То Мотт ris Хопкинс U ni дрожжи t,y Пресс - центр является сотрудничество с JSTOR to оцифровка , сохранять и

То Мотт ris Хопкинс U ni дрожжи t,y Пресс - центр является сотрудничество с JSTOR to оцифровка, сохранять и

расширять доступ Для A Мексиканская для / анального секса o/‘ Матема t1es

Этот Содержание загруженный От 91.214.52.143 на Сб, 21 Авг 2021 16:15:24 UTC

Все использовать предмет Для https:'/about.jstor.org/terms

he he Groizp-Wemberahzp o;/ T+'z"g tz иар - зафрис.

Br АРТУР АНУаф.

НТРОДУ УЛЫБНУЛСЯ.

IT является хорошо известно *, что совокупность неособых матриц (линейных homo- генетические замены с неисчезающими детерминантами) сформируйте группу под руководством обычный закон композиции или умножения. Это не было так вообще recog- доказано, что существуют множества сингулярных матриц (линейных подстановок с нулем детерминанты), который тоже форма Группы $ под то такой же закон от композиция. Для

например, набор от двоичный матрицы от то форма (q в), а 0, очевидно форма a Группа от который ($ * является то идентичный матрица.

Однако не все сингулярные матрицы принадлежат группам; например, (1

Не принадлежит ни к какой группе. IT поэтому становится интересным определять является ли данное матрица принадлежит к какой - либо группе или нет; если она принадлежит, то найти природа самой большой группы, к которой она принадлежит; и если она не принадлежит в любую группу, показывать что всегда существует определенное простое отношение между IT и a однозначно определяемый Группа.

В короткий, мы желание Для делать полный классификация от ВСЕ а - ари матрицы как Для их членство в группе и точный отношение к группам. IT также будет нашел что мы будем естественно быть привело к определенным случайный Результаты на то корни от a матрица.

* Вебера &fpobro, Том. II, И издание (1899), $ 41, p. 168.

{ В этой статье слово Группа будет наед в общем - то скептически настроенных энеях, а не в широком смысле недавно дано к нему Автор: F робениус и флхур вошли то Berliner 5 илзу rigzberiehte 1906, I, стр. то?!omplee Рендуа, 1906, Том. CXLIII, p. 670. F робениуа конец Schur в их Другие папера нанимает на работу это слово в его обычный аенсе.

19

P*RT. ЧЛЕНЫ ГРУППЫ

Определения и Предварительный Понятия.

1. Через в этой статье элементы матриц будут неограниченными действительные или комплексные числа, принадлежащие, следовательно, к непрерывной области. То число строк или столбцов матрицы будем называть ее степенью. Как обычно, матрица будет называться дорогой r, если IT содержит около наименьший один r- рядный минор определитель тот делает нет пропадать, пока ВСЕ его r -[- 1- рядный незначительный детерминанты пропадать. Следующий Сильвестр, кактус * из а матрица будет будьте определенны как то номер от sero корни его характеристического уравнения. Несинусоидальная матрица степень n является следовательно от пустота 0 и ранга n, в то время как сингулярный matFlX IB пустота e 0 и из i ank r Матрица sero (элементами которой являются все sero) будет обозначаться символом 0q, где n - его степень. Матрица другая от серо, как говорят, нильполент, если одна из его сил равна силе серо. Ноль - мощные матрицы являются известный быть именно теми, чья пустота равна их степень и ранг которого > 0. 'f. единичная матрица степени n будет обозначаться Автор: то символ Vq.

Две матрицы if и 3f a.re aaid to be.siini/or, если существует неособое

матрица I такая, что А *¹ fJ m I. говорят, что фи преобразование М в f. В aame way два набора матриц S и 6' подобны, если существует неособое матриа, которая преобразует все матрицы S в матрицы d. Набор матриц fi называется полностью приводимым или просто reduci6/e,,$, если существует аналогичное ает " С ', ВСЕ от чья матрицы являются от то форма

Где символы 3fq и Я стоять для компонент матрицы степеней а и 6 соответственно, и элементы оставшийся прямоугольные матрицы все ноль. Символически, мы мочь писать

^{G @ypjjq} OA2T ^{Джокитнал Или MzTazuaâq ос , Том . YI (1884), p. 078.}

Определитель от Я, который мы должен вызов пустота начальный делители, быть обозначается

b, ^{скамья per$} где e e, > e;q, (* 1,...., r — l) один d _{° +- -- -}

+ •• = •.

