Тема 1. Введение в курс математики

МАТЕМАТИКА

 

Программа, методические указания и задания к выполнению контрольной работы для учащихся заочной формы получения образования специальности 2-27 01 01 «Экономика и организация производства»

 

 

Содержание

Введение
1. Тематический план
2. Содержание дисциплины и методические рекомендации по ее изучению
3. Общие указания по выполнению контрольной работы
4. Варианты заданий для домашней контрольной работы
5. Задания домашней контрольной работы
Приложение 1 Контрольные вопросы по курсу изучения дисциплины "Математика"
Приложение 2 Формулы тригонометрии
Литература

 

 

Введение

Современное состояние развития общества характеризуется математизацией и информатизацией всего научного знания. Обладая огромным эвристическим потенциалом, математика облегчает стратегические оценки широкого спектра задач, обеспечивает экономическое развитие общества.

Важность математического образования обусловлена еще и тем, что математика – неотъемлемая и существенная часть общечеловеческой культуры. Поэтому следует подчеркнуть большую роль математического образования при формировании общей культуры человека.

Основными задачами математического образования учащихся ССО являются:

· формирование математической компетентности учащихся в контексте будущей профессиональной деятельности и для продолжения образования;

· обучение учащихся навыкам использования основных общенаучных методов познания с целью их последующего применения в профессиональной деятельности для анализа и исследования реальных процессов и явлений;

· формирование представлений о методологическом значении и роли математики в научно-техническом прогрессе, о культурологической сущности математики.

Дисциплина "Математика" изучается самостоятельно по рекомендуемой литературе. Теоретическое изучение дисциплины расширяется и углубляется выполнением практических заданий во время сессии и одной домашней контрольной работы, которая содержит 8 заданий и выполняется по вариантам.

Изучать программный материал рекомендуется не только по предлагаемой литературе, но и используя другие учебники и справочники.

После усвоения темы следует устно ответить на вопросы для самопроверки.

 

1. Примерный тематический план

Тема	Количество часов
Всего	На самостоят.изучение	Обзор-ные лекции	В т.ч. практ. занятия
1. Введение в курс математики
2. Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений
3. Функция. Последовательность
4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции
5. Дифференциальное исчисление функций одной и многих переменных
6. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл
7. Дифференциальные уравнения
8. Комбинаторика, теория графов, теория вероятностей
9. Профессионально значимые темы
Всего:

 

2. Содержание дисциплины и методические рекомендации по ее изучению

Тема 1. Введение в курс математики

Содержание программы

1.1. Математика как составная часть мировой культуры и ее роль в научно-техническом прогрессе. Значение математического образования для подготовки специалистов со средним специальным образованием.

1.2. Высказывания. Логические операции над высказываниями. Типы теорем. Система и совокупность утверждений.

1.3. Знак конечной суммы элементов .Факториал.

1.4. Множества и операции над множествами. Числовые множества N, Z, Q, I, R.

1.5. Расширение понятия числа. Понятие комплексного числа, арифметические действия над комплексными числами.

1.6. Формулы сокращенного умножения.

1.7. Многочлены. Корни многочлена. Действия над многочленами. Разложение многочленов на множители.

Содержание темы

Введение

Применение математических методов в экономике теперь уже вышло из стадии только теоретических рассуждений, математические методы все больше и больше внедряются в практику планирования и анализа деятельности предприятий.

А.Г.Лукашенко было сказано: «Внимание экономистов должно быть направлено на изыскания путей наиболее эффективного использования в народном хозяйстве материальных и трудовых ресурсов, наилучших методов планирования и организации промышленного и сельскохозяйственного производства».

Многочлены

Выражение вида

где называется многочленом n-й степени от одной переменной х, записанным в стандартном виде.

