Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-10-09 | 1108 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Найти производную .
2. Найти критические точки, т.е. точки, в которых или производная не существует.
3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов.
4. Найти экстремальные значения функции.
Пример. Исследовать на экстремум функцию .
Решение:
1) ;
2) , , ;
3) применяя метод интервалов, находим, что на и на , а неравенство выполняется на .
Следовательно, в точке имеется максимум, а в точке – минимум;
4) находим , .
Исследование функции с помощью
второй производной
Будем рассматривать дважды дифференцируемую функцию, т.е. функцию , которая имеет производные и .
Второе достаточное условие экстремума. Если в точке первая производная равна нулю: , а вторая положительна: , то есть точка минимума функции ; если же , , то – точка максимума.
Доказательство. Пусть , . Тогда, так как , первая производная возрастает в окрестности точки . Значит, слева от она отрицательна: , а справа – положительна: . Итак, при переходе через производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, в этой точке минимум. Аналогично рассматривается случай , .
Пример. . .
Имеем:
,
, ; .
Следовательно, в точке имеется минимум.
Функция и ее график характеризуются также направлением выпуклости и наличием асимптот. Говорят, что на данном интервале выпуклость графика направлена вверх (вниз), если все его точки находятся ниже (соответственно выше) любой касательной на этом интервале.
На рис. 2 показан график функции, у которого на интервале выпуклость направлена вверх, а на интервале – вниз.
Точка, в которой меняется направление выпуклости, называется точкой перегиба.
Рис. 2 |
Можно доказать, что если на данном интервале , то выпуклость графика направлена вниз, если же , то выпуклость направлена вверх.
|
Если – точка перегиба, то .
Асимптоты
Определение. Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки М графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат.
Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Прямая называется вертикальной асимптотой, если или . Вертикальные асимптоты сопутствуют обычно точкам разрыва второго рода.
Из школьного курса известно, в частности, что ось Oy (т.е. прямая ) есть вертикальная асимптота графика функции .
Прямая есть наклонная асимптота графика функции при , если
,
где при .
Коэффициенты k и b в уравнении наклонной асимптоты находят по формулам:
,
.
Пример. Найти наклонную асимптоту графика функции .
Решение.
1) ;
2)
.
Уравнение асимптоты: .
Заметим, что наличие у функции наклонной асимптоты означает, что при больших значениях аргумента функция мало отличается от линейной функции.
Общая схема исследования функций
и построения их графиков
Для исследования функции и построения графика следует найти:
1) область определения функции;
2) точки разрыва функции;
3) интервалы возрастания и убывания функции;
4) максимумы и минимумы;
5) направление выпуклости графика функции, точки перегиба;
6) асимптоты.
Кроме того, учитываются четность (или нечетность) функции, периодичность, точки пересечения графика с осями координат.
На основании проведенного исследования строится график функции, при этом полезно намечать элементы графика параллельно с исследованием.
Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график.
1. Область определения – вся числовая прямая за исключением точки , т.е. множество
.
2. – точка разрыва 2-го рода, так как
, .
3. Вычислим производную:
.
Определим области возрастания и убывания функции:
при имеем – функция возрастает;
|
при и имеем – функция убывает;
при имеем – функция возрастает.
4. Из равенства находим критические точки , . В точке производная меняет знак с плюса на минус при ; при ). Следовательно, в точке имеется максимум:
.
В точке производная меняет знак с минуса на плюс ( при , при ). Следовательно, в точке имеется максимум:
.
5. Вычислим вторую производную:
Определим направление выпуклости:
при имеем – выпуклость направлена вверх,
при имеем – выпуклость направлена вниз.
Точек перегиба нет.
Определим асимптоты графика.
Очевидно, – вертикальная асимптота.
Определим наклонную асимптоту.
,
.
Итак, – наклонная асимптота.
График исследуемой функции изображен на рис. 3.
Рис. 3 |
Пример 2. В теории вероятностей и в статистике весьма важную роль играет функция
– дифференциальная функция нормального распределения. Исследуем эту функцию методами дифференциального исчисления по приведенной выше схеме и построим ее график. Заметим, что этот график называют нормальной кривой (кривой Гаусса).
Решение. 1. Область определения функции – вся ось Ox.
2. Функция непрерывна на всей оси Ox.
3. Вычислим первую производную:
.
Легко видеть, что при , при . Следовательно, на интервале функция возрастает, а на интервале – убывает.
4. Приравнивая производную к нулю, находим критическую точку . В точке производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, в ней имеется максимум:
.
5. Вычисляем вторую производную:
Легко видеть, что вторая производная равна нулю, когда
, т.е. при и .
Имеем
выпуклость направлена вниз
выпуклость направлена вверх
выпуклость направлена вниз.
При переходе через точки , вторая производная меняет знак. Значение функции в обеих этих точках одно и то же:
.
Таким образом, точками перегиба графика являются точки
и .
6. Вертикальных асимптот, очевидно, нет. Предел функции при равен нулю: .
Следовательно, ось Ox есть горизонтальная асимптота графика (очевидно, , и наклонных асимптот нет).
При построении графика учтем дополнительно, что при всех значениях аргумента , т.е. кривая расположена выше оси Ox, а также тот факт, что кривая симметрична относительно прямой (так как разность содержится в аналитическом выражении функции в квадрате).
Возьмем для определенности , .
Рис. 4
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!