Вопрос №13. Вычитание и деление целых неотрицательных чисел

Разностью чисел а и в? N0 называется число с? N0, удовлетворяющее условию в+с=а, обозначают с=а-в, число а называют уменьшаемым, число в – вычитаемым.

Операцию нахождения разности называют вычитанием.

Теорема: Разность чисел а и в из N0 существует тогда, когда в ≤ а.

Правило вычитания числа из суммы:

(а+в)-с=(а-с)+в, если а ≥ с

(а+в)-с=а+(в-с), если в ≥ с

Правило вычитания суммы из числа:

а-(в+с)=(а-в)-с

Правило вычитания числа из разности:

(а-в)-с=а-(в+с)

Правило вычитания разности из числа:

а-(в-с)=(а+с)-в

а-(в-с)=(а-в)+с, если а>b

Правило прибавления разности к числу:

а+(в-с)=(а+в)-с

Опр-ие: Частным чисел а и в из N0 называется число с? N0, удовлетворяющий условию с*в=а, обозначают с=а:в.

Число а называют делимым, в – делителем.

Теорема: Деление на ноль невозможно.

Док-во: Пусть даны числа а и в?N0,пусть а≠0,в=0.

Предположим, что частное а:в существует => (по опред. частного) Ɉ с, в*с=а, т.е 0*с=а, но 0*с=0 => а=0. Получили противоречие с условием, т.к а≠0 (по усл.) => предположение неверно => а:в не существует.

Пусть а=0, в=0.

Предположим, что а:в существует => Ɉ с такое, что в*с=а, т.е 0*с=0.

Последнее равенство верно для любого с, т.е с может быть любым числом, т.е частное а:в может быть любым числом. Это противоречит определению частного =>предположение неверно.

Правила, связывающие деление с другими операциями:

1) (а+в):с=а:с+в:с

2) (а-в):с=а:с-в:с

3) (а*в):с=(а:с)*в, если а:с

(а*в):с=а*(в:с), если в:с

4) а:(в*с)=(а:в):с

а:(в*с)=(а:с):в

5) а*(в:с)=(а*в):с

а*(в:с)=(а:с)*в

Пр: Известно, что 18:18=19:19

Проделаем следующие операции: 18(1:1)=19(1:1), 1:1=1

Получаем, что 18=19

Как известно, не существует такого числа, которое бы являлось частной чисел 53 и 17, но существуют числа 3 и 2, такие что 53=3*17=2.

Определение: Разделить с остатком натур. число а на натур. число в значит найти такие числа q и r? N0, что а=в*q+r, где 0 ≤ r<в, число q называют неполным частным, а r - остатком.

Вопрос №14. Теоретико множественный подход построению мн-ва целых неотр-х чисел. Истр-ие сведения. Понятие нат.числа и нуля.

Понятие натурального числа возникло из практических потребностей человека и складывалось постепенно.

На первом этапе для подсчета предметов использовались пальцы. Когда предметов было много стали использовать предметы посредники(камешки, ракушки).

Если требовалось сравнить два стада по кол-ву голов, поступали следующим образом: устанавливали взаимно-однозначное соответствие между мн-вом голов в первом стаде и мн-вом ракушек, а затем между мн-вом ракушек и мн-вом голов во втором стаде.

Если ракушки оставались, то говорили, что в первом стаде голов больше и т.д.

Оперируя предметы посредники, человек стал отвлекаться от природных элементов, так возникло представление о натуральном числе – это был важнейший этап становления математики. Люди научились не тольно называть числа, но и записывать их, выполнять действия между над ними и изучать их свойства.

Рассмотрим построение мн-ва натур. Чисел на основе теории мн-в. Создатель этой теории Георг Кантор.

Как известно, два мн-ва А и В называются равномощными (А~ В), если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Если А~В, то m(А)=m(А), m(А) кол-во элементов в А.

Если мн-во конечное, то вместо термина «равномощные» употребляют термин «равночисленные»

Мн-во называется конечным, если оно не равномощно никакому своему собственному подмножеству.

Отношение равномощности на множества всех конечных множеств обладает след. Свойствами:
1. Рефлективность (А~А)

2. Симметричность (А~B) =>B~A)

3. Транзитивность (A~B,B~C=>A~C)

Таким образом отношение равномощности яв-ся отношением эквивалентности и разбивает конечные мн-ва на классы эквивалентности

В один и тот же класс входят мн-ва самых различных. Общее для них яв-ся только св-во равносильности

ОПР Нат. Числом наз-ся общее свойство класса не пустых конечных равномощно друг другу мн-в.

Напр. Число 5 означает не пять пальцев, не 5 календарных дней, а то общее св-во, которым обладают эти мн-ва. Т.е. их количественный характер.Число 0 будет соответствовать пустому множеству 0=m(не равно 0). m-это численность.

Присоединим к пустому мн-ву А* еще один элемент, получим мн-во А**

ОПР Отрезком кат-ого ряда Nа наз-ся мн-во нат.чисел не превосходящих числа а.
Пример N9= 1,2,3,4,5,6,7,8,9

Перечислим св-ва отрезков нат.ряда
1. Любой отрезок нат.ряда Nа содержит единицу
2. Если число в пренадлежит Nа и в не равно а. то в + 1 принадлежит Na
3. Мн-во А наз-ся конечным, если оно равномощно некоторому отрезку Na нат.ряда