То n (e, eg....e,} is the характеристика c от the component matrix N. фо r M

Мочь быть выбранный в такой a путь тот

N

Где

z,

От степень e, (i 1,., а). (3)

Когда тиа сделано, N, как говорят, находится в своем каноническая, форма. Когда не - сингулярное компонент Aq также выбирается в ita соответствующей канонической форме, 3f в указанной быть канонической формой Я. Так как неприводимая нильпотентная составляющая A, (i ==1,....,s) является очевидно от ранг e; —1, IT следует тот &, и следовательно 3f',

То Банк o/ a Группа.

4. ^{ЛЕММА i Все то matrice} c ^{o,f a Группа иметь то пришел ранг .}

Ибо если A ранга n и & ранга I" - любые две матрицы группы, то матрицы N и N ¹ можно найти, что удовлетворяют уравнениям & &N и B B C!; и так как ранг произведения двух матриц равен или меньше, чем ранг любого из факторов, то фират этих уравнений показывает, что a < 6, а второй ахов, что 6 n; следовательно, a 6.

Если матрица принадлежит для группы каждая подобная матрица принадлежит к аналогичному Группа, и если матрица не принадлежит группе, никакая подобная матрица ’ не может принадлежать к группе. Теперь, поскольку каждая матрица подобна матрице вида (1), который, как мы видели, является членом группы, если компонент K, ia ноль, и еще не являющийся членом группы, если N, является нильпотентный, следовательно мы иметь доказанный то

T£tEOREM: & необходимый и достаточно состояние для то членство в группе o/ o ма / риз (o/ рисковать r и ожирение в) является его стмилорий Для a матрица o/ то /orm

(6)

Из доказательства этой теоремы очевидно, что все различные степени матрицы имеют одну и ту же пустоту, но не обязательно один и тот же ранг; все они имеют один и тот же ранг, если и только если матрица является членом группы.

6. От этот теорема, в поле зрения от то принципы элементарных делители и из канонических формы как установленный в § 2, мы легко выводить несколько ^{charactOTtSbJ}_{*5!** Р} ^?TfJ?S от члены группы Любой один от который отличает их От ВСЕ негрупповые - Участники. С ВСЕ неособое число матрицы являются члены группы, IT будет быть con-

Идемпотенль фафрисия.

6. Теперь рассмотрим идентичную матрицу любой группы. Это удовлетворяет кон - dition /° m и поэтому idemgofenf, наоборот, каждая идемпотентная матрица является идентичной матрицей некоторой группы. Каждая такая матрица, по теореме из § 6, аналогично матрице вида (6), которая в данном конкретном случае становится матрица (6). Соответственно, корни его характеристического уравнения равны одному или серо, и не только пустая элементарность делители его характеристики определитель, но все элементарные делители линейны. Так как последняя афера - диция является тоже су 8., мы иметь доказанный то

'I'Heoreaf: A matri; с Z Соф ранг r и racuit y o) является то iden!ic"il matrim от a

G, 0

0 0

Периодические Матрицы.

6. Снова, предполагать тот a матрица если принадлежит Для группа от конечный приказ N; затем IT мочь быть высказанный от как o/ Совсем период, или просто как периодические. Если m является его период и является то идентичный матрица от C, затем Я и f'^ +¹ N. Con- версели, любая матрица тот удовлетворяет уравнению из форма f^+* 3f является периодическим; ибо с тех пор как полномочия if включать один идентичная матрица 3f‘ и обратная величина M, именно 3f'^ ¹, они форма a Группа.

Если в теореме § 6 матрица (6) in периода ni, то m @,;

24

N является сказал Для быть a кононико / / орм. от то Группа. В Другие слова, a набор от матрицы будет форма a Группа, если, и Только если, IT является Похожие Для a набор от матрицы от то форма (6), в который то неособые Компоненты Я, сами форма a Группа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 1: Ав 6 ри QT' Ом @ OJ f*flQufar милливольт Цены является приводимый Для n Группа o/

неособое число malrie.•s, каждый от который является граничит u:ith герои.

Целый Группы.

Любой группа матриц, которая не является подгруппой большей группы, будет называться ан весь ирокси. Таким образом, целая группа является самой большой группой С, к которой любая из его матриц 3f принадлежит. Любая другая группа, к которой N принадлежит - это подгруппа Н. Поскольку никакие две целые группы не могут иметь общих матриц, IT следует тот каждый член группы принадлежит одному и только одному весь Группа. Grotip- члены мочь следовательно быть однозначно По рубрикам, во - первых, в соответствии с их ранги, и второй в соответствии Для то весь Группы Для который они принадлежать.