Числа называются коэффициентами дан­ного многочлена, – старшим коэффициентом, – свободным членом. Число называется корнем многочлена если

 

Комплексные числа

Число вида z = a + bi, где а и b - действительные числа, i - мнимая единица, определяемая равенством i ² = -1, называется комплексным числом. Любое комплексное число z = a + bi изображается точкой плоскости М (а, b) илирадиус-вектором точки М. Обратно, любой точке М (а, b) плоскости соответствует комплексное число z = a + bi. Плоскость, точки которой отождествляются с комплексными числами, называют комплексной плоскостью, где ось Ох называется действительной осью, Оу – мнимой осью.

Im

b М

 

0 а Re

Пример 1.3. Изобразить комплексные числа на комплексной плоскости:

z₁ = 2 + 3i, z₂ = - i, z₃ =

Pешение

Чтобы изобразить z₃ на комплексной плоскости, переведем его в алгебраическую форму:

z₃ = = 3(cos (π + ) + isin (π + )) = 3(- cos - isin ) =

= 3( )= .

Построим комплексную плоскость:

Im

3 z₁

 

-2 0 1 2

z₂ Re

z₃

Выражение a + bi называют алгебраической формой комплексного числа. Число а называют действительной частью, число b - мнимой частью комплексного числа: а = Re z, b = Im z.

Два комплексных числа называют равными, если равны их соответствующие действительные и мнимые части. Комплексное число равно нулю, если равны нулю его действительная и мнимая часть.

Комплексные числа, отличающиеся знаком мнимой части, называются сопряженными и обозначаются z = a + bi и = a - bi.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме:

1) чтобы сложить два комплексных числа, необходимо сложить соответственно их действительные и мнимые части:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

2) при вычитании одного комплексного числа из другого необходимо вычесть отдельно их действительные и мнимые части:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i,

3) умножение двух комплексных чисел выполняем по правилам алгебры и замены i² его значением:

(a + bi)(c + di) = (aс - bd) + (bc + ad)i,

4) чтобы разделить два комплексных числа, нужно умножить числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю:

.

5) комплексное число возводят в степень по правилам алгебры, а также используя формулу бинома Ньютона, принимая во внимание, что

i²= -1

Пример 1.4 Вычислить (1 + i)⁸.

Решение

(1 + i)⁸ = ((1 + i)²)⁴ = (1 + 2i + i²)⁴ = (1 + 2i – 1)⁴ = (2i)⁴ = 16i⁴ = 16(i²)² =

=16(-1)² = 16

Ответ: 16.

Пример 1.5. Вычислить

Решение

Пример 1.6. Решите уравнение х² – 2х + 5 = 0.

Решение

х² – 2х + 5 = 0

D = - 16

x₁ = ,

x₂ = .

Ответ: x₁ = 1 + 2i, x₂ = 1 – 2i.

Пример 1.7. Решите уравнение 5х – 2у + хi + yi = 4 + 5i.

Решение

Следуя определению равенства двух комплексных чисел, выделим в левой и правой частях уравнения действительные и мнимые части и приравняем их.

(5х – 2у) + (х + у)i = 4 + 5i

Получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Решая ее методом замены, найдем значения х и у.

Ответ: х = 2, у = 3.

Пример 1.8. Разложите на комплексные множители по формуле разности квадратов число 5.

Решение

5 = 4 + 1 = 4 – (- 1) = 4 – i² = (2 – i)(2 + i).

Ответ: (2 – i)(2 + i).

Решение

Если число 1 + i возвести в 9-ую степень по правилам действия над комплексными числами в алгебраической форме, то мы не достигнем необходимого результата. В данном случае сначала комплексное число представим в тригонометрической форме, а затем уже возведем в степень. Найдем модель и аргумент комплексного числа z = 1 + i .

r = = 2,

Т. к. a > 0, b > 0, то φ = =

2(cos )

z⁹ = 2⁹ (cos + isin ) = 512 (cos 3π + isin 3π) = 512 (- 1 + i ^. 0) = - 512

 

Ответ: - 512

Показательная форма комплексного числа имеет вид

z = re ^iφ

где e ^iφ = сos φ + sin φ – формула Эйлера,

r = - модуль комплексного числа,

φ = arg z – аргумент комплексного числа, вычисление которого смотрите выше.

