Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-06-19 | 438 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
В исправленном методе Эйлера усреднялись наклоны касательных.
Можно пойти по другому пути и усреднять точки в следующем смысле.
На рис. 6.3 первоначальное построение проведено, как и прежде на рис. 6.2. (Прямая L1 с тангенсом угла наклона f (xm,ym)).
Однако теперь берем точку, лежащую на пересечении L1 и ординаты x = xm+ h/2 (точка Р).
Рис. 6.3. Геометрическое представление модифицированного метода Эйлера |
Найдем тангенс угла наклона касательной в точке P
(6.19) |
где
.
Уравнение прямой L0 можно записать в виде
y = ym + (x – xm) Ф (xm, ym, h),
где Ф задается формулой (6.19).
Поэтому можем записать
ym+1 = ym + hФ (xm, ym, h). | (6.20) |
Соотношения (6.19) – (6.20) описывают модифицированный метод Эйлера. Иногда его называют исправленным методом ломаных.
Этот метод тоже согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени h2, поэтому он тоже является методом Рунге–Кутты второго порядка.
Cравнение обоих рассмотренных методов
Оба метода описываются формулами вида
ym+1 = ym + hФ (xm, ym, h). | (6.21) |
В обоих случаях Ф имеет вид
где = f (xm,ym).
В частности, для исправленного метода Эйлера
a1 = a2 = 1/2; b1 = b2 = 1.
Для модифицированного метода Эйлера
a1 = 0; a2 = 1; b1 = b2 = 1/2.
Можно показать, что методы объединяются, если положить для обоих методов
a2 = w¹ 0; a1 = 1 – w; b1 = b2 = 1/ (2w).
Ошибка ограничения равна eT = Kh3.
Было показано, что наименьший верхний предел | K | достигается при w = 2/3.
Методы Рунге–Кутты
Рассмотрим метод Рунге–Кутты четвертого порядка – один из самых употребительных методов интегрирования дифференциальных уравнений.
Этот метод применяется настолько широко, что в литературе его часто называют «методом Рунге–Кутты» без всяких указаний на тип или порядок.
|
Итак, дано
(6.22) |
с начальным условием Нужно найти решение уравнения (6.22) на отрезке [ a, b ].
Выбираем малый шаг h и на отрезке [ a, b ] строим систему равноотстоящих точек
.
Этот классический метод Рунге – Кутты описывается системой следующих пяти соотношений:
(6.23) |
Этому процессу можно дать геометрическую интерпретацию (рис. 6.4).
В точке (хi, уi)вычисляется тангенс угла наклона k1; используя его, мы идем на половину шага вперед и находим тангенс угла наклона здесь.
Используя новый тангенс угла наклона k2, мы опять начинаем из (хi, уi), идем вперед на половину шага и опять берем пробу тангенса угла наклона.
Взяв этот последний тангенс угла наклона k3, мы опять начинаем из (хi, уi), но делаем теперь полный шаг вперед, где смотрим тангенс угла наклона k4.
Четыре тангенса углов наклона усредняем с весами 1/6, 2/6, 2/6, 1/6 и, беря этот средний тангенс угла наклона, делаем окончательный шаг от (хi, уi)к (хi+1, уi+1).
Рис. 6.4. Иллюстрация к методу Рунге–Кутты 4-го порядка |
Ошибка ограничения для этого метода равна eT = Kh5, так что формулы (6.23) описывают метод четвертого порядка.
При использовании этого метода функцию необходимо вычислять четыре раза.
Можно показать, что классическая формула Рунге–Кутты оказывается обобщением формулы Симпсона для интегрирования функции одной переменной, причем обобщение состоит в том, что формула не ограничена теперь функциями только от х.
Пример
= y; y (0) = 1.
Для этого уравнения из (6.23) получаем
В результате получаем для yi+1
Сумма в скобках представляет собой теперь пять первых членов разложения функции eh в ряд Тейлора.
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!