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

_, 0 0 1 0 0 0 0

0 00

0 0 0 1

0 0 0 0 ^G 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

и все чем выше полномочия A, равны до 0 Поэтому самый низкий значение r для который если является a член группы является то крупнейший один от то целые числа ^e_{i ›, •.,} именно e,. Тот является, если p является tbe группа - индекс от 3f, затем p _{= °i} - это Результат

также хольда для сингулярных членов группы; ибо в их случае p m ^e_{i =} e, m 1.

Группа - индекс о матрице v может иметь любое значение от единицы до е включительно, но большего быть не может чем r; тот является, его максимальное значение равно v. Точно так же и максимальный ценность от то группа - индекс от a матрица от степень n является n.

Соответственно, cth степени всех матриц пустоты I" являются членами группы, и группы, к которым они принадлежат ранг н — в. Cth полномочия из всех матрицы что угодно от степень n являются члены группы.

Если группа - индекс от не являющийся членом группы M равно к своей пустоте е, затем там является просто один пустота начальный делитель R* (r > 1) и N является похоже на a матрица имеющий просто один неприводимый нильпотентный компонент; и наоборот.

6. Крайний случай, в котором v m n - это случай нильпотентных матриц и то матрица sero. То группа - индекс p нильпотента матрица очевидно, это показатель степени наименьшей мощности к которому он должен быть поднятым в порядке чтобы дать матрица серо. Если p имеет максимальное значение a, то существует только один элементарный делитель R^ и матрица неприводима. Наоборот, если сингулярная матрица степень n неприводима, она должна быть нильпотентной и его групповой индекс должен иметь максимальный ценность n.

6. Обращаясь снова к § 2, мы видим, что каждый негрупповой член степени n, пустота c, ранг r и групповой индекс p подобны канонической матрице, имеющей n — r неустранимые нильпотентные компоненты, сумма степеней которых равна c, при этом по крайней мере один от их является от степень p и то степени от ВСЕ то остальное являются более того, если каноническая матрица имеет одну неособую компоненту степени n — c, который мочь, или мочь нет, быть дальнейший сводимый.

То ранг r единственного числа rriatrix 3f of vacuity v может очевидно иметь Любой положительный составной значение от n — c (когда H- член группы) до n — 1 (когда ita группа - индекс p Имеет то maaimum ценность v).

Если r n — e - Джей - 1, затем _{° = °. °› =} ... == e, m 1, и q m 2. следовательно если

Ascoiated Матрицы.

18. Два матрицы _** и _{>' •} ^{больной} быть s:rid Для быть связанный если там существует a неособые матрица Я что трансформирует их в

, (10)

соответственно, где Jq не является сингулярным (если o > 0), а Kq и N(являются нильпотентными или sero. Если пустота от матрица равна нулю или единице, она не имеет связанных матриц кроме того сам. С другой стороны, если пустота жизни матрица > 1, она имеет бесконечный номер от партнеры, который мочь быть сказал Для форма a набор от асоциирует.

В каждый набор от партнеры просто один матрица, то один для который N, m 0,, является a член группы, и ВСЕ то остальное являются не - члены группы. Таким образом каждый Группа - Участник от пустота >1 имеет бесконечное номер связанных не - грой: п - члены. Два набора партнеры мочь называться подобными, если существует неособая матрия тот трансформирует один в то Другие; то выше набор если, если...,.... мочь быть

называемый a канонический форма от то Похожие набор ⁾_{> › >-'› 1-}

31

Исеты от Партнеры.

O2. 'JilEOREât: Если l - тф lO наборы ассоциатов S и бсл! есть м " итрикс М "! в комме, они съел идентичный.

Доказательство. Tn то Первый место " С и " С ' очевидно должен быть похожие наборы; там не будет никакой потери общности рассматривая один из них, $', быть в его каноническом форма. То неособые матрица A тот трансформирует А ' в fi будет преобразовать то Обычный матрица если... в некоторые матрица если из 6. Предполагать если и если " к быть подаренный Автор: уравнения (10) и позволять Aq

Затем с М! L L H, мы видеть тот A должен удовлетворять то уравнения

Из (b) и (c), с учетом теоремы Фробениуса,* мы видим, что B == 0, и 6' 0, и, следовательно, что

из (a) мы видим, что &q коммутативна с Jg, и поэтому I (а также L ^l) преобразует множество f в себя. Но ¹ преобразует S обратно в "S'; следовательно, два сета "S и S' идентичны.

