Поверхности равного давления.

Поверхность, во всех точках которой значения гидростатичес­кого давления равны между собой, называют поверхностью рав­ного давления или поверхностью уровня. На по­ложение уровня свободной поверхности влияют силы тяжести и инерции.

Найдем величину равного давления Р по трем частным произ­водным. При Р=const и р # 0 значение полного дифференциала dP=0 и, следовательно, уравнение поверхности жидкости равного давления имеет вид

Это уравнение называется уравнением поверхности жидкости равного или постоянного давления. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся случаи.

Первый случай, когда на покоящуюся жидкость действует одна внешняя сила, сила тяжести, тогда , , (на­правление ускорения свободного падения не совпадает с положи­тельным направлением оси Z). В этом случае исходное уравнение имеет вид

или

т. е. получаем поверхности равного давления, представляющие собой семейство горизонтальных плоскостей. Каждому значению Z соответствует плоскость, точки которой имеют определенное постоянное значение давления. Свободная поверхность жидкости (для ограниченного объема), в данном случае—одна из плоско­стей равного давления. Имеем в виду, что свободная поверхность — это поверхность на границе жидкой и газообразной сред. На свободную поверхность будет приложено постоянное давление равное атмосферному.

Второй случай, когда поверхность равного давления может быть наклонной.

В этом случае единичная масса жидкости находится под действием силы тяжести Z= -1 *g и горизонтального ускорения силы инерции Х= -1*а (к цистерне приложена си­ла с ускорением а, а к жидкости—такая же по величине сила инерции с ускорением - а).

Составляющие массовых сил в уравнении получают значения:

Из этого выражения следует, что наибольшее давление будет в точке z=0 и максимальным отрицательным значением х.

Третий случай, когда жидкость находится в открытом ци­линдрическом сосуде, вращающемся вокруг его вертикальной оси с постоянной угловой скоростью а.

В этом случае на частицу жидкости массой m=l действуют сила тяжести G= -1* g, параллельная оси z, и центробежная сила F=1•v²/r =w²*r, перпендикулярная к оси z.

Из уравнения видно, что при вращении сосуда наи­большее давление будет в точках у дна и на боковых стенках сосуда.

Поверхностью равного давления (поверхностью уровня) – называется это такая поверхность, во всех точках которой давление имеет одно и то же значение. Поэтому разность давлений в разных точках этой поверхности равна нулю dp = 0. Тогда, исходя из дифференциальных уравнений равновесия жидкости, уравнение поверхности равного давления запишется

.

(2.36)

где X, Y, Z – ускорения массовых сил.

Поверхность равного давления обладает двумя свойствами.

Первое свойство поверхности равного давления - поверхности равного давления не пересекаются между собой. Допустим, что поверхность с давлением p₁ пересекается с поверхностью, на которой давление p₂. Тогда в точках линии пересечения этих поверхностей давление было бы одновременно равным и p₁ и p₂, что не возможно, т.к. p₁ не равно p₂, следовательно, пересечения этих поверхностей невозможно.

Второе свойство поверхности равного давления - массовые силы направлены перпендикулярно к поверхности равного давления. Доказать это положение можно следующим образом. Рассмотрим вектор массовой силы dF = dm(X i + Y j +Z k) и вектор смещения координаты точки вдоль поверхности равного давления dr = dx i + dy j +dz k. Найдем скалярное произведение этих векторов (dF·dr) = dm (X dx + Y dy +Z dz) =0. Скалярное произведение этих векторов обращается в ноль, так как выполняется уравнение поверхности равного давления (2.36). А скалярное произведение векторов равно нулю, если они перпендикулярны, что и доказывает второе свойство.

Следствие второго свойства поверхности равного давления - в поле силы тяжести в однородной жидкости поверхностью равного давления является любая горизонтальная поверхность. Жидкость называется однородной, если из одной точки жидкости можно перейти в другую точку жидкости не пересекая твердых стенок и других жидкостей. Действительно, сила тяжести направлена вниз, поэтому поверхность равного давления должна быть горизонтальной.

Принципы преобразования давлений и усилий.