Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-10-11 | 255 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Цели
Знать:
v таблицу дифференциалов от основных элементарных функций;
v таблицу интегралов от основных элементарных функций;
v основные приёмы метода подведения под дифференциал.
Уметь:
v Находить интегралы методом непосредственного интегрирования и методом подведения под дифференциал.
Если интеграл непосредственно не берётся, то во многих случаях метод интегрирования заменой переменной приводит к цели.
Пусть требуется найти , где подынтегральная функция непрерывна. Применив подстановку , получим
. (9)
Не существует общего «рецепта», следуя которому можно всегда понять, какую подстановку надо применить к данному интегралу, однако после приобретённого навыка вы скоро научитесь этому. Однако следует иметь в виду следующие полезные подсказки:
, (a, b — const). (10)
Постановка задачи. Найти .
План решения. Для нахождения интеграла следует:
№2. Найти интегралы:1) ; 2) ;
3) ; 4) ; 5) ;
6) , 7) .
►1) = = = = =
= ;
Здесь и далее при записи решений примеров все промежуточные выкладки мы будем заключать между вертикальными линиями.
2) = = =
= =3 х -ln| x +2|+ C;
Замечание. Фактически мы здесь разделили числитель на знаменатель, т.е. из неправильной алгебраической дроби выделили целую часть.
|
Проверка. ;
3) = = = = t + C = ;
4) = = = = ;
5) = = = = ;
6) = = =ln t + C =ln| x 2+ x +1|+ C;
7) = = = = =
= = t -arctg t = .◄
Аудиторное занятие
Найти интегралы:
№64. . Ответ: .
№65. . Ответ: .
№66. . Ответ: .
№67. . Ответ: .
№68. . Ответ: .
№69. . Ответ: .
№70. . Ответ: .
№71. . Ответ: .
№72. . Ответ: .
№73. . Ответ: ln| x 2+5 x -6|.
№74. . Ответ: .
№75. . Ответ: .
№76. . Ответ: sin(ln x).
№77. . Ответ: .
№78. . Ответ: .
№79. . Ответ: ln|2+ln x |.
№80. .
Указание. Подстановка х 3= t. Ответ: .
№81. . Ответ: .
№82. . Ответ: .
№83. . Ответ: x -ln|e x +1|.
Домашнее задание
Найти интегралы:
№84. . Ответ: .
№85. . Ответ: .
№86. . Ответ: .
№87. . Ответ: -ln |arccos x |.
№88. . Ответ: .
№89. . Ответ: .
№90. . Ответ: .
№91. . Ответ: .
№92. . Ответ: .
№93. . Ответ: .
№94. . Ответ: .
№95. . Ответ: .
№96. . Ответ: .
№97. .
Указание. Выделить . Ответ: .
№98. . Ответ: .
№ 99. . Ответ: .
№100. . Ответ: .
№101. .
Указание. . Ответ: .
№102. . Ответ: .
№103. . Ответ: .
№104. . Ответ: .
Дополнительные задания
Найти интегралы:
№105. . Ответ: .
№106. . Ответ: .
№107. . Ответ: .
№108. . Ответ: x -5ln| x +3|.
№109. . Ответ: .
№110. . Ответ: .
№111. . Ответ: .
№112. . Ответ: .
№113. . Ответ: .
№114. . Ответ: .
№115. . Ответ: .
№116. . Ответ: .
№117. . Ответ: .
№118. . Ответ: .
№119. . Ответ: .
№120. . Ответ: .
№121. . Ответ: .
№122. . Ответ: .
№123. . Ответ: .
№124. . Ответ: .
№125. . Ответ: .
№126. . Ответ: .
№127. . Ответ: .
№128. . Ответ: .
№129. . Ответ: .
№130. . Ответ: .
№131. . Ответ: .
№132. . Ответ: .
№133. .
Ответ: .
№134. .
Ответ: .
№135. .
Указание. Учесть, что .