Псевдогруппы.

23. Матрицы целой группы пустоты >> 1 вместе со всеми связанными с ними негрупповыми членами образуют набор матриц, который мы будем называть псевдогруппой, связанной с данной целой группой. следовательно ^{, псевдогруппа в состоит из множеств ассоциатов . Si} n^{ce два различных набора} ассоциатов не могут иметь общую матрицу, и так как saine верно для двух различных групп en fire, следовательно, аналогично, две различные псевдогруппы не могут иметь общую матрицу. Другими словами, псевдогруппы - это m полностью исключающих множеств матриц. Соответственно, каждая матрица пустоты > 1 принадлежит > одному, и только одному, точно так же, как каждая матрица пустоты единица или ноль принадлежит одной и только одной целой группе.

* C'ref/e's Jourtiai, Vol. LX WXIY (1878), с. 8S, XI. То теорема является по крайней мере только для матрицы aquare (билинейный формы;, но мочь быть немедленно extende d Для покрытие случай, в котором & и U, здесь aa, являются прямоугольный матрицы.

Поскольку все целые группы одной и той же пустоты подобны, следовательно, все псевдо - группы одной и той же пустоты подобны. Каноническая форма каждого псевдо - Группа от пустота v и степень u -J- c мочь быть написанный

(11)

где Uq (если u > 0) обозначает группу неособых матриц степени u, а W обозначает совокупность нильпотентных матриц степени r плюс rriatrix 0. Нильпотентные матрицы степени n все они связаны с нулевой матрицей, а с IT сформируйте Только псевдогруппа от пустота n.

Со времен гротипа Nq, из (11), включает в себя u' параметры, пока в множество H, r' элементы каждого из них матрица связаны Только по e independent отношения полученный От то исчезающий от то корни от его характеристика уравнение, следовательно каждый псевдогруппа степени n и vaeuity» ИС непрерывный набор от матрицы депеттинг на (ii — e)° -}- e' — v параметры.

Позволь теперь рассмотрим распределение степени и корни матрицы внутри то псевдогруппа Для который то матрица принадлежит. В первое место, если a псевдогруппа P является от пустота v, тогда Cth степень каждой из его матриц принадлежит Для то весь Группа с Что именно является связанный.

Более того, если в формуле (10) § 21 групповые индексы H и Я а потом

^* (^’)*' (o* 0,)

который мы можем назвать Z. Соответственно, если мы выберем из множества ассоциатов те матрицы чья групповые индексы являются ли их Cth pov•erg должен ВСЕ быть равный Для один другой и Для то Cth сила, A, от их связанный член группы. Следовательно,

R являются

Являются

ВСЕ v Ихх корни один и то такой же группа - м, эмбер, если v > e.

Найти все Cth- корни любого данного члена группы I пустоты v, поэтому мы можем действовать следующим образом: Фират Найти ВСЕ то r- й корень I тот являются содержится во всей группе N, к которой принадлежит fi. Такие корни существуют для ВСЕ положительный составной valuea от то Указатель r. Если c является один или ноль, эти являются то

V

Заданный индекс v

Й корень,

Если в (12) t" фиксировано и p имеет минимальное значение 2, то из этого следует, что

максимальный доблесть конечно < r. Следовательно, a негрупповые члены мочь нет иметь Любой Крыши

Пример. Gonsider троичный нильпотентный матрицы (n r m 3), который иметь то

две канонические формы:

0 1 0 0 1 0

&, o o o (p 2), и B 0 0 1 (ju 3).

0 0 0 0 0 0

0 0 1

& Имеет квадратная рута, e. y. 0 0 0, но НЕТ корни от выше Указатель чем два;

0 1 0

на то Другие рука, & Имеет НЕТ корни что угодно.

P3R'£ IJ• ILLUSTRA ТИОНС И ПРИЛОЖЕНИЯ.

Серый "hical Повторения экстаз.

24. Для того чтобы придать конкретность этому отношению между то полномочия а негрупповой член 3f индекса группы p и полномочия связанной с ним группы - Участник Я, мы мочь представлять их Автор: Очки на два сходящиеся линии, туа:

Фи И Л т?

35

То Очки на то Гетеро линия представлять то матрицы от то Группа U сгенерированный Автор: Z, в который Я является то идентичный матрица и A ' это обратный от Джей Эн это так связанный с A, W с фи ', и т. д.; и аинс p- групповой индекс if, 3f^ m ñ^ и ВСЕ то выше полномочия от если равны к соответствующий полномочия от Z.* Это это просто тот хотя то полномочия от 3f От то Cth на генерировать то Группа C, f • сам Только генерирует a подгруппа от N.

