Уравнения гидродинамического приближения

Для приближенного описания влияния теплового движения в уравнения усредненных скоростей вводят силы давления. При этом принимают, что электронное давление действует только на электроны, а ионное — только на ионы. Взаимодействие же между теми и другими описывается, как в модели двух жидкостей, эффективным числом столкновений, т. е. электрическим сопротивлением плазмы. Такой метод описания движения плазмы носит название гидродинамического приближения. Если при этом рассматривается предельный случай идеальной проводимости, то взаимодействие между ионами и электронами вообще не учитывается: они движутся друг сквозь друга как две независимые жидкости. Конечная проводимость, т. е. взаимодействие между электронами и ионами, приводит, как и в случае холодной плазмы, к затуханию колебаний. Уравнения движения электронов и ионов в линейном гидродинамическом приближении без взаимодействия имеют вид

(26.1)

(26.2)

Полные производные по времени заменены частными в силу линейного приближения. Если сложить эти уравнения с учетом условия электронейтральности

(26.3)

и определения плотности тока

(26.4)

то получится для массовой скорости уравнение магнитной гидродинамики

(26.5)

где

(26.6)

—массовая скорость и

(26.7)

—плотность плазмы. Если разделить уравнение (26.1) на массу электрона, уравнение (26.2) на массу иона и вычесть первое из второго, опустив члены, содержащие в знаменателе массу иона, то получится уравнение идеальной проводимости

(26.8)

Для учета джоулевой диссипации в правую часть этого уравнения добавляют член — ν j. Тогда получится обобщенный закон Ома с учетом электронного давления

(26.9)

где ν=1/τ_ei.

Описание колебаний плазмы с помощью уравнений (26.1)—(26.8) неточно в двух отношениях. С одной стороны, давление полагается изотропным, в то время как в разреженной плазме давление может быть не скаляром, а тензором. Эта неточность гидродинамического приближения имеет обычно лишь второстепенное значение. Гораздо существеннее то, что гидродинамическое приближение не описывает специфического затухания колебаний, связанного с диссипацией без столкновений.При этом волна передает свою энергию частицам, у которых составляющая скорости теплового движения вдоль направления распространения близка к фазовой скорости волны.

Для волн с низкой фазовой скоростью специфическое затухание оказывается весьма сильным. Оно может приводить к тому, что некоторые типы колебаний, получающиеся из гидродинамического приближения, в действительности вообще не осуществляются. Этот вопрос может быть рассмотрен только методами физической кинетики.

В обычном газе из нейтральных частиц возмущения давления распространяются, как звуковые волны. В плазме волны подобного рода сопровождаются разделением зарядов. Если магнитное поле отсутствует, то волновые движения происходят под действием градиентов давления и электрического поля, возникающего от разделения зарядов. С понижением температуры эти движения переходят в знакомые уже нам электростатические плазменные колебания. В холодной плазме плазменные колебания имеют одну фиксированную частоту, не зависящую от волнового числа, т. е. не являются распространяющимися волнами. Можно сказать, что групповая скорость их равна нулю, а фазовая не имеет определенного значения. Если же ввести тепловое (газовое) давление, то плазменные колебания переходят в распространяющиеся волны, В этих волнах действуют одновременно электростатические силы (как в плазменных колебаниях) и силы давления (как в звуке). Поэтому иногда их называют плазменными, а иногда — электрозвуковыми волнами. Таким же образом происходит и распространение плазменных волн вдоль внешнего магнитного поля. В этом направлении поперечные (магнитогидродинамические и электромагнитные) волны распространяются независимо от продольных плазменных или электрозвуковых волн. При распространении волн поперек внешнего магнитного поля силы газового давления складываются с силами магнитного давления. Возникают ускоренные магнитно-звуковые волны, которые с понижением температуры переходят в знакомые нам магнитно-звуковые колебания холодной плазмы. При распространении под косым углом к магнитному полю, кроме ускоренных, возможны также и замедленные магнитно-звуковые волны.

Скорость звука

Для описания влияния давления на волновые движения необходимо связать градиент давления со скоростью движения вещества. Это делается так же, как и в обычной тео- теории распространения звука. Пренебрегая диссипативными процессами, считают, что изменение состояния вещества происходит по адиабатическому закону

откуда

(27.1)

(27.3)

где γ — показатель адиабаты. Связь между изменениями концентрации n и скорости v дается уравнением непрерывности

(27.3)

которое в линейном приближении сводится к

(27.4)

Здесь n’ — возмущение концентрации; n — невозмущенная концентрация. Для плоской волны вида expi[(kr)—ωt] из уравнения (27.4) получим

(27.5)

Если невозмущенная концентрация постоянна в пространстве, то

(27.6)

и тогда из соотношения (27.2) получим

(27.7)

Это уравнение решается совместно с уравнениями движения. Поскольку мы пренебрегаем взаимодействием между ионами и электронами, уравнения (27.1)—(27.7) могут применяться отдельно как к ионам, так и к электронам. При этом подразумевается, что плазма совершенно неизотермична — температуры ионов и электронов меняются независимо.

Для газа из нейтральных частиц уравнение (27.7) решается совместно с линеаризованным уравнением Эйлера

(27.8)

которое для плоской волны дает

(27.9)

Если выразить отсюда v и подставить в уравнение (27.7), то для продольных волн (k || v) получится дисперсионное уравнение

(27.10)

Здесь u — обычная скорость звука. По аналогии удобно ввести ионную и электронную скорости звука, определив их соотношениями

(27.11)

(27.12)

где T_i и Т_е — ионная и электронная температуры в энергетических единицах. Тогда уравнение (27.2) для ионов и электронов можно записать в виде

(27.13)

(27.14)

и уравнение (27.7) — в виде

(27.15)

(27.16)

Допустим, что в плазме могут распространяться обычные звуковые волны, для которых разделением зарядов и электрическими токами можно пренебречь. Это значит, что электроны и ионы должны иметь одинаковые упорядоченные скорости

v_i=v_e=v (27.17)

Тогда сложение уравнений (27.15) и (27.16) даст с учетом условия электронейтральности (n_е=Zn_i) для общего давления

(27.18)

Этот результат можно записать в виде, аналогичном уравнению (27.15),

(27.19)

если определить скорость звука u_з соотношением

(27.20)

Это так называемая скорость ионного звука (в отличие от ионной скорости звука u_i).Она определяется «суммарной» температурой электронов и ионов T_i + ZT_e и массой ионов. Электронная температура входит с множителем Z, потому что это число электронов на один ион. В каких условиях в плазме реально могут распространяться звуковые волны без разделения зарядов, будет видно из дальнейшего. Но уже сейчас мы можем сказать, что скорость их должна определяться формулой (27.20).