Выявление взаимосвязей методом аналитической группировки

 

В статистике для исследования существующих зависимостей, а также для выделения качественно однородных совокупностей, изучения структуры совокупности используют метод статистических группировок.

Группировка – это разбиение совокупности на группы, однородные по какому-либо признаку или объединение отдельных единиц совокупности в группы, однородные по каким-либо признакам.

В зависимости от решаемых задач выделяют виды группировок:

а) типологические – служат для выявления и характеристики социально-экономических явлений путем разделения качественно разнородной совокупности на классы, типы, однородные группы единиц в соответствии с правилами научной группировки;

б) структурные – группировка, в которой происходит разделение однородной совокупности на группы, характеризующие ее структуру по какому-либо варьирующему признаку;

в) аналитические (факторные)– основной задачей которых является исследование связей и зависимостей между изучаемыми явлениями и их признаками.

Для решения поставленной нами задачи необходимо использовать аналитическую группировку. Для этого необходимо пройти несколько этапов:

1. Правильно выбрать группировочный признак, то есть признак, по которому производится распределение единиц изучаемой совокупности на группы. Он выбирается в зависимости от решаемой задачи. В нашем случае группировочный признак – нагрузка пашни на 1 трактор.

Всю совокупность признаков можно разделить на две группы: факторные и результативные. Факторными называются признаки, под воздействием которых изменяются другие признаки, называемые результативными. В основе аналитической группировки лежит факторный признак, и каждая выделенная группа характеризуется средними значениями результативного признака.

2. Построить интервальный ряд распределения – распределение единиц совокупности по величине группировочного признака.

3. Определить сводные и обобщающие показатели по каждой группе и по всей совокупности.

4. На основании сводных и обобщающих показателей рассчитать средние и аналитические показатели по каждой группе и совокупности в целом.

5. Проанализировать полученные показатели и сделать вывод о связи между факторными и результативными признаками.

Определим методом аналитической группировки влияние нагрузки пашни на 1 трактор на урожайность сахарной свеклы.

1. Построим ранжированный ряд распределения хозяйств Семилукского, Аннинского, Хохольского и Бутурлиновского районов Воронежской области по нагрузке пашни на 1 трактор, га: 22; 39; 49; 61; 78; 83; 93; 101; 101; 107; 107; 112; 113; 116; 117; 117; 118; 122; 123; 126; 162; 163; 169; 184; 205.

2. Определим число групп, на которые необходимо разбить исходные данные:    n = 1 + 3,322·lgN = 1 + 3,322·lg25 = 1 + 3,322·1,398 = 5,6. Исходные данные надо разбить на шесть групп.

3. Определим равный интервал       

 

(ц/га).

 

Построим интервальный ряд распределения (Таблица) и рассчитаем его основные характеристики .

Таблица 6. Интервальный ряд распределения хозяйств Семилукского, Аннинского, Хохольского, Бутурлиновского районов по нагрузке пашни на 1 трактор.

Группы предприятий по нагрузке пашни на 1 трактор.		Число хозяйств (f)	Середины интервалов (x)	fx	x-	(x- )2	(x- )2f
I	22-53	3	37,5	112,5	-74,5	5550,25	16650,75
II	53-84	3	68,5	205,5	-43,5	1892,25	5676,75
III	84-115	7	99,5	696,5	-12,5	156,25	1093,75
IV	115-146	7	130,5	913,5	18,5	342,25	2395,75
V	146-177	3	161,5	484,5	49,5	2450,25	7350,75
VI	177-208	2	192,5	385	80,5	6480,25	12960,5
Итого		25	690	2797,5	-	-	46128,25

 

Изобразим интервальный ряд распределения графически.

 

Рисунок 6. Гистограмма распределения хозяйств по нагрузке пашни на 1 трактор

 

Рассчитаем среднюю урожайность сахарной свеклы по формуле средней арифметической взвешенной:       

 

(га).

Рассчитаем дисперсию (взвешенную).   

 

(га)

 

Рассчитаем среднеквадратическое отклонение (взвешенное):   

 

(га).

 

Рассчитаем коэффициент вариации:      

 

или 38,35%.

 

Так как дисперсия и среднеквадратическое отклонение (СКО) значительны и коэффициент вариации превышает 33%, то рассчитанная нагрузка пашни на 1 трактор нетипична и недостоверна.

Если величина f распределена нормально, то все варианты отклонений от общей средней не больше, чем на величину трехкратного СКО, то есть      

 принадлежит интервалу . Пользуясь следствием из этого правила, можно образовать шесть групп для исходных данных (Таблица 9).

 

Таблица 7. Интервальный ряд распределения хозяйств Семилукского, Аннинского, Хохольского и Бутурлиновского районов по нагрузке пашни на 1 трактор.

Группы		Нижняя граница				Верхняя граница				Число хозяйств (f)
		формула		значение		формула		значение
I				-16,85				26,10		1
II				26,10				69,05		3
III				69,05				112,00		8
IV				112,00				154,95		8
V				154,95				197,90		4
VI				197,90				240,85		1
Итого					543,15				800,85		25

 

Построим интервальный ряд распределения хозяйств.