 

Действия над комплексными числами в показательной форме:

1) z₁z₂ = r₁r₂ ,

2) = ,

 

3) z ⁿ = r ⁿ e ^inφ

Контрольные вопросы

1. Какую роль играет математика в развитии мировой культуры?

2. Что называется высказыванием?

3. Назовите логические операции над высказываниями.

4. Что определяет знак ?

5. Что называется факториалом числа?

6. Дайте определения множества и операций над множествами.

7. Какие числовые множества вы знаете?

8. Что называется многочленом?

9. Назовите действия над многочленами.

10. Что называется корнем многочлена?

11. Как разложить многочлен на множители?

12. Что называют комплексным числом?

13. Как определяется мнимая единица?

14. Какова алгебраическая форма комплексного числа?

15. Как изображается геометрически комплексное число?

16. Что представляет собой комплексная плоскость?

17. Что называют действительной частью комплексного числа?

18. Что называют мнимой частью комплексного числа?

19. Какие комплексные числа называют сопряженными?

20. Как определяется равенство комплексных чисел?

21. Что следует из равенства a + bi = 0?

22. Каковы правила сложения и вычитания комплексных чисел?

23. Как найти частное двух комплексных чисел?

24. Что называется модулем комплексного числа, как его найти?

25. Что называют аргументом комплексного числа, как его найти?

26. Что представляет собой тригонометрическая форма комплексного числа?

27. Какова формула произведения двух комплексных чисел?

28. Какова формула частного двух комплексных чисел?

29. Что представляет собой формула Муавра?

 

 

Содержание программы

1.1. Понятие матрицы с числовыми элементами, виды матриц. Линейные операции над матрицами.

1.2. Транспонирование и умножение матриц. Степень матрицы с натуральным показателем.

1.3. Элементарные преобразования матриц, эквивалентные матрицы. Сведение матрицы к треугольной и трапециевидной формам.

1.4. Определители 2-ги и 3-го порядков, их свойства, способы вычисления.

1.5. Понятие систем линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными.

1.6. Решение систем линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными методом Крамера.

1.7. Решение систем линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса.

 

Содержание темы

Матрицы и операции над ними

Матрицей называется система т^.п чисел, расположенных в прямоугольной таблице из т строк и п столбцов. Числа этой таблицы называются элементами матрицы. Обозначение матрицы:

; ; .

а_ij - элемент, принадлежащий i -ой строке и j -ому столбцу. Числа i и j называются индексами элемента. Матрицу, имеющую т строк и п столбцов, называют матрицей размеров т п (читается т на п).

Матрицу обозначают также одной заглавной буквой:

А = .

Матрица называется квадратной, у которой число строк равно числу столбцов (т = п):

Порядком квадратной матрицы называется число её строк. Элементы а₁₁, а_22, ..., а_пп квадратной матрицы образуют её главную диагональ, элементы а_1п, а_2п-1, …, а_п1 образуют побочную диагональ.

Треугольной называют матрицу, элементы которой, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

.

Две матрицы А и В называются равными (А=В), если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое число столбцов и их соответствующие элементы равны.

Суммой (разностью) двух данных матриц одинаковой размерности является матрица той же размерности, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов данных матриц.

Чтобы умножить матрицу на число необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.

Произведением матрицы А размерности mxn на матрицу В размерности nxp называется матрица С размерности mxp элементы которой находятся по формуле с_ij=a_i1·b_1j+ a_i2·b_2j+…+ a_in·b_nj.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной относительно данной.

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

1) умножение строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

3) перестановка местами двух строк (столбцов).

Определитель матрицы

Определителем 2-го порядка называется число

а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁ =

Числа а_11, а₂₂, а₁₂ , а ₂₁ называются элементами определителя. Элементы а_11, а₂₂ образуют главную диагональ определителя, а₁₂ , а₂₁ - побочную.

Определитель обозначается ∆ или det.

