Точечное оценивание параметров.

Пример решения лабораторной работы.

 

Задан ряд невязок (в секундах) в треугольниках триангуляции II класса общим объемом 50:

 

- 1,81;	- 1,82;	+ 2,32;	0,00;	- 0,70;
+ 1,51;	+ 0,61;	- 1,29;	- 2,64;	+ 0,04;
+ 0,01;	+ 0,11;	+1,56;	- 1,09;	+ 2,78;
- 0,35;	- 0,01;	+ 1,64;	- 0,77;	- 1,26;
- 0,52;	- 0,69;	+ 1,02;	- 1,58;	+ 1,78;
+ 0,16;	+ 0,64;	+ 0,42;	+ 0,99;	- 2,08;
- 0,55;	+ 0,64;	- 0,09;	+ 0,56;	- 0,35;
- 2,55;	- 0,76;	+ 1,05;	- 1,51;	+2,71;
+ 0,70;	- 0,40;	+ 2,22;	- 1,14;	- 0,17;
- 0,31;	- 0,01;	+ 0,21;	+ 1,32;	- 0,85.

 

Рассматривая этот ряд невязок как выборку из некоторой генеральной совокупности ошибок суммы измеренных углов треугольников триангуляции, необходимо рассчитать точечные оценки математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения, асимметрии и эксцесса. Решение выполнить по предварительно группированным данным.

 

Решение.

В качестве границ интервалов групп здесь принимают следующие значения: - 3,5"; - 2,5"; -1,5"; - 0,5"; + 0,5"; + 1,5"; + 2,5"; + 3,5". Тогда центрами интервалов будут значения: - 3,0"; -2,0";
- 1,0"; -0,0"; + 1,0"; + 2,0"; + 3,0". Все расчеты сведены в табл. 1.

 

После заполнения таблицы вычислены оценки по формулам:

 

1. Математического ожидания

M(х) = a =

2. Дисперсии

D(x) =

3. Среднего квадратического отклонения

σ =

4. Третьего центрального момента

5. Асимметрии

6. Четвертого центрального момента

7. Эксцесса

Таблица 1

№	Грани-цы интер-валов	Сорти-ровка	ni	Центры интер-валов zi	zini
	- 3,5
		- 3,0	- 6,0	-2,92	-5,84	17,05	-49,8	145,0
	- 2,5
		- 2,0	-12,0	-1,92	-11,52	22,12	-42,5	81,5
	- 1,5
		- 1,0	-11,0	-0,92	-10,12	9,31	-8,6	7,9
	- 0,5
		0,0	0,0	+0,08	+1,20	0,10	-0,1	0,0
	+ 0,5
		+ 1,0	+9,0	+1,08	+9,72	10,50	+11,3	12,2
	+ 1,5
		+ 2,0	+10,0	+2,08	+10,40	21,63	+45,0	94,6
	+ 2,5
		+ 3,0	+6,0	+3,08	+6,16	18,97	+58,4	180,0
	+ 3,5
Σ					- 4,0			99,68	+13,7	521,2

 

Доверительное оценивание параметров.

По данным приведенного выше примера построить доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения при уровне значимости
α = 0,05.

 

Решение.

Из решения, приведенного выше, имеем = - 0,08, = 2,03 и m = 1,42.

Для расчета доверительных границ математического ожидания из таблиц распределения Стьюдента найден tq. При этом учтено, что число степеней свободы ν = n – 1 = 49, а уровень значимости
α задан равным 0,05. Выбор tq произведен по данным таблицы распределения Стьюдента (Приложение 3) по двухсторонней критической области tq= 2,01. Доверительные границы найдены по формулам:

Доверительный интервал математического ожидания имеет вид:

- 0,48 < M(X) < + 0,32.

 

Для нахождения доверительных границ дисперсии по вероятностям Р₂ = 1 - / 2 = 0,975 и Р₁ = / 2 = 0,025 и числу степеней свободы ν = n – 1 = 49, использованы таблицы критических точек распределения χ² величины и , которые оказываются равными 31,6 и 70,2. Расчет границ доверительного интервала дисперсии произведен по формулам:

Доверительный интервал для дисперсии имеет вид:

1,42 < D(X) < 315.

 

Используя данные расчетов п.2, по формулам:

получены доверительные границы среднего квадратического отклонения.

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения имеет вид:

.

Проверка статистических гипотез.

По данным приведенного выше примера проверить гипотезу о нормальном распределении невязок в треугольниках триангуляции II класса.

Решение.

Первым шагом решения задачи по проверке статистических гипотез о законе распределения является группировка исходных данных. Рекомендуется так подбирать границы интервалов, чтобы число попаданий в каждый интервал было не менее 5.

Руководствуясь этим правилом и используя результаты группировки, выполненные при решении приведенного выше примера, в качестве границ интервалов выбраны следующие значения: - ∞;- 1,5; - 0,5; + 0,5; + 1,5; + ∞.Тогда число попаданий в каждый интервал соответственно равны 8, 11, 15, 9, 7. Для расчета теоретического числа попаданий в каждый обозначенный интервал, соответствующих нормальному распределению, рассчитаны центрированные, нормированные границы интервалов. Центрирование границ произведены с помощью оценки математического ожидания
= - 0,08, а нормирование – с помощью оценки среднего квадратического отклонения т = 1,42. Окончательный расчет центрированных, нормированных значений границ интервалов произведен по формуле:

где z_i – выбранное значение границы интервала; t_i - центрированное, нормированное значение той же границы интервала.

По центрированным, нормированным значениям границ интервалов из таблиц распределения функции Лапласа (Приложение 1) найдены значения функции нормального распределения. Затем по формуле найдены вероятность попадания в i – ый интервал, а по формуле - теоретическое число попаданий в тот же интервал.

