Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-07-01 | 368 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Площадь поверхности
Пусть поверхность σзадана уравнением z = f (x, y), где f (x, y) имеет непрерывные частные производные первого порядка в некоторой замкнутой ограниченной области D плоскости хОу. Площадь поверхности σвычисляется по формуле
S =
Если уравнение поверхности задано в виде х = ψ(y, z) или у = η (х, z), то площадь вычисляется по формулам:
S = ,
S = ,
где D ’ и D ’’ - проекции на плоскостях yOz и xOz данной поверхности.
2. Масса пластины
Если пластина занимает на плоскости хОу область D и имеет переменную поверхностную плотность γ = γ(х, у), то масса m пластины выражается двойным интегралом
.
3. Статические моменты
Статические моменты пластины относительно осей Ох и Оу вычисляются по формулам:
, .
4. Координаты центра тяжести
Координаты центра тяжести пластины, имеющей плотность γ = γ(х, у), вычисляются по формулам:
, ,
где m - масса пластины, Мх, Мy - ее статические моменты.
Если пластина однородная, т.е. γ = const, то эти формулы принимают вид
, ,
где S - площадь пластины.
5. Моменты инерции
Моменты инерции пластины относительно осей Ох и Оу вычисляются по формулам:
, .
Момент инерции относительно начала координат равен
.
6. Геометрические моменты инерции
Полагая в формулах для Ix, Iy и Io γ (х, у) = 1, получим формулы для вычисления геометрических моментов инерции:
, , .
Пример 1.1. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена прямыми y = x, y = 2 x, x = 1.
Рис. 1.8 |
Решение. Построим область интегрирования D (рис.1.8). Область принадлежит первому виду, поэтому интеграл будем вычислять по формуле (1.2). В данном случае a =0, b =1, y 1(x) = x, y 2(x) = 2 x, подынтегральная функция - f (x, y) = xy.
.
Вычислим сначала внутренний интеграл, считая х постоянным, а затем найдем внешний интеграл.
|
.
Ответ:3/8.
Пример 1.2. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена окружностями x 2 + y 2= x, x 2 + y 2=2 x.
Решение. Преобразуем уравнения окружностей:
x 2 + y 2= x Þ
Þ
Þ ,
Рис. 1.9 |
x 2 + y 2=2 x Þ
Þ
.
Первая окружность имеет центр в точке (1/2; 0) и радиус 1/2, вторая окружность имеет центр в точке (1; 0) и радиус 1 (рис. 1.9).
Запишем уравнения окружностей в полярных координатах:
x 2 + y 2= x Þ ρ2 cos 2φ+ ρ2 sin 2φ = ρ cos φ Þ ρ = cos φ;
x 2 + y 2=2 x Þ ρ = 2 cos φ.
Для точек области D полярный угол jизменяется от - до , а полярный радиус ρ от кривой ρ1 = cos φ до кривой ρ2 = 2 cos φ. Найдем интеграл по формуле (1.3).
.
Ответ: .
1.2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рис. 1.10 |
Пусть T - ограниченная замкнутая пространственная область, и пусть функция f (x, y, z) определена в области T (рис. 1.10). Р азобьем область T произвольно на n частей и обозначим их объемы соответственно ∆ V1, ∆ V2, ∆ V3,..., ∆ Vn. В каждой частичной области ∆ Vi возьмем произвольную точку Мi (xi, yi, zi) и составим интегральную сумму
. (1.4)
Определение. Тройным интегралом от функции f (x, y, z) по области T называется предел сумм (1.4) для различных разбиений при условии, что наибольший диаметр частей ∆ Vi стремится к нулю. Обозначается символом
.
Итак,
.
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!