 

Таблица 8. Интервальный ряд распределения хозяйств Семилукского, Аннинского, Хохольского и Бутурлиновского районов по нагрузке пашни на 1 трактор.

Группы хозяйств по нагрузке пашни на 1 трактор		Число хозяйств, частота	Сумма накопленных частот
I	-16,85 - 26,1	1	1
II	26,10 - 69,05	3	4
III	69,05 - 112,00	8	12
IV	112,00 - 154,95	8	20
V	154,95 - 197,90	4	24
VI	197,90 - 240,85	1	25
Итого		25	86

 

Изобразим интервальный ряд распределения графически.

 

Рисунок 7. Гистограмма распределения хозяйств по нагрузке пашни на 1 трактор

Представим вПриложение 6 сводные данные по выделенным нами группам. Затем по полученным групповым сводным данным определим статико-аналитические показатели в среднем по совокупности и по каждой группе. Результат представим в Приложение 7.

Проведенная аналитическая группировка не выявила взаимосвязь между исследуемыми факторами. Проведем вторичную группировку, объединив I группу со II и V с VI (Приложение 8).

Повторная аналитическая группировка выявила взаимосвязи между факторами: с увеличение нагрузки пашни на 1 трактор урожайность сахарной свеклы снижается, себестоимость и трудоемкость повышаются, а урожайность соответственно снижается, что и подтверждается данными Приложение 9.

Так, например, в хозяйствах I группы при наименьшей нагрузке пашни 42 га, урожайность сахарной свеклы является самой высокой и составляет 403,5 ц/га., показатель трудоемкости является самым низким 0,03 чел./час, а себестоимость составила 72,6 руб., а уровень рентабельности самый высокий из всех имеющихся групп 32,3%.

Таким образом, мы выявили, что связь между нагрузкой пашни и урожайности обратная, между нагрузкой пашни себестоимостью и трудоемкостью прямая, между нагрузкой пашни и рентабельностью также обратная.

Однофакторный дисперсионный анализ.

Дисперсионный анализ представляет собой метод статистической оценки надежности проявления зависимости результативного признака от одного или нескольких факторов. Дисперсионный анализ является методом оценки выборочных характеристик связи.

Для оценки существенности зависимости, обнаруженной методом группировки исходя из предыдущей главы, можно провести однофакторный дисперсионный анализ и оценить существенность влияния нагрузки пашни на один трактор на урожайность сахарной свеклы.

1. Определим общую вариацию урожайности сахарной свеклы.

 

, где

 

 - индивидуальное значение результата,

 - среднее значение результата в целом по совокупности.

Для того чтобы рассчитать эту формулу необходимо провести следующие расчеты, которые оформлены в Таблице 14.

 

Таблица 14. Расчет общей вариации урожайности сахарной свеклы

Наименование предприятия	Урожайность сахарной свеклы, ц/га (X)	x –	(x – )2
ЗАО "Землянское Семилукского р-на	320,86	208,96	43662,89
ООО СП "Маяк" Семилукского р-на	126,64	14,74	217,27
ООО "Лосево" Семилукского р-на	200,00	88,10	7761,61
к-з им. К.Маркса Семилукского р-на	248,53	136,63	18666,39
СХА им. Ленина Семилукского р-на	307,30	195,40	38179,90
ООО "Токай" Аннинского р-на	137,70	25,80	665,77
ООО"Агротех-гарант" Аннинского р-на	402,00	290,10	84158,01
СХА "Путь Ленина" Аннинского р-на	390,12	278,22	77406,37
СХА "Битюгское" Аннинского р-на	275,07	163,17	26623,36
CXA "Заря" Аннинского р-на	313,72	201,82	40732,66
СХА "Левашовка" Аннинского р-на	204,82	92,92	8633,51
ЗАО "Николаевка" Аннинского р-на	644,41	532,51	283562,34
СХА "Ясырки" Аннинского р-на	250,19	138,29	19123,82
ООО "Нива" Аннинского р-на	467,49	355,59	126441,88
СХА им. Ленина Аннинского р-на	607,63	495,73	245743,28
ООО"Агрошанс" Бутурлиновского р-на	180,23	68,33	4669,26
ООО "Нива" Бутурлиновского р-на	104,40	-7,50	56,25
ООО"Нижнекисляйские семена" Бутурлиновского р-на	299,21	187,31	35086,28
ООО "Озерское" Бутурлиновского р-на	226,52	114,62	13136,60
ООО "Славянский" Бутурлиновского р-на	306,32	194,42	37800,87
ООО "Юбилейное" Хохольского р-на	413,37	301,47	90886,52
ООО "Семедесятская Нива" Хохольского р-на	420,00	308,10	94925,61
ЗАО "Дон" Хохольского р-на	444,03	332,13	110311,67
ЗАО "Хохольское" Хохольского р-на	429,63	317,73	100951,19
ООО "Ленинская Нива" с. Староникольское Хохольского р-на	213,99	102,09	10421,49
Итого	=317,37		=1519824,78

 

Таким образом, общая вариация составит:    

 

W_общ = 1519824,78 (ц/га).

