Порядок выполнения лабораторной работы

1 Загрузить Mathcad. Сохранить новый документ с именем ФИОСтудента3.

2 Ввести в поле документа данные о студенте и выполняемой лабораторной работе.

3 Определить системную переменную ORIGIN равной единице.

4 Создать первым способом массивы: матрицы (имена A, B, D) размером 5×5 и векторы с1 и с2 размером 5×1 и 1×5 соответственно. Присвоить им произвольные значения. Вывести эти массивы в матричном и табличном виде, получить их таблицы вывода.

5 Исследовать следующие свойства матриц на примере преобразования заданных массивов:

5.1 Транспонированная матрица суммы двух матриц равна сумме транспонированных матриц .

5.2 Транспонированная матрица произведения двух матриц равна произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: .

5.3 При умножении матрицы размером m × n на вектор последний должен являться столбцом из n элементов.

5.4 При умножении вектора на матрицу размером m × n первый должен являться строкой из m элементов.

5.5 При транспонировании квадратной матрицы определитель не меняется: .

5.6 Произведение квадратной матрицы на соответствующую ей обратную дает единичную матрицу (элементы главной диагонали единичной матрицы равны 1, а все остальные – 0): .

6 Создать способом ввода отдельных элементов вектор g и матрицу H размером 5×1 и 5×5 соответственно.

7 Создать с помощью ранжированной переменной вектор k и матрицу L размером 5×1 и 5×5 соответственно путем непосредственного ввода значений (пример 3.1).

8 Создать с помощью ранжированной переменной (пример 3.2) вектор x и матрицу Y размером 5×1 и 5×5 соответственно. Формулы для вычисления значений элементов см. в таблице 3.3, где i, j – ранжированные переменные. Вывести эти массивы.

9 Создать матрицу Y1 размером 5×5, состоящую из случайных чисел, равномерно распределенных на интервале от минус 2 до 2 (пример 3.3).

10 Создать матрицу Y2 размером 5×5 с помощью функции matrix (пример 3.4). Формулу для вычисления значений элементов см. в таблице 3.3.

 

Формулы для создания массивов с помощью
ранжированной переменной и функции matrix Таблица 3

Вариант	Вектор x	Матрица Y	f (i, j)

 

11 Записать в файл task1.prn вектор. Записать в файл task2.prn матрицу. Просмотреть полученные файлы в Блокноте.

12 Дописать в файл task2.prn произвольную матрицу. Просмотреть полученный файл в Блокноте.

13 Ввести значения в матрицу (имя произвольное) из структурированного файла данных task2.prn, используя функцию чтения данных.

14 Создать в Блокноте файл данных с именем task3.prn, размещенных структурировано в виде таблицы. Элементы можно отделять с помощью клавиши Tab. Ввести значения в матрицу (имя произвольное) из структурированного файла данных task3.prn, используя функцию чтения данных.

15 Получить матрицу M по формуле .

16 Подсчитать минимальный, максимальный элемент, сумму и произведение элементов матрицы M.

17 Получить вектор-столбец v 1 по значениям (mod (n, 5)+1)-го столбца и вектор-столбец v 2 по значениям (5 − mod (n, 5))-й строки матрицы M, где n − номер варианта. Подсчитать минимальный, максимальный элемент, сумму, длину, скалярное и векторное произведения элементов векторов v 1 и v 2.

18 Получить массив из элементов матрицы M, стоящих на пересечениях 2-й, 3-й строк и 3-го, 4-го столбцов. Получить массив, объединив матрицы A, B, M по строкам. Получить массив, объединив матрицы A, M по столбцам.

19 Далее продолжать работу по вариантам (таблица 3.4), используя функцию if, известные векторные и матричные операции и функции.

 

