Кеплеровская концепция тяготения.

В течение многих веков в естествознании господство­вала аристотелевская точка зрения на природу тяготения: «Земля и Вселенная имеют общий центр; тяжелое тело движется к центру Земли, и происходит это вследствие того, что центр Земли совпадает с центром Вселенной».

В «Новой астрономии» по мнению Кеплера, тяготение — это «взаимное телесное стремление сходных (родственных) тел к единству или соединению». В примечаниях к своему более позднему сочинению о лунной астрономии Кеплер пишет: «Гравитацию я определяю как силу, подобную магне­тизму — взаимному притяжению. Сила притяжения тем больше, чем оба тела ближе одно к другому...». Этим самым Кеп­лер существенно продвигается в направлении, которое позже приводит Ньютона к открытию его знаменитого за­кона всемирного тяготения. Здесь же Кеплер добавляет: «Причины океанских приливов и отливов видим в том, что тела Солнца и Луны притягивают воды океана с помощью некоторых сил, подобных магнетизму». Пытаясь устано­вить количественную зависимость между силой притяже­ния и расстоянием, Кеплер предположил, что сила притя­жения прямо пропорциональна весу, но обратно пропор­циональна расстоянию.

Внимание Кеплера было привлечено и к такому свой­ству материальных тел, как инерция. Сам термин «инерция» был введен в именно Кеплером. Он обозначил им явление сопротивления движению покоящихся тел. Инерция движения, по крайней мере до 1620 г., им не рассматривается. Важно отметить, что понятие инерции было распростра­нено Кеплером (в его понимании) на внеземные тела и явления. В «Новой астрономии» он пишет: «Планетные шары должны быть по природе материальны..., они обла­дают склонностью к покою, или отсутствию движения».        

Для объяснения эксцентричности орбит Кеплер предполо­жил, что планеты представляют собой «огромные круглые магниты», магнитные оси которых сохраняют постоянное направление, подобно оси волчка. Следовательно, планеты будут периодически то притягиваться ближе к Солнцу, то отталкиваться от него, в соответствии с расположением их магнитных полюсов. Далее Кеплер делит всю орбиту Земли на 360 частей, отметив на орбите положение Земли З₁, З₂,..., З₃₆₀ в соответствующие моменты времени t₁, t₂,..., t₃₆₀. Кеплер сопоставлял сумму расстояний между Землей и Солнцем в моменты време­ни t_i и t_k (и во все промежуточные моменты) с промежутком времени, необходимым планете, чтобы перейти из положения З_i, З_k. При сложении оказалось, что эта сумма отрезков не за­висит от выбранного участка орбиты, а только от величи­ны промежутка времени. Вспомнив затем, как Архимед для нахождения площади круга разлагал его на боль­шое число треугольников, Кеп­лер заменяет сумму расстоя­ний площадью сектора, описан­ного радиусом-вектором точки орбиты, считая эти величины пропорциональными, хотя и не говоря об этом прямо (см. Рис. 5). Необходимо заметить, что при выводе закона площадей (в конце 1601 — начале 1602 г.) Кеплер встретился и по-своему справился с задачей, имею­щей прямое отношение к тому разделу математики, бур­ное развитие которого вскоре ознаменовало наступление нового этапа в истории математики, связанного с исчис­лением бесконечно малых. Его попытка бесконечного сум­мирования по существу была первым шагом в численном интегрировании. Второй закон определял изменение скорости движения планет по их орбите, однако сама форма орбиты остава­лась еще неизвестной.

           Теперь Кеплеру предстояло дать математическое описание той кривой, по которой движется планета, и эта задача оказа­лась самой сложной и трудоемкой. Пришлось проверять одну за другой многие гипотезы. При этом, правда, в распоряжении Кеплера уже было мощное средст­во исследования — его закон площадей. Это давало возможность, задавая гипотезу о кривой той или иной формы, вычислять положения, кото­рые должен был бы занимать Марс на этой предполагае­мой орбите в различные моменты времени, и сравнивать их с наблюдаемыми положениями. «Правда лежит между кругом и овалом, как будто орбита Марса есть точный эллипс». Но, поместив Солнце в его центр, Кеплер сно­ва не пришел к согласующемуся с данны­ми наблюдений результату.

           В начале 1605 г. Кеплеру удалось найти истинную связь между расстоянием Солнце — Марс и так называе­мой эксцентрической аномалией. Он нашел тогда уравне­ние, которое сейчас называется его именем и широко используется в теоретической астрономии. Это уравнение имеет вид:

— константы. Это уравнение является одним из первых трансцендентных уравнений, которые нашли практическое приложение. Наконец Кеплер заметил, что боковое сжатие орбиты составляет 0,00429 доли ра­диуса, что точно равно поло­вине квадрата определенно­го им ранее эксцентриситета (0,0926² =0,00857). И тогда Кеплер предположил, что орбита Марса — эллипс, но Солнце располагается не в его центре, а в одном из фо­кусов. Проверка гипотезы эллипса быстро привела его к успешному завершению работы, ознаменовавшемуся вы­водом первого закона: Марс движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Кеплер не сомне­вался, что по этому же закону движутся и ос­тальные планеты, что вскоре им было проверено. Он был уверен также, что и орбита Земли — эллипс, но из-за ма­лого эксцентриситета (e= 0,01673) и недостаточной точ­ности наблюдений этот эллипс тогда еще невозможно бы­ло отличить от окружности. Открытые Кеплером законы подготовили почву Нью­тону для открытия закона всемирного тяготения.

Законы Кеплера сохраняют свое значение и в наше время. Правда, будучи абсолютно строгими математиче­скими законами для движения двух материальных тел (точнее — материальных точек), они не учитывают воз­действия на каждую планету других планет, которые хо­тя и очень слабы, но все же приводят к небольшим откло­нениям их движения от эллиптической орби­ты. Но математики и астрономы научились учитывать эти воздействия (благодаря чему, между прочим, были откры­ты планеты Нептун и Плутон).

Третий закон движения планет Кеплер вывел значительно позже (в 1619 г.). Суть этого закона была изложена в труде под названием «Мировая гармония». Кеплер формулирует этот закон так: «... отношение между периодами обращения каких-нибудь двух планет как раз равняется полуторной степени отношения их средних расстояний; однако обращаю внимание на то, что среднее арифметическое обоих диаметров эллиптической, орбиты немногим менее длиннейшего диаметра». Сейчас этот закон формулируется в такой форме: квадраты сидерических периодов планет относятся между собой, как кубы их средних расстояний от Солнца.