24. для частный случай, в котором 3f удовлетворяет уравнению 3f^+'^ m f^, матрицы группы G может быть Еще удобно представленный по точкам на а круг, таким образом:

Для ради простота m является здесь взятый > p. А 8 до, если иа связанный с fi, W с fi^S, и т. д., и M* m J•, f^+¹ fi •+¹, и т. д. С - в от период m, то идентичный матрия от C в Z Я ` — Х ‘. Более того, f•+'^ == - •+'^

== Я • == f•. - силы иф повторяются, но никогда не размножаться первый сила. f^ будет генерировать целый Группа N, если, и только если, является основной Для m. Один пример в который IT генерирует a подгруппа является то пример подаренный в § 19.

* Чисто абстрактным oonaiderationa это eaay показать, что если 3f 1s любая математическая сущность, чей p - й и (p + 11st powera принадлежать Для a группа Р, затем все ita hlgher powera принадлежат P, при условии, что мощность H ^{объединять под то ааа ассоциативный закон . Для с t3f3f) 3f= если (bfgf), следовательно M и} фут ^{p+1 p} ре ^{коммутативный ;}

^{и aince то последний матрицы принадлежать Для P, (&) ' принадлежит Для Если и является commutativo с} W^{9 -]- 1, Позволь}

+1 (J9) (^{9) -! 9-{-l} {cp_u Z принадлежит Для a. Более того, fi = Если & (Если) ' - (3fp)—' t -_4f. Следовательно, если / ia тождественный элемент P, A = f/ m Z f, и H ia коммутативный с J. следовательно A^ m, если * Z* = 3f* /. Теперь auppoae Z p + r, где v > 0, то I H • - Если z = f • f^ laince f^ принадлежит Для П) = Если *; и alnce A принадлежит Для P, H* принадлежит Для C, когда 2 > y. Тот иа, эрери сила от N,

уууу экспонента иа > p, принадлежит Для d.

36

Тем не менее групповое понятие применительно к сингулярным коллинеациям может быть геометрически обосновано, как это видно из рассмотрения простого случая. Пусть n равно 3 и рассмотрим группу порожденную сингулярной матрицей

N 0, они форма

около по крайней мере один элемент матрицы 0, °; характеристика 2j; каноническая форма (₀'; они нильпотентны, ВСЕ Похожие, и их квадрат - это серо, они все связаны с sero и с IT форма a aingle псевдогруппа.

d) • = *. • =. s = " • = fi = z = * =:

характеристика §(1 1)a; одна матрица, sero, образующая целую группу первого порядка.

Матрицы классов (a), (b) и (d) являются членами группы, а матрицы класса (c) не являются членами группы. Таким образом, все двоичные негрупповые члены равны нулю. Есть три вида двоичных идемпотентных матриц, вис., в классе (a)

Л)

n -{- â m 1, по числу все подобные, каноническая форма которых равна (', а по классу (d) матрица серо.

^!2ee § 3.

39

24. ф ' Эрнарп fnfr*ces. Обозначая a троичный матрица по то символ (n, ¿)

_{(!" 2} 1, 2, 3), мы определим а ^f ₎ как кофактор "s,_J в детерминанте |"x" |. Тернарные матрицы можно разделить на семь классов следующим образом:

(a) c 0, r 3, p 1, | "s" | 0; матрицы, неособые, образующие целую группу.

0

матрицы w; канонический форма y â 0, "x â — Q y 0; они являются собранный в

0 0 0

Связанный с IT.

девять уравнения состояния, из которых четыре являются независимыми, o „ 0;

, 0 0

матрицы; характеристика [1 (1 1)a, каноническая форма 0 0 0 a 0; они

0 0 0

C d

a -{- d m 0, так тот (p) является нильпотент или sero. Каждый от эти псевдогруппы

поэтому содержит матрицы, из которых группы - члены класса (d), образующие целую группу, а остальные ассоциированные негрупповые члены claas (c); каждая группа - член имеет "n ^S ассоциированные негрупповые члены.