Применение векторных и матричных операций и функций Таблица 4

Вариант	Задача
	Элементы матрицы M, которые больше числа 5, заменить числом 5. Подсчитать сумму элементов M, сумма индексов которых − четная. Вывести второй столбец матрицы M. Отсортировать его по убыванию. По созданному вектору получить матрицу M 1 с элементами этого вектора на главной диагонали. Заменить элементы первого столбца матрицы M 1средним арифметическим элементов матрицы. Создать подматрицу M 2 из нечетных строк матрицы M 1, каждый элемент M 2 уменьшить на единицу
	Создать вектор d из элементов главной диагонали матрицы M и отсортировать его по возрастанию. Подсчитать минимальный элемент во второй строке матрицы M. Найти синус каждого элемента матрицы M, результат сохранить в матрице M 1. Подсчитать сумму отрицательных элементов матрицы M1. Заменить отрицательные и нулевые элементы матрицы M 1 на 1. Найти среднее геометрическое M 1. Создать подматрицу M 2 из нечетных столбцов матрицы M 1
	Преобразовать матрицу M таким образом, чтобы отсортированным оказался третий столбец. Подсчитать сумму элементов матрицы M, стоящих выше главной диагонали. Определить максимальные элементы в нечетных столбцах матрицы M и их среднее арифметическое. Получить матрицу M 1, на главной диагонали которой − третья строка матрицы M. Найти косинус каждого элемента M. Создать подматрицу M 2 из нечетных строк и столбцов матрицы M 1
	Элементы матрицы M, которые по модулю больше 10, заменить числом 10. Подсчитать произведение диагональных элементов матрицы M. Определить максимальные элементы в четных столбцах матрицы M и во второй строке. Отсортировать вторую строку M по убыванию. Подсчитать тангенс каждого элемента матрицы M. Получить матрицу M1 из первого и третьего столбцов матрицы M
	Подсчитать среднее геометрическое положительных элементов матрицы M. Определить максимальные элементы в нечетных строках матрицы M. Третий столбец матрицы M отсортировать по возрастанию и создать на его основе диагональную матрицу M1. Нулевые элементы M1 заменить значением определителя M1. Найти синус каждого элемента полученного массива. Заменить положительные элементы второго столбца полученного массива его определителем
	Подсчитать сумму элементов матрицы M, стоящих ниже главной диагонали. Создать из элементов главной диагонали матрицы M вектор z и отсортировать его по убыванию. Элементы третьего и четвертого столбцов матрицы M заменить модулем вектора z. Получить матрицу M1, объединив матрицу M и вектор, составленный из косинусов элементов вектора z
	Заменить элементы второго столбца матрицы M их модулями. Удвоить матрицу M, добавив к ней справа такую же матрицу. Создать матрицу M1 размерностью 5×5 из элементов удвоенной матрицы M, стоящих в строках с 1-й по 5-ю и в столбцах с 3-го по 7-й. Вычислить среднее арифметическое элементов матрицы M1. Подсчитать максимальный элемент главной диагонали матрицы M1
	Округлить дробные элементы матрицы M. Подсчитать максимальные элементы в каждом нечетном столбце матрицы M. Четвертую строку матрицы M отсортировать по возрастанию. Создать подматрицу M1 матрицы M, состоящую из ее нечетных столбцов. Получить матрицу извлечением кубического корня из элементов матрицы M1. Найти ранг матрицы M1 и заменить полученным значением элементы главной диагонали
	Создать подматрицу M1 матрицы M, состоящую из элементов, стоящих в нечетных строках и столбцах M. Подсчитать сумму элементов полученного массива M1. Инвертировать его. Найти минимальный элемент полученной обратной матрицы и заменить им элементы главной диагонали матрицы M. Подсчитать котангенс каждого элемента матрицы M. Заменить отрицательные элементы второй строки M единицей
	Элементы матрицы M, которые по модулю меньше 3, заменить числом 3. Транспонировать полученный массив, в котором определить минимальный элемент в четвертой строке. Определить среднее геометрическое элементов полученного массива. Подсчитать косинус каждого элемента массива M и поместить в матрицу M1. Найти произведение элементов M1, стоящих ниже главной диагонали
	Подсчитать сумму элементов матрицы M, стоящих не ниже главной диагонали. Первую строку матрицы M заменить элементами главной диагонали. Подсчитать максимальные элементы в каждом четном столбце. Создать подматрицу M1 матрицы M, размерностью 3×3, состоящую из элементов, стоящих в первых трех строках и столбцах M. Элементы главной диагонали новой матрицы увеличить на единицу
	Отрицательные элементы матрицы M заменить их модулями. Найти ранг и сумму диагональных элементов полученной матрицы. Подсчитать сумму элементов матрицы M, стоящих выше главной диагонали. Найти минимальный элемент в третьей строке M. На основе первой строки матрицы M создать диагональную матрицу M1 и умножить ее на исходную матрицу поэлементно
	Преобразовать матрицу M так, чтобы отсортированной оказалась вторая строка. Элементы главной диагонали матрицы M заменить единицей и инвертировать полученную матрицу. Подсчитать минимальные элементы в четных строках полученной матрицы M -1. Подсчитать сумму элементов 1-го столбца матрицы M. Элементы M, сумма индексов которых равна 3, заменить определителем M
	Получить матрицу M1, каждый элемент которой – квадратный корень из элементов матрицы M. Комплексные элементы полученной матрицы заменить их мнимыми частями, действительные элементы не изменять. Из каждого элемента матрицы M вычесть 10. В полученной матрице определить минимальный элемент во второй строке и сумму элементов, у которых хотя бы один из индексов четный
	Подсчитать произведение дробных частей элементов матрицы M. Создать вектор d из элементов главной диагонали, отсортировать его по убыванию. Заменить вектором d последний столбец матрицы M. Вычислить косинус каждого элемента матрицы M. Определить сумму элементов второй строки матрицы M и заменить этой суммой элементы, у которых один из индексов нечетный
	Подсчитать произведение элементов матрицы M, сумма индексов которых – четная. Определить среднее арифметическое в каждом столбце матрицы M, данные представить в виде вектора. Вектор отсортировать по убыванию. На основе полученного вектора создать диагональную матрицу M1 и определить ее минимальный элемент. Подсчитать котангенс каждого элемента полученной матрицы

