Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
 2017-06-25 |
 769 |
из
5.00
|
Заказать работу |
|
|
|
|
Ряд 
(1) называется знакопостоянным, если все его члены 
, либо если все его члены 
. Т.к. умножение ряда на (-1) не влияет на сходимость ряда, то в дальнейшем можно считать, что ряд (1) с положительными членами . Теорема 1: Общее условие сходимости рядов с положительными членами: для того, чтобы ряд (1) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы все его частичные суммы 
были ограничены сверху неким числом A. 
Док-во: Пусть ряд (1) сходящийся, S – сумма. (3) выполняется, если в качестве A взять S. Пусть (3) выполнено, т.к. члены ряда (1) – положительные, то его частичную сумму образует последовательность 
. Существует 
, значит все пределы сходящиеся.
6. Признаки сравнения (в непредельной и предельной формах).
В непредельной форме: Рассмотрим два ряда с положительными членами: 
(1) 
(2). Теорема 2: Предположим, что при всех натуральных n выполняется неравенство 
(3), тогда: 1) если (2) сходится, то и (1) сходится, 2)если (1) расходится, то (2) расходится. Док-во: Пусть (2) сходится, по Т1 (Общее условие сходимости рядов с положительными членами) тогда его частичные суммы 
ограничены сверху некоторым числом A, т.е. 
(4). Обозначим через 
частичную сумму ряда (1) В силу (3) (5), по Т1 – ряд сходящийся. В предельной форме: 
(6). Если 
, тогда (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно. 
. Выберем два числа 
. Существует номер N такой, что для всех номеров 
будет выполняться неравенство: 
(7). Умножим , тогда: 
(8) 
(9). Итак, пусть ряд (2) сходится, тогда сходится его N-ный остаток, значит сходится и ряд вида 
. В силу неравенства (9) следует, что по Т2, что будет сходиться и N-ный остаток ряда (1), а значит сходится и сам ряд (1). Пусть (2) расходится => N-ный остаток значит тоже расходится и ряд вида: 
=> будет расходиться N-ый остаток ряда (1), а значит и сам ряд (1) расходится. Замечание: признак сходимости в предельной форме обычно применяют в случае, когда N член ряда (1) имеет 
. В качестве ряда сравнения (2) берется такой ряд: 
|
|
7. Признак Даламбера (в непредельной и предельной формах)
: Рассмотрим два ряда с положительными членами: (1) (2). Лемма: Если при всех 
выполняется 
(3). Тогда: 1) если (2) расходится, то (1) тоже, 2) если (1) расходится, то (2) тоже. Доказательство: запишем (3) для различных n, начиная с n=1. 
, 
, 
, 
, 
, 
. Если (2) сходится, тогда и сходится 
=>(1) сходится. Признак Даламбера в предельной форме: 1)Если при всех выполняются неравенства 
(5), то ряд (1) сходится. Теорема: Если при всех выполняются неравенства 
(6), то ряд (1) расходится. Доказательство 1: Рассмотрим геометрическую прогрессию вида: 
(7) 
. 
, (8). Т.к. ряд (7) сходящийся и выполнено (8), то по Лемме, ряд (1) – сходящийся. Док-во 2: 
(9), 
– расходящийся. , 
, 
(10). На основании Леммы – ряд расходящийся. Теорема: пусть существует предел 
. 1)Если 
-сходящийся, 2)Если 
-расходящийся, 3)Если 
теорема ничего не утверждает. Док-во: 1) 
. Выберем q так, чтобы q: 
. Существует N, . 
(11). На основании Т1 оттуда следует, что n-ый остаток ряда (1) сходится. 2) q: 
Существует номер N, такой, что для всех номеров, начиная с него 
по Т1. N-ый остаток ряда (1) расходится.
8. Интегральный признак Коши. Сходимость обобщенно гармонических рядов.