1 1

40

около леаат один Первый незначительный a ₎ :f: 0; ‹= матрицы; характеристика [3j: каноническая форма 0 1 0

0 0 0

Я

около наименьший один элемент "s, 0; w матрицы; характеристика §(2 1)a; канонический форма

0 1 0

0 0 0

g) e m 8 р ⁰, p m 1; Аль _l o _{!› Я —} ^— 1, 2, 3);

Классы (e), (I) и (g) вместе образуют единую псевдогруппу, из которой серо член группы и все другие матрицы связаны с нильпотентной негруппой - Участники. То площадь от каждый матрица от (e) принадлежит Для f).

" Существуют четыре вида троичных идемпотентных матриц, vis., в классе (a)

1 0 0

8

единица измерения матрица, в класс b) матрицы чья канонический форма ia 0 1 0,

0 0 0

1 0 0

в клаас d) "= похоже матрицы чья канонический форма равно 0 0 0, и в класс

0 0 0

G) то матрица ноль.

Приложение Для Кватернионк.

24. По счету от тесная связь тот eaigts между теория матрицы и то теория от гиперкомплекс числа, IT является Очистить тот то корицепт от членство в группе под умножение может быть переведен из первый Для последнее. В определенный, IT является общеизвестный тот кватерниона * являются абстрактно идентичный с двоичный матрицы, оба aa Для дополнение и умножение. То

То Мотт ris Хопкинс U ni дрожжи t,y Пресс - центр является сотрудничество с JSTOR to оцифровка, сохранять и

расширять доступ Для A Мексиканская для / анального секса o/‘ Матема t1es

Этот Содержание загруженный От 91.214.52.143 на Сб, 21 Авг 2021 16:15:24 UTC

Все использовать предмет Для https:'/about.jstor.org/terms

he he Groizp-Wemberahzp o;/ T+'z"g tz иар - зафрис.

Br АРТУР АНУаф.

НТРОДУ УЛЫБНУЛСЯ.

IT является хорошо известно *, что совокупность неособых матриц (линейных homo- генетические замены с неисчезающими детерминантами) сформируйте группу под руководством обычный закон композиции или умножения. Это не было так вообще recog- доказано, что существуют множества сингулярных матриц (линейных подстановок с нулем детерминанты), который тоже форма Группы $ под то такой же закон от композиция. Для

например, набор от двоичный матрицы от то форма (q в), а 0, очевидно форма a Группа от который ($ * является то идентичный матрица.

Однако не все сингулярные матрицы принадлежат группам; например, (1

Не принадлежит ни к какой группе. IT поэтому становится интересным определять является ли данное матрица принадлежит к какой - либо группе или нет; если она принадлежит, то найти природа самой большой группы, к которой она принадлежит; и если она не принадлежит в любую группу, показывать что всегда существует определенное простое отношение между IT и a однозначно определяемый Группа.

В короткий, мы желание Для делать полный классификация от ВСЕ а - ари матрицы как Для их членство в группе и точный отношение к группам. IT также будет нашел что мы будем естественно быть привело к определенным случайный Результаты на то корни от a матрица.

* Вебера &fpobro, Том. II, И издание (1899), $ 41, p. 168.

{ В этой статье слово Группа будет наед в общем - то скептически настроенных энеях, а не в широком смысле недавно дано к нему Автор: F робениус и флхур вошли то Berliner 5 илзу rigzberiehte 1906, I, стр. то?!omplee Рендуа, 1906, Том. CXLIII, p. 670. F робениуа конец Schur в их Другие папера нанимает на работу это слово в его обычный аенсе.

19

P*RT. ЧЛЕНЫ ГРУППЫ

Определения и Предварительный Понятия.

1. Через в этой статье элементы матриц будут неограниченными действительные или комплексные числа, принадлежащие, следовательно, к непрерывной области. То число строк или столбцов матрицы будем называть ее степенью. Как обычно, матрица будет называться дорогой r, если IT содержит около наименьший один r- рядный минор определитель тот делает нет пропадать, пока ВСЕ его r -[- 1- рядный незначительный детерминанты пропадать. Следующий Сильвестр, кактус * из а матрица будет будьте определенны как то номер от sero корни его характеристического уравнения. Несинусоидальная матрица степень n является следовательно от пустота 0 и ранга n, в то время как сингулярный matFlX IB пустота e 0 и из i ank r Матрица sero (элементами которой являются все sero) будет обозначаться символом 0q, где n - его степень. Матрица другая от серо, как говорят, нильполент, если одна из его сил равна силе серо. Ноль - мощные матрицы являются известный быть именно теми, чья пустота равна их степень и ранг которого > 0. 'f. единичная матрица степени n будет обозначаться Автор: то символ Vq.