 

20 Подготовить документ для печати и распечатать. Завершить работу.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

По формуле задать матрицу M размерностью 7×7. Получить подматрицу M1 размерностью 5×5 из элементов M, стоящих на пересечении последних пяти строк и столбцов. Подсчитать произведение элементов матрицы M1 с нечетной суммой индексов. Создать матрицу M2, каждый элемент которой – натуральный логарифм матрицы M1. Комплексные элементы матрицы M2 заменить их действительной частью. Найти максимальные элементы в нечетных столбцах M2. Сформировать вектор z из диагональных элементов матрицы M2 и найти его модуль. Создать матрицу M3 из нечетных строк матрицы M2 и вектора z.

Определяем переменную ORIGIN и ранжированные переменные для нумерации элементов массивов:

Задаем матрицу M и ее подматрицу M1:

Для подсчета произведения элементов матрицы M1 с нечетной суммой индексов создаем с помощью оператора if вспомогательную матрицу, в которой на указанных местах стоят элементы M1, а на местах с четной суммой индексов – единицы. Произведение элементов такой вспомогательной матрицы будет искомым:

Для создания матрицы M2 достаточно использовать «векторизацию»:

Заменим комплексные элементы матрицы M2 их действительной частью, используя функцию Re(z), возвращающую действительную часть числа z:

Максимальные элементы в нечетных столбцах представим в виде ранжированной переменной:

Создадим вектор z из элементов матрицы M2 и найдем его модуль:

Для создания матрицы M3 можно, например, использовать функцию объединения массивов с одинаковым количеством строк:

 

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

1 Задать произвольную матрицу M размером 5×4 и вектор v размером 5×1, элементы которого определяются по формуле , где x – произвольное число.

2 Объединить массивы M и v в матрицу A размерностью 5×5. Вывести M в виде таблицы, A – в матричном виде, v отсортировать по убыванию и вывести в виде таблицы вывода ранжированной переменной.

3 Найти максимальный элемент матрицы A, сумму диагональных элементов, определитель матрицы A.

4 Подсчитать сумму элементов матрицы А.

5 Инвертировать матрицу A. В полученном массиве определить максимальные элементы в четных столбцах.

6 В матрице A ^-1 определить произведение положительных элементов.

7 Записать матрицу А в файл данных и просмотреть его в Блокноте.

 

Приблизительная оценка выполнения контрольного задания (время выполнения 20 минут):

Номера заданий	Оценка
1−7	9-10
1−5, 7
1−4, 7	6-7
1, 2, 4, 5
1, 2, 4

 

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1 Что такое массив?

2 Что такое матрица? Что такое вектор в Mathcad? Какие бывают векторы в Mathcad?

3 Что такое ORIGIN и как она задается?

4 Перечислить способы создания массивов.

5 Как добавить строку или столбец в уже существующий массив?

6 Указать способы вывода и отображения массивов.

7 Перечислить операции для работы с массивами.

8 Перечислить и определить векторные функции.

9 Перечислить и определить функции для создания массивов.

10 Перечислить и определить функции, возвращающие специальные характеристики массивов.

11 Перечислить и определить функции сортировки массивов.

Перечислить функции для работы с файлами данных

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Голдобина, Т. А. MathCad для экономистов / Учеб.-метод. пособие по дисциплине "Компьютерные информационные технологии". – Гомель: БелГУТ, 2007. – 107 с.

2. Дьяконов И.И. Использование системы MathCad.– Киев: Диалектика, 1999.– 386 с.

3. Кирьянов Д.А. Самоучитель MathCad 11.– Санкт-Петербург: БВХ- Петербург, 2003.– 540 с.

4. Симанович С.В. Информатика. Базовый курс. – Санкт-Петербург: Питер, 2004.– 640с.

5. Гурский Д.А., Турбина Е.А. MathCad для студентов и школьников. Популярный самоучитель.– Санкт-Петербург: БВХ- Петербург, 2005.– 40 с.

6. Гурский Д.А., Турбина Е.А. Вычисления MathCad 12 – Санкт-Петербург: Питер, 2006.– 546с.

 

 

 

Учебное издание

 

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

 

 

Методические указания к выполнению лабораторной работы

№3-4 по курсу «Численные методы» для студентов, обучающихся

по направлению 230700 «Прикладная информатика»,

всех форм обучения

 

 

Составитель:

СОКОЛОВА Светлана Васильевна

 

Печатается в редакции составителя