Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-09-28 | 522 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть áW, F, Pñ – математическая модель вероятностного эксперимента. Это значит, что любое событие A Í имеет определенную вероятность P(A), 0 £ P(A) £ 1. Вероятность события A связана с комплексом условий s рассматриваемого эксперимента. Как правило, вероятность события меняет свою величину с изменением комплекса условий s.
Пример 1.7. Пусть эксперимент состоит в бросании шестигранной игральной кости и подсчете выпавших очков . Пространство элементарных событий , данного эксперимента, cостоит из шести элементарных событий: = {игральная кость выпала гранью вверх содержащей очков}, . Пусть событие А = {выпадет число очков больше трех}: Вероятность этого события, согласно формуле (1.2), равна . Предположим теперь, что об исходе эксперимента известно, что произошло событие В, стоящее в том, что выпало четное число очков: . Вероятность события А в этом случае изменится. Событие В состоит из трех элементарных событий, при появлении двух из которых наступает событие А. Произошло сужение пространства до подмножества В и вероятность события А станет равной , в силу той же формулы (1.2).
Тот факт, что событие B наступило при условии, что событие A произошло, будем обозначать и читать: "Событие B наступило при условии, что событие A произошло". Вероятность наступления события обозначают и называют условной вероятностью наступления события B при условии, что событие A произошло.
Вероятность, равную 2/3, можно получить, если рассматривать отношение вероятностей события АВ и события В:
.
Рассмотрим общий случай. Пусть пространство состоит из n равновозможных элементарных событий. Событие А состоит из m элементарных событий, а событие В – из k элементарных событий. Причем события А и В, вообще говоря, совместны, т. е. событие АВ содержит r элементарных событий. Тогда вероятность события А при условии, что произошло событие В, определяется как и выше, т. е. . Полученное отношение равно отношению вероятностей событий АВ и В, так как , а :
|
.
Пример 1.8. Пусть пространство вероятностного эксперимента состоит из несчетного множества элементарных событий , где = {выбор точки множества евклидова пространства , }. События А и В состоят в том, что случайным образом выбирается точка, принадлежащая областям А и В соответственно.
Предположим, что событие В произошло, т. е. известно, что случайным образом выбрана точка, принадлежащая области В, и, следовательно, рассматриваются точки области В. В этом случае событие А наступит, если случайным образом выбрана точка из области АВ (рис. 1. 4).
Рис.1.4
Вероятность события А при условии, что событие В имело место, согласно геометрическому методу задания вероятностей, вычисляется по формуле:
Эту же вероятность можно вычислить через вероятности событий АВ и В, так как а
Определение 1.5. Пусть задано вероятностное пространство áW, F, Pñ и пусть A и B - произвольные события, A Í F, B Í F. Если P(B) > 0, то условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, называется число , определяемое по формуле
. (1.7)
(Если P(B) = 0, то условная вероятность не определяется).
Точно так же определяется условная вероятность события B в предположении наступления события A:
. (1.8)
Условная вероятность обладает всеми свойствами вероятности.
1. Для любого события A условная вероятность удовлетворяет неравенству 0 £ P(A/B) £ 1.
Действительно, = P(AB)/P(B), а P(AB) ³ 0, P(B) > 0 и P(AB) £
P(B).
2. Если событие B влечет за собой событие A, то есть B Ì A, то P(A/B) = 1.
Действительно, если BÌA, то AB = B и P(AB) = P(B), = = .
3. Если события A и C несовместны, то .
Действительно,
=
= .
Более того, если события A1, A2,... – попарно несовместны, то
|
4. .
Действительно, .
Откуда .
Таким образом, вероятностное пространство для условных вероятностей задается тройкой áB, F B, P(AB)/P(B)ñ. Это новое пространство построено с учетом добавочной информации об эксперименте, состоящей в том, что событие B наступило и, следовательно, произошло сужение пространства W. Новая s-алгебра F B пространства B строится пересечением событий из F с B. Если никаких ограничений на эксперимент, кроме условий , при вычислении вероятности не налагается, то такие вероятности называют безусловными.
Вопросы для самопроверки
1. Как определяется условная вероятность события В в предположении наступления события А?
2. В каких пределах заключается условная вероятность любого события?
3. Каким свойствам удовлетворяет условная вероятность?
4. Чему равна сумма условных вероятностей несовместных событий?
5. Как изменяется вероятностное пространство для условных вероятностей?
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!