История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-10-11 | 435 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Знать:
v Основные тригонометрические формулы;
v основные приёмы интегрирования тригонометрических выражений.
Уметь:
v Использовать основные приёмы интегрирования тригонометрических выражений.
Использование тригонометрических преобразований
Интегралы вида:
; ; , (16)
где , находятся с помощью формул:
;
;
.
Интегралы вида:
, (17)
Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби при помощи универсальной тригонометрической подстановки
= ; .
На практике применяются и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции.
t =cos x; dt = -sin xdx; , .
t =sin x; dt =cos x dx; .
t =tg x; ;
, .
Интегралы вида:
, (18)
1. где k, n — хотя бы одно число нечётное
отделить от нечётной степени один множитель и подвести его под знак дифференциала;
2. где k, n — чётные положительные
применить формулы понижения степени:
; ; ;
3. где k, n — нечётные положительные
отделить от наименьшей степени один множитель и подвести его под знак дифференциала;
4. где n — целое положительное число
применить подстановку t =sin x;
5. где k — целое положительное нечётное число
применить подстановку t =cos x;
6. где n+k — чётное отрицательное целое число
применить подстановку t =tg x;
7. где n и k — четные и хотя бы одно из них отрицательное
применить подстановку t = tg x или t = ctg x.
Интегралы вида:
, , (19)
если n =1, то
|
;
,
если n >1, воспользоваться формулами:
; ,
позволяющими понизить степень тангенса или котангенса непосредственно, отделяем один множитель и подводим его под знак дифференциала, находим исходный интеграл.
№6. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;
6) .
►1) = =
= = ;
2) = = =
= =
= =
= ;
3) = =
= = =
= = =
= ;
4) = = =
= = = ;
5) = = =
= = = =
= = = =
= +С;
6) = = = =
= = , (.◄
Аудиторное занятие
Найти интегралы:
№248. . Ответ: .
№249. . Ответ: .
№250. . Ответ: .
№251. . Ответ: .
№252. . Ответ: .
№253. . Ответ: .
№254. . Ответ: .
№255. . Ответ: .
№256. . Ответ: .
№257. . Ответ: .
№258. . Ответ: .
№259. . Ответ: .
№260. .
Указание. Замена сos x =t.
Ответ: .
№261. .
Указание. Замена sin x = t.
Ответ: .
Домашнее задание
Найти интегралы:
№262. . Ответ: .
№263. . Ответ: .
№264. . Ответ: .
№265. . Ответ: .
№266. . Ответ: .
№267. . Ответ: tg x – x.
№268. . Ответ: .
№269. . Ответ: .
№270. . Ответ: .
№271. . Ответ: .
№272. . Ответ: .
№273. . Ответ: .
№274. . Ответ: .
№275. . Ответ: .
№276. . Ответ: .
№277. . Ответ: .
№278. . Ответ: .
№279. . Ответ: .
№280. . Ответ: .
Дополнительные задания
Найти интегралы:
№281. . Ответ: .
№282. . Ответ: .
№283. . Ответ: .
№284. .
Ответ: .
№285. . Ответ: .
№286. .
Ответ: .
№287. .
Ответ: .
№288. . Ответ: .
№289. .
Указание. Замена t =ctg x. Ответ: .
№290. . Ответ: .
№291. . Ответ: .
№292. . Ответ: , где t =tg x.
№293. . Ответ: ln|tg x |.
№294. . Ответ: .
№295. .
Указание. Замена ctg x = t.
Ответ: .
№296. . Ответ: ln|sin x |-sin x.
№297. .
Ответ: .
Примерный вариан решения
индивидуального домашнего задания
Найти интегралы:
№18. .
► = =
= =
= =
= .◄
№19. .
► = =
= = =
= . ◄
№20. .
► = =
= = .◄
№38. .
► = =
= = = =
= .◄
№39. .
► = =
= = = =
= .◄
№40.
► = =
= = = =
= = =
= .◄
Занятие 7
Интегрирование некоторых иррациональностей
Цели
Знать:
v Основные приёмы интегрирования квадратичных иррациональностей.
Уметь:
v Применять основные приёмы интегрирования квадратичных иррациональностей;
v выделять полный квадрат из квадратного трёхчлена под знаком радикала;
|
v применять дробно-линейную подстановку; тригонометрическую подстановку.
Интегралы вида:
(20)
называют неопределёнными интегралами от квадратичных иррациональностей.
Постановка задачи. Найти интеграл .
План решения.
Для нахождения интеграла следует:
1. Если числитель есть дифференциал подкоренного трёхчлена, то следует сделать замену , что приводит исходный интеграл к виду .
2. Если числитель не зависит от х, т.е. М =0, то под знаком радикала выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, в результате чего получим квадратный двучлен, в зависимости от знака а исходный интеграл сводится к одной из табличных формул
[11]
или
[12].
3. Если , то под знаком радикала выделив полный квадрат, сделать подстановку , при этом исходный интеграл разбивается на сумму двух интегралов.
