Разрежьте какой-нибудь пятиугольник на 2019 равных треугольников.

Решение 1: Возьмём прямоугольник 2´505, разрежем каждую клетку по диагонали, а у одной угловой клетки отрежем один такой треугольник. Тогда получим пятиугольник, разрезанный на 2∙505∙2–1=2019 равных прямоугольных треугольников – половинок клетки (см. рис.1).

Комментарий: Аналогичное решение пройдёт и для прямоугольника 101 ´ 10. Кроме того, участниками олимпиады были предложены ещё две интересные конструкции, дающие невыпуклый пятиугольник.

Решение 2: Возьмём прямоугольник 1´1009, разрежем каждую клетку по диагонали, и надстроим на краю ещё 1 треугольник, равный половине клетки, так, чтобы получился невыпуклый пятиугольник (см. рис.2), разрезанный на 2∙1009+1=2019 равных треугольников.

Решение 3: Возьмём прямоугольник 1´505, разрежем каждую клетку двумя диагонали на 4 равные части-треугольники, потом один треугольник, примыкающий гипотенузой к стороне длины 1, отрежем так, чтобы получился невыпуклый пятиугольник (см. рис.3), разрезанный на 4∙505–1=2019 равных треугольников.

Комментарий: По сути своей эта задача стала задачей на деление с остатком, где в зависимости от формулы и появляется своей алгоритм создания пятиугольника.

4. Новая шахматная фигура курсор бьёт все клетки квадрата 2 ´ 2, в одном углу которого курсор находится, задавая направление (см. рис. – всего 4 вида курсоров). Разместите как можно больше курсоров на шахматной доске так, чтобы никто никого не бил.

Решение: Пример на 36 курсоров методом пропеллера см. на рис.

Комментарий: Естественно, формулировка задачи подразумевает, что доказывать оценку не надо. Является интересной сама задача о том, действительно ли 36 курсоров – максимум. Предлагаем её решить.

5. Женя Восьмёркин изучал натуральные числа, у которых суммы цифр не делятся на 8, назвав их любимыми. Какое наибольшее количество идущих подряд любимых чисел может быть?

Ответ: 14. Пример: 9999993, …, 10000006.   Доказательство оценки: В каждом десятке (10 чисел, идущих от оканчивающегося на 0 до числа, оканчивающегося на 9) может быть максимум 7 чисел идущих подряд, у которых суммы цифр не делятся на 7, т.к. их суммы цифр возрастают на 1 с увеличением числа на 1, а среди 8 подряд идущих натуральных чисел ровно одно делится на 8. Значит, у нас могут быть числа максимум из двух десятков, т.к. при числах из трёх десятков мы захватит сразу целый десяток (второй). Следовательно, у нас не более 2∙7=14 подряд идущих чисел.

Комментарий: Классическая ситуация, где предлагается разобраться с изменением суммы цифр при переходе в разрядах. Интересной является обобщение этой задачи для любого натурального n. Предлагаем её решить в общем виде. Вас явно ждут неожиданные открытия: J.

Вывод: Вариант нынешней олимпиады сделан полностью по современным требованиям к олимпиадам высокого уровня.

1. Задачи идут по возрастанию сложности.

2. Задачи должны быть разнообразны по тематике.

3. Часть задач должна быть близка по тематике к школьным, причём с некоторым запасом тем вперёд, чтобы участники олимпиад интересовались заранее математическим школьным материалом.

4. Задачи должны иметь короткие красивые решения, но при этом у некоторых задач должны быть ещё какие-то другие, пусть не самые красивые, решения, например, методами подбора и перебора, как в задачах №5 для 7-го класса и №2 для 6-го класса. Тем ценнее становятся сами задачи и со спортивной, и с эстетической, и с методической сторон.

5. К олимпиадам надо готовиться, в том числе прорешав задачи прошлых лет соответствующей олимпиады, чтобы осознавать её уровень!