведенное для изображения целой части числа.

n - общее число разрядов в числе.

a_i - любой допустимый символ в разряде, т.е. a_i = {0, 1, 2,..., p-1}.

p - основание системы счисления.

Наиболее эффективными являются системы с основанием, кратным 2, т.е. 2, 4, 8, 16. Специфика построения схем ЭВМ показывает, что наиболее эффективной является 16-ая система. Именно она и применяется в современных машинах.

Мы же будем считать эффективной систему с основанием 2 по причине ее наибольшего распространения.

Вот основные соображения в пользу этой системы:

- Высокая информационная эффективность.

- Простота и надежность работы 2-ого элемента хранения информации (т.е. имеющего 2 устойчивых состояния)

- Совпадение максимального числа состояний элемента с максимальным числом значений двоичной переменной, дающее возможность не строить специальные устройства для выполнения логических операций.

- Простота построения схем для выполнения простых операций.

- Более высокая скорость выполнения основных арифметических операций.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Итак, имеем дело с позиционной системой счисления с основанием "p", с естественными весами разрядов.

В качестве промежуточной используется, естественно, десятичная система. Вначале число переводится из системы "p" в 10-ую, затем из 10-ой в систему с нужным основанием.

Рассмотрим перевод целых чисел:

Перевод осуществляется по следующему правилу: исходное число, записанное в системе с основанием "p" и его частные последовательно делятся на число "q", представленное в системе "p". Деление производится в системе с основанием "p" и продолжается до получения результата, меньшего "q". Первый остаток, меньший "q", дает младшую цифру числа N_q. Остатки от деления дают остальные цифры числа N_q.

Пусть p=10, q=2.

Пример:

1. 31₁₀ = 11111₂

2. 1*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16+8+4+2+1 = 31₁₀.

?	Перечислите преимущества использования двоичной системы счисления.

 

?	Переведите число 19 из десятичной системы сначала в двоичную, а затем в шестнадцатеричную.

 

Кодирование информации

Код – это правило отображения одного набора объектов или знаков в другой набор знаков без потери информации. При этом можно всегда однозначно возвратиться к прежнему набору объектов или знаков.

Например, любую информацию можно передать русским языком с помощью 33 букв русского алфавита и добавочных знаков препинания.

Кодирование – это представление, моделирование одного набора знаков другим с помощью кода.

Кодовая таблица – это соответствие между набором знаков и их кодами, обычно разными числами.

Первые 32 кода 0–31 отведены под управляющие символы, отвечающие за форматирование текста и другие вспомогательные функции. Например, символ конца абзаца, получающийся при нажатии клавиши <Enter>, имеет код 13. Эти «символы» обычно в таблицах не рисуются.

Символы с кодами 32–126 являются аски-кодами.

Остальные коды 128–255 соответствуют символам других национальных алфавитов.

Аски-коды (ASCII) состоят из следующих четырех групп символов.

1. Прописных и строчных букв английского алфавита – 52 символа.

2. 10 цифр 0–9.

3. 33 знаков препинания и 22 специальных символов (в том числе пробела).

Символы набираются на клавиатуре и кодируются в соответствие с кодовой таблицей. Кодовая таблица обычно рисуется в виде таблицы из 16 строк. В кодовой таблице содержится 256 символов с кодами 0–255, потому что при наборе каждый символ кодируется одним байтом.

В двоичной системе десятичный диапазон 0–25510 кодов символов кодовой таблицы запишется в виде диапазона 00000000–111111112, в шестнадцатеричной – 00–FF16. При наборе на клавиатуре обычно пользуются кодами символов в десятичной системе.

При передаче русских текстов с компьютера на компьютер, особенно в Интернете, возникает проблема перекодировки кириллицы. Три русские кодировки win, koi8 и dos одновременно присутствуют на современных персональных компьютерах PC, распространенных в России. Эти кодировки существенно отличаются друг от друга расположением русских букв в соответствующих им кодовых таблицах.