Рассмотрим ряд с положительными членами: 
(1). Предположим дополнительно, что члены ряда (1) убывают с ростом номера. , 
(2). Определение: функцией Коши, соответствующей ряду (1) называется числовая функция вещественной переменной x f(x), которая определена для 
и обладает следующими свойствами: 1) f(x) – непрерывна 2)f(x) –убывает 3) 
. Теорема: Пусть функция f(x) – функция Коши ряда (1), тогда сходимость ряда (1) эквивалентна сходимости несобственного интеграла. Сх-ть (1) 
(3). 
. 
– площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(x) с основанием от 1 до n. 
(4). 
, 
. 
, 
(5), 
(6), 
(7). Пусть (1) сходится, значит существует 
. Существует 
–число =>сходящийся. Пусть (1) –расходящийся, значит 
, 
-расходящийся. Гармонический ряд: 
, 
– гармонический ряд. Ряд расходящийся, если 
, сходящийся, если 
.
|
|
9. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.
Это ряд вида 
(1) . Теорема: признак сходимости: пусть выполнены два условия: 1)Члены ряда (1) убывают по абсолютной величине с ростом номера. 2) 
. Тогда ряд (1) сходится. Док-во: обозначим – n-ая частичная сумма ряда (1). 
– частичная сумма с учетом номера. 
, 
, 
. 1) 
2)Покажем, что эти частичные суммы уменьшаются с ростом номера: 
, 
, 
. Существует предел: 
, 
, 
=> Если – ряд расходящийся. Если 
=> (1) – расходящийся.
10. Сходимость ряда при условии сходимости ряда абсолютных величин его членов. Абсолютно и не абсолютно сходящиеся ряды. Основные свойства абсолютно сходящихся рядов.
(1) не делая никаких предположений относительно знаков его членов. Такой ряд называется знакопеременным рядом. Рассмотрим 
(2) – с положительными членами. 
. Лемма: пусть n-вещественное число, тогда: 1) Если взять абсолютную величину числа, добавить или вычесть его, разделить на 2, будет 
. 
(3). 2) 
(4). Теорема: Если (2) сходится, то (1) тоже сходится. Рассмотрим 2 вспомогательных ряда: 
(5) 
(6). На основании леммы 
, значит, ряды (5) и (6) с неотрицательными членами. На основании той же леммы 
. То есть, члены рядов (5) и (6) не превосходят членов ряда (2). Т.к. ряд (2) – сходящийся, то по признаку сравнения рядов с положительными членам, ряды (5) и (6) тоже сходящиеся. Сходящиеся ряды можно почленно вычитать, при этом получится снова сходящийся ряд (5)-(6). Ряд (1) – сходящийся. Утверждение, обратное теореме неверно, из сходимости ряда (1) не следует сходимость ряда (2). При исследовании сходимости рядов (1) и (2) возможны следующие случаи: 1) Ряд (2) сходящийся, тогда по Теореме ряд (1) тоже сходится. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся. 2)Ряд (2) – расходящийся, а ряд (1) – сходящийся. Ряд (1) называется не абсолютно (условно) сходящимся. 3) Ряд (1) –расх. ((2)-расх.). Свойства абсолютно сходящихся рядов: 1)пусть ряд (1) – абсолютно сходящийся и имеет сумму S, тогда в таком ряде можно произвольным образом менять порядок следования слагаемых, при этом полученный ряд снова будет абсолютно сходящийся и имеет сумму S. 2) Пусть ряд (1) абсолютно сходящийся и имеет сумму S. И имеется еще один абсолютно сходящийся ряд 
и имеет сумму T. Тогда при почленном перемножении рядов (1) и (7) получится абсолютно сходящийся ряд с суммой =S*T. 
. Теорема Римана: пусть ряд (1) – условно сходящийся, тогда: 1)за счет перестановки членов ряда (1) можно получить либо ряд расходящийся, либо ряд сходящийся, но сумма которого не равна сумме исходного ряда. 2) Существует два условно сходящихся ряда (1) и (7), для которого их почленное произведение окажется либо расходящимся рядом, либо сходящимся, но суммой, не равной S*T. Если в ряде (1) все , то 
, то есть ряд (2) = (1) и для таких рядов понятие сходимости совпадает с понятием абсолютной сходимости.
|
|
|
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!