Ответ: .
Примерный вариан решения
индивидуального задания
Найти неопределённые интегралы:
№1. .
► = =
= =
= .◄
№2. .
► = = .◄
№3. .
► = .◄
№4. .
► = .◄
№5. .
► = = =
= .◄
№6. .
► = = = =
= .◄
№7. .
► = = .◄
№8. .
► = .◄
№9. .
► = = = =
= .◄
№10. .
► = = =
= = .◄
№11. .
► = = =
= = .◄
№12. .
► = = =
= = = .◄
№13. .
► = = = =
= .◄
№14. .
► = + = =
= = =
= .◄
№15. .
► = - = =
= = =
= .◄
№16. .
► = = = =
= .◄
Занятие 3
Интегрирование по частям
Цели
|
Знать:
v Суть метода интегрирования по частям;
v основные типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям;
Уметь:
v Применять метод интегрирования по частям при нахождении интегралов.
Пусть u и v — две функции аргумента х, имеющие производные и . Тогда справедлива формула:
. (11)
При нахождении интегралов методом интегрирования по частям удобно пользоваться таблицей 1 выбора функции u=u (x).
Таблица 1
Таблица выбора функции u=u (x)
вид интеграла | u |
; ; . | u = P (x) |
; ; ; ; . | u = |
возвратные ; ; . | u = или u = . . |
Постановка задачи. Найти неопределённый интеграл .
План решения. Пусть v (x) имеет очевидную первообразную V (x), а u (x) — дифференцируемая функция, причём её производная является более простой функцией, чем u (x).
· В некоторых случаях для сведения данного интеграла к одной из формул простейших интегралов формула (11) применяется несколько раз.
№3. Найти интегралы: 1) ; 2) ;
3) ; 4) .
►1) = = =
= ;
2) = =
= = ;
3) = =
= .
Этот интеграл также находим методом интегрирования по частям
= =
= = .
Следовательно,
= ;
4) = =
= .
Этот интеграл также находим методом интегрирования по частям:
=
= .
Подставив это выражение в последнее равенство, имеем:
по условию это выражение равно , т.е.
= .
Разрешим данное выражение относительно интеграла (как неизвестного):
, следовательно,
.◄
Аудиторное занятие
Найти интегралы:
№136. . Ответ: sin x - x cos x.
№137. . Ответ: .
№138. . Ответ: .
№139. . Ответ: .
№140. . Ответ: .
№141. . Ответ: .
№142. . Ответ: x tg x +ln|cos x |.
№143. . Ответ: .
№144. .
Указание. Подстановка t =ln x.
Ответ: .
№145. . Ответ: .
№146. . Ответ: .
№147. .
Ответ: .
Домашнее задание
Найти интегралы:
№148. . Ответ: x (ln x -1).
№149. . Ответ: .
№150. . Ответ: .
№151. . Ответ: .
№152. . Ответ: x 2 sin x +2 x cos x -2sin x.
№153. . Ответ: .
№154. .
Ответ: .
№155. . Ответ: .
№156. .
Ответ: .
№157. . Ответ: .
№158. . Ответ: .
№159. .
Ответ: .
Дополнительные задания
Найти интегралы:
№160. . Ответ: .
№161. . Ответ: ln x (ln ln x -1).
№162. .
Ответ: .
№163. . Ответ: .
№164. .
Указание. Учесть, что =
= = = .
Ответ: .
№165. . Ответ: .
|
№166. . Ответ: .
№167. . Ответ: .
№168. . Ответ: .
Используя метод интегрирования по частям, доказать, что
№169. .
№170. .
Примерный вариант решения
индивидуального домашнего задания
Найти интегралы:
№27. .
► = =
= = .◄
№28. .
► = = =
= .◄
№29. .
► = =
= =
= .◄
№30. .
► = =
= =
= = =
= =
= .◄
№31. .
► =
= =
= =
= .◄
Занятие 4
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!