Контроль вычислений - .

Для подсчета меры расхождения практического и теоретического числа попаданий вычислены для каждого интервала величины . Их сумма дает величину меры расхождения где l – число групп. Все вычисления проведены в табл. 2.

В результате проведенных вычислений получена общая расчетная мера расхождения практического и теоретического числа попаданий χ² _расч, которая оказалась равной 0,298. Окончательное решение вопроса о согласованности опытных данных с выдвигаемой гипотезой нормального распределении угловых невязок принимается по результатам сравнения расчетной меры расхождения с предельно возможной. Предельно возможное значение меры расхождения (критическое значение) χ² _кр находят по таблицам распределения χ² по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы ν = l – c – 1 (Приложение 2). В приведенной формуле l – число интервалов группировки, в данном случае равное 5, c – число ранее определенных параметров, которые использовались при расчетах, проводимых в табл. 1. При расчетах центрированных, нормированных значений границ интервалов были использованы ранее вычисленные значения оценок математического ожидания и среднего квадратического отклонения т. Следовательно, в данном случае c = 2. Тогда число степеней свободы также равно 2.

Значение χ² _кр, выбранное из таблиц, равно 6,0. В этом случае χ² _расч < χ² _кр, что дает право делать вывод о хорошем согласовании результатов опыта с выдвинутой гипотезой о нормальном распределении невязок в треугольниках триангуляции II класса.

 

 

Таблица 2

№	Границы интервалов	Центр. норм. границы интерв.	F(ti)	pi
	- ∞	- ∞	0,0000
0,1587	7,9350		0,003
	- 1,5	- 1,00	0,1587
0,2234	11,1700		0,003
	- 0,5	- 0,30	0,3821
0,2770	13,8500		0,095
	+ 0,5	+ 0,41	0,6591
0,2074	10,3700		0,181
	+ 1,5	+ 1,11	0,8665
0,1335	6,6750		0,016
	+ ∞	+ ∞	1,0000
				1,0000	50,0000		0,298

 

Контрольная задача 1

Для исследования точности измерения линий светодальномером тахеометра 2ТА-5М было проведено 120 измерений на эталонном полигоне. Линии полигона ранее были измерены со значительно более высокой точностью, поэтому их значения можно принять за точные. Расхождения между эталонными значениями и значениями измерений линий светодальномером представляют собой ошибки светодальномерных измерений. Необходимо:

1. Построить гистограмму.

2. Вычислить оценки математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения, асимметрии и эксцесса.

3. Построить доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

4. Проверить гипотезу о нормальном распределении ошибок светодальномерных измерений.

В табл. 3 приведены ошибки светодальномерных измерений. Значения ошибок даны в миллиметрах.

Таблица 3

№		№		№		№		№		№
	+ 14		+ 5		- 1		+ 2				+ 12
	+ 3		- 2		+ 2		+ 9		- 3		+ 6
	- 4		+ 14		+ 14		- 1		+ 5		- 5
	- 4		+ 11		- 6		- 6		+ 6		- 7
	+ 4		+ 2		- 4		+ 14		- 9		+ 4
	- 10		+ 6		- 8		- 2		+ 9		+ 3
	- 11		- 1		+ 2		+ 7		- 2		+ 4
	+ 6		- 12		+ 2		+ 3		- 11		+ 13
	- 4		- 2		+ 5		+ 2		+ 8		+ 3
	- 3		+ 4		+ 10				- 5		+ 6
	- 1		+ 8		+ 5		- 9		- 2		- 4
	+ 1		+ 10		- 4		+ 3		- 7
	+ 6		- 10		- 2		- 1		+ 1		+ 14
	+ 5		- 4		+ 5		- 9		- 14		+ 3
	- 13		+ 10		- 1		- 4		+ 7		+ 3
	+ 4		+ 2		+ 9		- 3		- 11		+ 6
	+3		- 10		+19		- 9		+ 8		+ 11
	+ 4		- 13		+ 6		- 6		+ 9		+ 2
	- 1		- 2		- 10		- 4		- 5		+ 2
	+ 5		- 8		+ 12		- 9				+ 4

Варианты для контрольной задачи 1

В каждом варианте необходимо вычеркнуть 20 элементов с соответствующими номерами:

 

№№ варианта	№№ вычеркиваемых элементов	№№ варианта	№№ вычеркиваемых элементов
	1-10; 21-30		21-30; 81-90
	1-10; 31-40		21-30; 91-100
	1-10; 41-60		21-30; 101-110
	1-10; 51-60		21-30; 111-120
	1-10; 61-70		31-40; 41-50
	1-10; 71-80		31-40; 51-60
	1-10; 81-90		31-40; 61-70
	1-10; 91-100		31-40; 71-80
	1-10; 101-110		31-40; 81-90
	1-10; 111-120		31-40; 91-100
	11-20; 21-30		31-40; 101-110
	11-20; 31-40		31-40; 111-120
	11-20; 41-50		41-50; 51-60
	11-20; 51-60		41-50; 61-70
	11-20; 61-70		41-50; 71-80
	11-20; 71-80		41-50; 81-90
	11-20; 81-90		41-50; 91-100
	11-20; 91-100		41-50; 101-110
	11-20; 101-110		41-50; 111-120
	11-20; 111-120		51-60; 61-70
	21-30; 31-40		51-60; 71-80
	21-30; 41-50		51-60; 81-90
	21-30; 51-60		51-60; 91-100
	21-30; 61-70		51-60; 101-110
	21-30; 71-80		51-60; 111-120

Лабораторная работа № 2