Функция. Основные свойства функций

В математике все величины делят на постоянные и переменные.

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение.

Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Областью изменения переменной величины называется совокупность всех значений этой переменной величины.

Часто областью изменения переменной величины является промежуток (открытый или замкнутый, конечный или бесконечный).

Основным математическим понятием, выражающим идею взаимной связи переменных величин, является понятие функции.

Пусть X и Y – некоторые числовые множества.

Определение. Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие единственный элемент y множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция .

При этом x называется независимой переменной (или аргументом), y – зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствия. Множество X называется областью определения (или областью существования) функции, множество Y – областью изменения (областью значений функции).

Если множество X специально не задано, то областью определения функции считается множество всех значений x, при которых функция вообще имеет смысл.

Например, область определения функции есть полуинтервал (1; 3], так как эта функция имеет смысл при одновременном выполнении условий x – 1 > 0 и 3 – x ³ 0.

Способы задания функций

Существует несколько способов задания функций. Основными принято считать три: аналитический, табличный и графический.

Аналитический способ. Этот способ состоит в задании связи между аргументом и функцией в виде формулы (или формул). Так, функции , , , заданы аналитически.

Следует заметить, что одна функция может определяться и набором формул: разным участкам области определения функции соответствуют разные формулы (т.е. разные аналитические выражения). Например:

Табличный способ задания функции состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента x и соответствующие значения функции . Примерами могут служить таблицы экспериментальных измерений, таблица логарифмов.

Графический способ. Пусть – некоторая функция. Ее графиком называется геометрическое место точек плоскости , координаты которых связаны соотношением . Само равенство называется уравнением этого графика. Функция называется заданной графически, если начерчен ее график. Графический способ широко применяется в экспериментальных измерениях с употреблением самопишущих приборов (таких как осциллографы, сейсмографы и т.п.).

К достоинствам этого способа можно отнести его наглядность, к недостаткам – его неточность.

Существуют и другие, менее распространенные способы задания функций, например, словесный способ, заключающийся в том, что правило составления функции описывается словесно.

Перейдем теперь к рассмотрению основных свойств функций.

Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любого x выполняется условие . Если же для любого x из области определения выполняется условие , то функция называется нечетной. Функция, которая не является четной или нечетной, называется функцией общего вида.

Примеры. 1) – четная функция, так как , т.е. ;

2) – нечетная функция, так как , т.е. ;

3) есть функция общего вида. Здесь , ; , .

График четной функции симметричен относительно оси Ох, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Монотонность. Функция называется возрастающей на промежутке Х, если для любых из неравенства следует ; функция называется убывающей, если из следует .

Функция называется монотонной на промежутке Х, если она или возрастает на всем этом промежутке, или убывает на нем.

Например, функция возрастает на и убывает на .

Заметим, что мы дали определение функции монотонной в строгом смысле. Вообще к монотонным функциям относятся неубывающие функции, т.е. такие, для которых их следует , и невозрастающие функции, т.е. такие, для которых из следует .

Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое число , что для любого .

Например, функция ограничена на всей числовой прямой, так как для любого .

Периодичность. Функция называется периодической, если существует такое число , что для всех х из области определения функции.

В этом случае Т называется периодом функции. Очевидно, если Т – период функции , то периодами этой функции являются также 2 Т, 3 Т и т.д. Поэтому обычно периодом функции называется наименьший положительным период (если он существует). Например, функция имеет период , а функция – период .

 

 

1.4. Элементарные функции.
Основные элементарные функции.

Перечислим основные элементарные функции и напомним их наиболее важные свойства.

Степенная функция , а – действительное число.

1) a – натуральное число. Функция определена на всей числовой прямой. Функция является нечетной при a нечетном и четной – при a четном.

Если a – нечетное, то функция возрастает на ; если a – четное, то убывает на и возрастает на ;

2) a – целое отрицательное число. В этом случае функция определена при всех значениях x, кроме x = 0;

3) . Если n – четное, то функция определена на .

На рис. 1–4 изображены графики степенной функции соответственно при a = 1, 2, 3, –1, .

Рис. 1	Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4

Степенная функция не является периодической ни при каком a.

Показательная функция ; a > 0, a ¹ 1.

Эта функция определена при всех значениях . Ее область изменения есть . Функция общего вида. Если , то функция всюду возрастает; если , то убывает. Показательная функция не является периодической. График ее имеет вид, изображенный на рис. 5 (при a = 2, 3, , ).

Рис. 5

Логарифмическая функция ; , .

Эта функция определена при . Ее область изменения – вся числовая прямая . Функция общего вида. Если , то она возрастает на ; если , то убывает. График логарифмической функции изображен на рис. 6.

 

а)	б)

Рис. 6

Тригонометрические функции*

1. Синус. .

Эта функция определена на . Ее область изменения есть . Синус – нечетная функция. Возрастает на , убывает на , . Является периодической функцией с периодом . График см. на рис. 7.

Рис. 7

2. Косинус. .

Область определения – . Область изменения – . Функция четная. Возрастает на , убывает на , . Период . График см. на рис. 8.

 

Рис. 8

3. Тангенс. .

Область определения – , . Область изменения – . Функция нечетная. Возрастает всюду на , . Период . График см. на рис. 9.

 

Рис. 9

 

4. Котангенс. .

Область определения – , . Область изменения – . Функция нечетная. Убывает на , . Период . График см. на рис. 10.

Рис. 10

Обратные тригонометрические функции: , , , .

Сложная функция. Если y есть функция от u, переменная u есть функция от x, т.е. , , то y называется функцией от функции, или сложной функцией:

.

Примеры: , .

Определение. Элементарной функцией называется функция, которая получены из основных элементарных функций и констант при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

Алгебраические и трансцендентные функции. К алгебраическим функциям относятся:

а) многочлены

,

в частности, линейная функция и квадратичная функция ;

б) дробно-рациональные функции

,

т.е. функции, определяемые как отношение двух многочленов;

в) иррациональные функции, т.е. функции , где наряду с операциями сложения, вычитания, умножения и деления производятся также операции возведения в степень с дробными рациональными показателями, например, , и т.п.

Вообще, алгебраической функцией называется функция , которая удовлетворяет уравнению вида

,

где , ,..., – многочлены, зависящие от x.

Функция, которая не является алгебраической, называется трансцендентной. Показательная, логарифмическая, тригонометрические функции являются трансцендентными.