Основные свойства средней арифметической

1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной.

2. Если каждую варианту увеличить или уменьшить на одно и то же постоянное число, то новая средняя увеличится или уменьшится на это же число.

3. Если каждую варианту умножить или разделить на одно и то же постоянное число, то новая средняя увеличится или уменьшится во столько же раз.

4. Сумма всех отклонений вариантов от средней (как простой, так и взвешенной) всегда равна нулю:

и , (5.5)

5. Сумма всех квадратов отклонений вариантов от средней (как простой так и взвешенной) всегда меньше суммы квадратов отклонений от любой другой произвольной величины:

, (5.6)

6. Если все частоты разделить (умножить) на одно и то же постоянное число, средняя от этого не изменится.

7. Средняя многочлена равна многочлену средних:

(5.7)

Средняя гармоническая применяется при обобщении обратных значениях изучаемого явления.

Прямые значения признака - такие значения, которые увеличиваются при увеличении определяющего показателя и характеризуемых ими явлений и уменьшаются при уменьшении.

Обратные значения признака - такие значения, которые увеличиваются при уменьшении определяющего показателя и характеризуемых ими явлений и уменьшаются при увеличении.

Средняя гармоническая простая:

, (5.8)

Средняя гармоническая взвешенная:

, (5.9)

Средняя квадратическая простая:

, (5.10)

Средняя квадратическая взвешенная:

, (5.11)

Средняя кубическая простая:

, (5.12)

Средняя квадратическая взвешенная:

. (5.13)

Средняя геометрическая:

 

, , (5.14)

где – число значений признака;

– знак перемножения;

– варианта признака.

Мода – наиболее часто встречающееся значение признака в исследуемой совокупности.

Медианой называется такое значение признака, которое стоит в середине ряда вариант расположенных по порядку возрастания или убывания (ранжированный ряд). Медиана делит ранжированный ряд пополам, в результате чего у половины единиц совокупности значение признака меньше медианы, а у половины больше медианы.

Мода в дискретном вариационном ряду определяется частотой появления той или иной величины варианты, варианта с наибольшей частотой – мода.

Мода в вариационном интервальном ряду рассчитывается по формуле:

, (5.15)

где - минимальная граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- частота интервала предшествующая модальному интервалу;

- частота следующего за модальным интервалом;

- частота модального интервала.

Модальный интервал - это интервал, содержащий моду (имеющий наибольшую частоту).

Медиана в дискретном вариационном ряду рассчитывается в зависимости от того, четное или нечетное количество элементов содержит ряд.

При нечетном количестве единиц определяется номер варианты , которому соответствует медиана:

, (5.16)

При четном количестве единиц:

, (5.17)

Медиана в интервальном вариационном ряду рассчитывается по формуле:

, (5.18)

где - начальное значение медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- сумма частот ряда;

- сумма накопленных частот, всех интервалов, предшествующих медианному;

– частота медианного интервала.

Медианный интервал это интервал, кумулятивная (накопленная) частота которого равна или превышает половину суммы частот.

Квартиль делит ряд на четыре одинаковые части. Второй квартиль равен медиане. Расчет первого и третьего осуществляется по формулам:

, (5.19)

Вместо медианного интервала при расчете берется интервал, в котором находится варианта, отсекающая ¼ численности частот:

, (5.20)

Вместо медианного интервала при расчете берется интервал, в котором находится варианта, отсекающая ¾ численности частот.

Дециль делит ранжированный ряд на 10 равных частей.

1.5.2 Показатели вариации

Вариация – это изменение величины признака у элементов изучаемой совокупности.

Меры вариации – это меры, с помощью которых в статистике измеряют изменчивость величины изучаемого признака единиц совокупности.

Меры вариации должны соответствовать определенным условиям, для того чтобы отражать лишь изменение вариации:

1. Значение меры вариации должно быть небольшим в том случае, если элементы исследуемого ряда не имеют больших различий, и, наоборот, значение меры вариации должно быть большим, если элементы ряда имеют существенные отличия друг от друга.

2. Значение меры вариации не должно зависеть от числа элементов ряда, то есть от численности исследуемой совокупности.

3. Значение меры вариации не должно зависеть от значения средней, то есть величина средней не должна оказывать влияние на меру вариации.

4. Мера вариации должна быть выражена одним числом.

Размах вариации – разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности:

, (5.21)

Средний модуль отклонений:

, (5.22)

Общая сумма квадратов отклонений единиц совокупности от средней величины:

, (5.23)

Средний квадрат отклонений (дисперсия) показывает, на сколько в среднем квадратов отклонений каждый элемент совокупности отличается от среднего значения.

– простая дисперсия, (5.25)

– взвешенная дисперсия, (5.26)

Также используют следующие формулы расчета дисперсии:

, (5.27)

, (5.28)

, (5.29)

, (5.30)

Среднее квадратическое отклонение, или стандартное отклонение, показывает, на сколько единиц в среднем каждый элемент совокупности отличается от среднего значения.

– простое, (5.31)

 

– взвешенное, (5.32)

Коэффициент вариации:

, или , (5.33)

Основные свойства дисперсии

1. Если из каждого значения варианты отнять (прибавить) одно и то же постоянное число А, то средний квадрат отклонений от этого не изменится:

, (5.34)

Отсюда следует, что дисперсию можно рассчитать не только по заданным вариантам, но и по отклонениям этих вариант от какого-то постоянного числа:

, (5.35)

2. Если каждое значение вариант разделить или умножить на одно и то же постоянное число А, то дисперсия уменьшится (увеличится) от этого в А² раз, а стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение) – в А раз:

, (5.36)

Отсюда следует, что все варианты можно разделить на какое-то одно и то же постоянное число (например, интервал ряда), рассчитать среднее квадратическое отклонение, а затем умножить его на это постоянное число:

, (5.37)

3. Средний квадрат отклонений, рассчитанный от средней величины, всегда будет меньше среднего квадрата отклонений, рассчитанного от любой другой величины А (свойство минимизации): , причем больше на квадрат разности между средней и этой величиной А, т.е. на . Данное правило можно записать как:

или (5.38)