Определителем 3-го порядка называется число

∆ = a₁₁ - a₁₂ + a₁₃

Определитель III порядка можно вычислять методом Саррюса:

= а₁₁ ^. а₂₂ ^. а₃₃ + а₁₂ ^. а₂₃ ^. а₃₁ + а₁₃ ^. а₂₁ ^. а₃₂ – а₁₃ ^. а₂₂ ^. а₃₁ –

– а₁₂ ^. а₂₁ ^. а₃₃ – а₁₁ ^. а₂₃ ^. а₃₂

Свойства определителей:

1. Величина определителя не изменится при замене строк столбцами с теми же номерами.

2. Величина определителя не изменится при сложении элементов какой-либо строки (столбца) с соответствующими элементами другой строки (столбца), умноженными на одно и то же число.

3. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

4. Определитель равен нулю, если он содержит нулевую строку(столбец).

5. Определитель равен нулю, если элементы одной строки(столбца) пропорциональны соответствующим элементам другой строки (столбца).

6. Общий множитель всех элементов какой-либо строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.

 

Пример 2.1. Найти 2А-В+С, если

 

 

Решение

 

Пример 2.2. Найти произведение матриц и .

Решение

 

 

Пример 2.3. Вычислить определитель второго порядка

Решение

 

Пример 2.4. Вычислить определитель третьего порядка

Решение

Найдем определитель по правилу Саррюса(треугольников)

 

Решение

Вычислим определители:

= 1 ^. - 2 ^. = 2.

Т. к. определитель системы ∆ = 2 ≠ 0, то система имеет единственное решение.

= 5 ^. - 2 ^. = 2,

= 1 ^. - 5 ^. = - 2,

= 1 ^. - 2 ^. = 4.

По формуле Крамера:

, .

Ответ: (1; - 1; 2)

Пусть требуется решить систему п линейных уравнений с п неизвестными

Наиболее распространенным методом решения системы линейных уравнений является алгоритм последовательного исключения неизвестных, который называется методом Гаусса. Согласно этому методу составляется соответствующая данной системе расширенная матрица и приводится к треугольному виду путем проведения преобразований над ее строками.

По полученной матрице составляется система линейных уравнений, решить которую не представляет трудности. Продемонстрируем данный метод на конкретных примерах.

Пример 2.6. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение

Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем её:

К элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-2). К элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-3).

К элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на (-2).

Оформим проведенные преобразования в виде:

Полученной матрице соответствует система линейных уравнений:

⇔ ⇔

Ответ: (-1; 2; 3)

Пример 2.7. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение

Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем её:

Запишем соответствующую полученной матрице систему. Зафиксировав х₃ , выразим х₂,х₁:

 

Ответ: (

Контрольные вопросы

1. Что называется матрицей?

2. Какая матрица называется квадратной?

3. Как определяется порядок матрицы?

4. Какая матрица называется треугольной?

5. Какие элементарные преобразования можно производить над матрицами?

6. Назовите линейные операции над матрицами.

7. Что называется определителем первого прядка?

8. Что называется главной диагональю определителя?

9. Что называется побочной диагональю определителя?

10. Что представляет собой определитель второго порядка?

11. Как вычисляется определитель третьего порядка?

12. Какая система линейных уравнений называется совместной? Несовместной?

13. Какая линейная система называется невырожденной?

14. Что представляет собой определитель системы линейных уравнений?

15. Что представляют собой формулы Крамера для решения систем линейных уравнений?

16. В чём заключается метод Гаусса решения линейной системы?

 

Практическое занятие № 1 (2часа)

Содержание программы

3.1. Понятие функции, ее свойства, график. Сложная функция. Обратная функция.

3.2. Элементарные функции. Графики основных элементарных функций. Преобразования графиков.

3.3. Графический метод решения уравнений и систем двух уравнений с двумя неизвестными.

3.4. числовая последовательность. Виды последовательностей.

