История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-06-04 | 420 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Аналитический подход к задаче определения локальных и глобальных минимумов состоит в использовании методов математического анализа для поиска уравнений, которым должны удовлетворять эти точки, и для решения этих уравнений.
Из рисунка 1 видно, что в точках и касательная к графику функции будет параллельна оси OX, а это означает, что производная функции в этих точках будет равна нулю. Следовательно, и будут решениями уравнения .
Однако это же справедливо и для точки максимума , и для точки перегиба . Таким образом, найденное уравнение является необходимым условием минимума, но не является достаточным.
В точках и производная меняет знак с отрицательного на положительный, в - с положительного на отрицательный, в точке производная знак не меняет. Следовательно, в точке минимума производная является возрастающей функцией. Степень же возрастания измеряется второй производной, то есть в нашем случае , , . Однако если , то ситуация остается неопределенной.
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие существования экстремума функций одной переменной).
Если функция и ее производные непрерывны, то точка является точкой экстремума (максимума или минимума) тогда и только тогда, когда порядок ее первой, не обращающейся в ноль в точке производной есть четное число. При этом, если , то - точка максимума, если , то - точка минимума.
Таким образом, при классическом подходе для поиска минимума функции одной переменной необходимо решить уравнение и установить знак в полученных точках. Аналитическое решение такого уравнения в общем случае невозможно, поэтому используются методы приближенного решения уравнения , известные из математического анализа (методы Ньютона, бисекций, и т.д.).
|
Рассмотрим функцию действительных переменных. Введем матричные обозначения для точки в n-мерном пространстве, градиента (вектора частных производных первого порядка функции f) и гессиана (матрицы частных производных второго порядка):
- точка в n-мерном пространстве,
- градиент,
- гессиан (матрица Гессе).
- элемент - частная производная второго порядка.
Напомним, что - симметрическая матрица.
Предполагая непрерывность и всех ее частных производных, можно обобщить классический подход на случай n³2.
Достаточное условие минимума:
- положительно определена.
Достаточное условие максимума:
- отрицательно определена.
По критерию Сильвестра, если D1>0, D2= >0, …, Dn>0 – Матрица положительно определена; если D1<0, D2>0, D3<0,… – Матрица отрицательно определена;
Пример:
, тогда
положительно определена при любом Х, поэтому точка (2, 4, 6) является точкой локального минимума, а так как это единственная стационарная точка, то она же является и точкой глобального минимума.
Таким образом, для решения задачи оптимизации классическим методом необходимо решить систему уравнений , что невозможно сделать аналитически за исключением очень узкого класса таких систем (например, система линейных уравнений невысокого порядка). Затем придется еще устанавливать определенность гессиана, что тоже является совсем нетривиальной задачей в случае больших размерностей. Все это приводит к необходимости разрабатывать итерационные процедуры решения задач оптимизации.
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!