Вопрос 3-5 Необх и дост усл интегрируемости. Верхн и нижн суммы Дарбу. Св-ва

Вопрос 1 Опр. инт-л Римана

Пусть дан . Разбиением T отрезка называется набор точек или набор отрезков , где . Будем обозначать .

Пусть на отрезке задана функция . Возьмём некоторое разбиение отрезка и в каждом отрезке выберем точку . Сумма называется интегральной. Число I называется интегралом от , если для для всех разбиений T с при любом выборе точек будет (т.е. ). Обозначается ­ (интеграл, определённый таким образом, называется интегралом Римана). Если не ограничена на , то неинтегрируема на .

Вопрос 2 Основные определения

1. Неопределённый интеграл: Пусть ∆ - конечный или бесконеч. отрезок числ. оси, т.е. интервал, полуинтервал, или отрезок. На отрезке ∆ задана f(x) и F(x).

ОПР: Фун-я F(x) наз. первообразной ф-ции f(x) на ∆, если F ’ (x) дифф-ма на ∆ и F ’ (x)= f(x) для всех

ОПР: Пусть f(x) определена на ∆. Совокупность всех ёё первообр. на ∆ наз-ся неопр. интегралом и обозн.

 

2. Определённый нтервал: см. Вопрос 1 (инт-л Римана=опр. инт-л)

Вопрос 3-5 Необх и дост усл интегрируемости. Верхн и нижн суммы Дарбу. Св-ва

Изначально считаем, что на ограничена и пусть задано разбиение Т отрезка на отр. , где . На каждом из отрезков найдём M_i – точная верхняя грань и m_i – точная нижн. грань ф-ции при х ε

S= и s=m_i - соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу при разбиении T.

 

Свойства:

1. Любая интегр. ∑ заключена между верх. и нижн. ∑ Дарбу отвечающие данному разбиению Т.

2. Если к уже имеющ. точкам разбиения добавить ещё одну точку, то нижн. ∑ Дарбу может лишь возрасти, а верхняя – лишь уменьшиться.

3. Любая нижн. ∑ Дарбу не превосходит ∀ верх. ∑ Дарбу, если даже они отвечают различ. разбиениям .

4. Множество всех нижн. ∑ Дарбу есть огран. сверху, напр. ∀ верхн. ∑, значит у этого мн-ва есть точная верхняя грань
Множество всех верхн. ∑ Дарбу есть огран. снизу, напр. ∀ нижн. ∑, значит у этого мн-ва есть точная нижняя грань
ТЕОР: Для существования опр. инт-ла необ. и дост, чтобы
1. Предел

2. Чтобы для ∀ ε > 0: как только ∆< ẟ, то

Вопрос 6 Классы интегрируемых функций

1. Если непрерывна на , то интегрируема на .

Док-во: Если f(x) непрерывна на , то согласно теор. Кантора она равномерно непрерывна на этом отрезке. Это означает, что для для любых и выполн. нер-во

Возьмём число и выберем по нему такое разбиение отрезка чтобы . Отсюда следует, что

2. Если монотонна и ограничена на , то интегрируема на .

3. ОПР: Ф-ция наз. кусочно-непрерывной на , если она имеет на этом отрезке конечн. число точек разрыва 1 рода, а в ост. точка она непрерывна.

ТЕОР: кусочно-непрерывная на ф-ция интегрируема на этом отрезке.

Вопрос 8 Теорема о среднем значении

Пусть и интегрируемы на , сохраняет знак на и . Тогда и . Если, кроме того, непрерывна на , то найдутся такие точки что f(x₁) = m, f(x₂) = M и число ή: f(ή) - µ и .

Вопрос 13 Несобственные инт-лы с беск. пределами и несобственные инт-лы от неогранич. ф-ций. Определения и признак сходимости.

Пусть интегрируема на , и . Тогда называется несобственным . Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный сходится. Примеры:

1. .

2. .

Аналогично, , , где a – произвольное число.

Пусть интегрируема на , где и в окрестности b неограниченна. Тогда – несобственный интеграл.

Примеры:

1. .

2. .

Признаки сходимости несоб. инт-ла

Вступление:

1. ,несобственный инт-л 1 рода.

2. b – конечное число, а – несобственный инл 2 рода.

Признаки сходимости несоб. инт-ла для f(x)>0 ∀ :

1)Признак сравнения (с нер-вами)

 

1. =>

2. =>

2) Признак сравнения (с )

Вопрос 26 Степенные ряды. Радиус сх-ти и круг сх-ти, формулы Коши-Адамара и Даламбера для вычисления радиуса сх-ти. Почленнаядиф-ть и инт-ть степ.рядов. Ряды Тейлора, теорема о разложимости, степ.ряды элементарных ф-ций.