Содержание темы

Пусть X и Y некоторые числовые множества

Если каждому по некоторому правилу f ставится в соответствие единственный элемент то говорят, что задана функция. Обозначается где х – аргумент или независимая переменная функции; у – значение функции или зависимая переменная.

Множество Х значений независимой переменной называется областью определения функции и обозначается или

Множество всех значений зависимой переменной Y называется множеством значений функции и обозначается или

Частное значение функции при заданном частном значении аргумента обозначается

Графиком функции называется множество всех точек плоскости с координатами где

Свойства функции:

1. Четность и нечетность функции.

Функция называется четной, если:

1) – симметричное множество относительно

2) для любого выполняется равенство

Функция называется нечетной, если:

1) – симметричное множество относительно

2) для любого выполняется равенство

Если функция является четной или нечетной, то говорят, что она обладает свойством четности.

График четной функции симметричен относительно оси график нечетной – относительно начала координат.

2. Периодичность функции.

Функция с областью определения называется периодической, если существует такое число что для любого значения выполняются условия:

1)

2)

Число Т называется периодом функции.

3. Монотонность функции.

Пусть х ₁, х ₂ – произвольные значения из области функции такие, что

Если при данном условии выполняется:

то функция называется возрастающей;

– убывающей;

– неубывающей;

– невозрастающей.

4. Промежутки знакопостоянства функции. Нули функции.

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т. е. или ), называются промежутками знакопостоянства.

Значения аргумента при которых функция называются нулями функции. Нули функции – это точки пересечения графика функции с осью Ох.

 

Пример 3.1. Найти область определения функции

Решение

(3.1)

Найдем соответствующее множество точек.

Неравенство равносильно неравенству

Решая его, получаем:

 

х

–

+

+

Условие означает, что т. е.

Приходим к заключению, что Получаем

Таким образом, система (3.1) равносильна системе

Следовательно,

Пример 3.2. Найти множество значений функции

Решение Найдем область определения функции

Последнее условие выполняется только для Вычисляем значение функции в этой точке: Следовательно,

Пример 3.3. Исследовать функцию на четность:

Решение Замечаем, что функция имеет Следовательно, функция определена на симметричном множестве.

Рассмотрим ее значение для – х:

Поскольку выполняются оба условия четности функции, заключаем, что функция – четная.

Преобразования графиков

Приведем графики некоторых функций:

1) – прямая линия; 2) – квадратичная парабола;

y = x

y

х

y

х

 

3) – кубическая парабола; 4) – гипербола;

y

x

y = x 3

y

x

y

x

 

5) – график квадратного корня;

 

Правила преобразования графиков:

Пусть дана функция

1. Для построения графика функции исходный график функции симметрично отображаем относительно оси Ох (рис. 1).

2. Для функции заданный график симметрично отображаем относительно оси Оу (рис. 2).

 

y

x

y = f (x)

y = –f (x)

y

x

y = f (x)

y = f (–x)

 

 

Рис. 1 Рис. 2

3. Для функции этот график получается параллельным переносом графика функции на масштабных единиц вдоль оси Оу вверх, если и вниз, если (рис. 3).

4. Для функции этот график получается параллельным переносом графика функции на масштабных единиц вдоль оси Ох вправо, если и влево, если (рис. 4).

y

x

y = f (x) + b, b > 0

y = f (x)

y = f (x) + b, b < 0

y = f (x)

y

x

y = f (x + a), a > 0

y = f (x + a), a < 0

 

 

 

Рис. 3 Рис. 4

5. Для функции где график функции «растянут» в k раз вдоль оси Оу (от оси Ох), если «сжат» в раз вдоль оси Оу (к оси Ох), если (рис. 5).

y = f (x)

y = bf (x), 0 < b < 1

y = bf (x), b > 1

y

х

 

 

Рис. 5

 

 

6. Для функции где график «растянут» вдоль оси Ох (от оси Оу) в раз при «сжат» вдоль Ох (коси Оу) в m раз, при (рис. 6).

y = f (ax), 0 < a <1

y = f (ax), a > 1

y = f (x)

y