Интегралы вида
, (21)
где R — рациональная функция; p, q,…, s, t — целые числа, находятся с помощью постановки
,
где m — наименьшее общее кратное чисел q,…, t.
Частные случаи:
1) если в интеграле (21) с =0, то он будет иметь вид
, (22)
где ;
2) если b = c =0, a = d =1, то интеграл (21) примет вид
. (23)
Интегралы вида (22) или (23) находятся с помощью подстановки
или .
К интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, сводятся интегралы:
(24)
подстановкой
x = a sin t; dx = a cos t dt
или
x = a cos t; dx =- a sin t dt
(25)
подстановкой
x = a tg t;
или
x = a ctg t;
(26)
подстановкой
;
или
Интегралы вида:
(27)
Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция относительно х и . Выделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку , интегралы указанного вида приводятся к интегралам вида:
, , .
Интеграл от дифференциального бинома
(28),
где a, b — действительные числа; m, n, p — рациональные числа, берутся, лишь в случае, когда одно из чисел р, или — является целым.
Интеграл от дифференциального бинома сводится к интегралу от рациональной функции в трёх случаях:
1) когда р — целое число,
подстановка , где k — наименьшее общее кратное дробей m и n;
2) когда — целое число,
подстановкой , где s — знаменатель дроби p;
3) когда — целое число,
подстановкой , где s — знаменатель дроби р.
Во всех остальных случаях интегралы вида не выражаются через известные элементарные функции, т.е. «не берутся».
Интеграл вида:
(29)
можно найти подстановкой .
|
№ 7. Найти интегралы: 1) ; 2) ;
3) ; 4) ; 5) ;
6) ; 7) ; 8) .
►1) = =
= = = =
= = ;
2) = = = =
= = ;
3) = = =
= = =
= ;
4) = = =
= = = ;
5) = = =
= = = =
= .
Замечание. Ответ можно упростить, если воспользоваться тем, что и , следовательно
= ;
6) Это интеграл от дифференциального бинома.
= =
= =
= =
= = = = =
= ;
7) = = =
= = .
Здесь учтено, что , что подынтегральная функция определена в интервале –1< x <1, вследствие чего х -1<0 и t<0 и поэтому| t |=- t.
= = ;
8) = = =
= = =
= = =
= .
Получили возвратный интеграл. Следовательно, имеем:
= ;
;
;
Учитывая, что t = x -1, получаем
.◄
Аудиторное занятие
№298. . Ответ: .
№299. .
Ответ: .
№300. . Ответ: .
№301. .
Ответ: .
№302. . Ответ: .
№303. . Ответ: .
№304. .
Ответ: .
Домашнее задание
№305. .
Ответ: .
№306. . Ответ: .
№307. .
Ответ: .
№308. . Ответ: .
№309. .
Ответ: .
№310. . Ответ: .
№311. . Ответ: .
№312. . Ответ: .
№313. . Ответ: .
№314. .
Ответ: .
№315. . Ответ: .
№316. . Ответ: .
№317. . Ответ: .
№318. .
Ответ: .
№319. .
Ответ: .
Дополнительные задания
Найти интегралы:
№320. . Ответ: .
№321. . Ответ: .
№322. .
Ответ: .
№323. . Ответ: .
№324. .
Ответ: .
№325. . Ответ: .
№326. .
Ответ: .
№327. . Ответ: .
№328. . Ответ: .
№329. . Ответ: .
№330. . Ответ: .
№331. . Ответ: .
№332. . Ответ: .
№333. .
Ответ: .
№334. .
Ответ: .
№335. .
Ответ: .
№336. . Ответ: .
№337. . Ответ: .
№338. .
Указание. Замена .
Ответ: .
№339. .
Указание. Избавиться от иррациональности в знаменателе подынтегральной дроби.
Ответ: .
№340. .
Указание. Избавиться от иррациональности в знаменателе подынтегральной дроби.
Ответ: .
Примерный вариан решения
индивидуального домашнего задания
Найти интегралы:
№25. .
► = =
= = =
= = =32 t -8sin 4 t + C =
= =
= .◄
№26. .
► = =
= = = =
= = .◄
№36. .
► = =
= = =
= =
= .◄
№37. .
► = =
= = =
= =
= =
◄
Занятие 8
Обзорное
Цели
v Знать и уметь применять основные приёмы интегрирования.
Найти интегралы:
№341. . Ответ: .
№342. . Ответ: .
№343. . Ответ: .
№344. . Ответ: .
№345. .
Ответ: .
№346. . Ответ: .
№347. . Ответ: .
№348. . Ответ: .
№349. .
Ответ: .
№350. . Ответ: .
№351. . Ответ: .
№352. . Ответ: .
№353. . Ответ: .
№354. . Ответ: .
№355. . Ответ: .
№356. . Ответ: .
№357. .
Указание. Учесть, что .
Ответ: .
|
№358. . Ответ: .
№359. . Ответ: .
№360. . Ответ: .
Примерный вариант контрольной работы
Вариант 1
Найти интегралы:
Вариант 2
Найти интегралы:
Контрольные вопросы
1. Первообразная и её свойства
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!