Степенными рядами называются ряды вида или . Формула Коши-Адамара: Для любого степенного ряда существует число при ряд сходится абсолютно, при ряд расходится. Если R = 0, то ряд сходится только при x = 0. Если R = ¥, то ряд абсолютно расходится для " x. Это число R называется радиусом сходимости и может быть найдено по формуле: , где Док-во:Пусть R Î (0;¥), т.е. l Î (0;¥). а) Возьмём сначала , т.е. . Тогда существует достаточно малое . По определению правее l + e может быть только конечное число , т.е. $ N: для " n>N будет . Тогда для , откуда по радикальному признаку Коши сходится абсолютно для .б) Возьмём теперь , т.е. . Тогда существует достаточно малое . По определению . Тогда $ K: для " k>K будет , значит , откуда при ряд расходится, т.к. при n ®¥.Пусть теперь R = ¥, т.е. l = 0, т.е. . Т.к. для " n, то все частичные пределы последовательности , а т.к. наибольший из них равен 0, то у один частичный предел, т.е. . Покажем, что для абсолютно сходится. Т.к. при n ®¥, то $ N: для " n>N будет . Тогда и по радикальному признаку Коши сходится абсолютно.Пусть, наконец, R = 0, т.е. l = ¥. Это значит, что не ограничена сверху. Докажем, что для ряд расходится. Предположим, что он сходится. Тогда при n ® 0. Тогда ограничена, т.е. , откуд , а, значит, , т.е. ограничена, что противоречит условию, следовательно, расходится.Для будет абсолютная сходимость при и расходимость при .Множество будем называть кругом сходимости.

Различие между сходимостью и абсолютной сходимость у может быть только при .На окружности (в комплексной плоскости) возможны разные случаи.Пусть для . Тогда в – непрерывная функция.Возьмём . Тогда . На сходится равномерно. Все его члены непрерывны, следовательно, непрерывна на , в том числе в точке . Т.к. эта точка – любая из , то непрерывна на .

Диф и интегр. R сход степ ряда и а₀+а₁х+3а₂х²+…ряда получ из него формальн диф-ния свпадает а₁+2а₂х+3а₂х²+… Док-во: Пусть R сход степ ряда =R,R сход 2-го ряда=R₁:

2.Степ ряд диф-ют в пределах открытого круга сх-ти Т.К степ ряд сход на [-q;q], наход строго внутри и нтерв сход-ти, то степ ряд можно почленно [x.x₀]справ-ва ф-ла = )|^x_x0=a₀(x-x₀)- х₀,х

Ряд Тейлора. f(x) разлагатся в степ ряд, если найдутся такие числа а_n, n=0123..., что f(x)= Теорема. Чтобыf(x) разлогалась в степ ряд, на инт-ле (x₀-R,x_0+R)необх и дост, чтобы она была в этом инт-ле и ост член в ф-ле Тейл к→0 при n→∞

Разложения в ряд Тейлора:

 

Вопрос 1 Опр. инт-л Римана

Пусть дан . Разбиением T отрезка называется набор точек или набор отрезков , где . Будем обозначать .

Пусть на отрезке задана функция . Возьмём некоторое разбиение отрезка и в каждом отрезке выберем точку . Сумма называется интегральной. Число I называется интегралом от , если для для всех разбиений T с при любом выборе точек будет (т.е. ). Обозначается ­ (интеграл, определённый таким образом, называется интегралом Римана). Если не ограничена на , то неинтегрируема на .

Вопрос 2 Основные определения

1. Неопределённый интеграл: Пусть ∆ - конечный или бесконеч. отрезок числ. оси, т.е. интервал, полуинтервал, или отрезок. На отрезке ∆ задана f(x) и F(x).

ОПР: Фун-я F(x) наз. первообразной ф-ции f(x) на ∆, если F ’ (x) дифф-ма на ∆ и F ’ (x)= f(x) для всех

ОПР: Пусть f(x) определена на ∆. Совокупность всех ёё первообр. на ∆ наз-ся неопр. интегралом и обозн.

 

2. Определённый нтервал: см. Вопрос 1 (инт-л Римана=опр. инт-л)

Вопрос 3-5 Необх и дост усл интегрируемости. Верхн и нижн суммы Дарбу. Св-ва

Изначально считаем, что на ограничена и пусть задано разбиение Т отрезка на отр. , где . На каждом из отрезков найдём M_i – точная верхняя грань и m_i – точная нижн. грань ф-ции при х ε

S= и s=m_i - соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу при разбиении T.

 

Свойства:

1. Любая интегр. ∑ заключена между верх. и нижн. ∑ Дарбу отвечающие данному разбиению Т.

2. Если к уже имеющ. точкам разбиения добавить ещё одну точку, то нижн. ∑ Дарбу может лишь возрасти, а верхняя – лишь уменьшиться.

3. Любая нижн. ∑ Дарбу не превосходит ∀ верх. ∑ Дарбу, если даже они отвечают различ. разбиениям .

4. Множество всех нижн. ∑ Дарбу есть огран. сверху, напр. ∀ верхн. ∑, значит у этого мн-ва есть точная верхняя грань
Множество всех верхн. ∑ Дарбу есть огран. снизу, напр. ∀ нижн. ∑, значит у этого мн-ва есть точная нижняя грань
ТЕОР: Для существования опр. инт-ла необ. и дост, чтобы
1. Предел

2. Чтобы для ∀ ε > 0: как только ∆< ẟ, то