 

2. Определим факторную вариацию урожайности сахарной свеклы, которая отражает изменение результата под влиянием изучаемого фактора:

 

, где

 

 - среднее значение результата по группам, которые получены на основании группировки по факторному признаку,

 - среднее значение результата в целом по совокупности,

n - число единиц совокупности в группе

 

W_факт = (403,5-301,4)²*4 + (348,9-301,4)²*8 + (254,8-301,4)²*8 + (262,4-301,4)²*5 = 41697,6 + 18050 + 17372,5 + 7605 = 84725,1(ц/га)

 

3.  Определим факторную вариацию урожайности сахарной свеклы, которая отражает изменение результата под влиянием изучаемого фактора:

W_ост = W_общ – W_факт = 1519824,78 – 84725,1= 145099,6 (ц/га).

 

Определим остаточную вариацию урожайности сахарной свеклы:

 

,

 

где N – число хозяйств.    

 

63326,03 (ц/га).

 

5. Определим факторную дисперсию:   

 

,

 

где n – число групп.

 

 =28241,67 (ц/га).

 

6. Определим остаточную дисперсию:  

 

.       

= 6909,50 (ц/га).

 

7. Определим фактическое значение F-критерия Фишера:        

= 4,09

 

8. Найдем табличное значение F-критерия Фишера при a = 0,05 и числом степеней свободы числителя и знаменателя 3 и 21соответственно:

 

F (a = 0,05;3;21)=3,07

 

9. Сравним фактическое и табличное значение критерия Фишера и сделаем соответственные выводы.

 

, а ,

 

так как > , следовательно, влияние нагрузки пашни на один трактор на урожайность сахарной свёклы существенно. Это даёт возможность использовать данный фактор при построении экономико-математической модели урожайности сахарной свёклы.

Проектная часть

 

На практике урожайность сельскохозяйственной культуры находится под влиянием множества факторов. Эти факторы могут быть связанны с организацией хозяйственной деятельности предприятия (например, размеры посевных площадей, трудообеспеченность, нагрузка пашни на 1 трактор, производственные затраты). Кроме того, связаны с уровнем спецализации. Таким образом, изучаемое нами явление многофакторное и между факторами существуют сложные взаимосвязи. Потому их влияние комплексное и его нельзя рассматривать как простую сумму изолированных влияний. Более того, в таких условиях между результативным (исследуемым) и факторными признаками отсутствует функциональная (жесткая) связь.

В подобном случае в статистике для оценки меры влияния на изучаемый (результативный) признак каждого из включенных в модель факторов при фиксированном положении (на среднем уровне) остальных факторов, а также для нахождения при любых возможных сочетаниях факторов теоретическое значение этого показателя используется многофакторный корреляционно-регрессионный анализ.

Математически задача формулируется следующим образом. Требуется найти аналитическое выражение, наилучшим образом отражающее связь факторных признаков с результативным, т. е. найти функцию y = f(x₁, x₂, x₃, … x_n).

Чаще всего используется функция в линейной форме, так как в большинстве практических случаев любую функцию многих переменных путем логарифмирования или замены переменных можно свести к линейному виду:     

 

Y_X1,X2,…,Xn = a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + … + a_nX_n

 

Каждый коэффициент уравнения показывает степень влияния соответствующего фактора на анализируемый показатель при фиксированном положении (на среднем уровне) остальных факторов: с изменением каждого фактора на единицу показатель изменяется на соответствующий коэффициент регрессии.

При этом, как бы удачно ни был выбран вид функции, нельзя ожидать полного соответствия расчетных и фактических у значений изучаемого показателя, так как уравнение множественной регрессии учитывает влияние (среднее) на результативный признак не всех, а лишь основных, существенных факторов. Действие остальных неучтенных факторов и вызывает разброс фактических значений вокруг расчетных. В связи с этим возникает необходимость оценки тесноты связи результативного признака с факторными.

Показателем тесноты связи, устанавливаемой между результативным и двумя или более факторными признаками, является совокупный коэффициент множественной корреляции (R). Он служит основным показателем линейной корреляционной связи. Его значения находятся в пределах от 0 до 1. Чем меньше наблюдаемые значения изучаемого показателя отклоняются от линии множественной регрессии, тем корреляционная связь является более интенсивной, а, следовательно, величина R ближе к единице.

Величина R ² называется совокупным коэффициентом множественной детерминации. Она показывает, какая доля вариации изучаемого показателя объясняется влиянием факторов включенных в уравнение множественной регрессии. Значения совокупного коэффициента множественной детерминации находятся в пределах от 0 до 1. Поэтому, чем R ² ближе к единице, тем вариация изучаемого показателя в большей мере характеризуется влиянием отобранных факторов.

5.1 Построение многофакторной корреляционной модели урожайности сахарной свеклы

 

Для построения многофакторной корреляционной модели уровня окупаемости в нее были заложены следующие факторы:

Х₁ - производственные затраты на 1 га посева сахарной свеклы (уровень интенсивности), руб.

Х₂ - нагрузка пашни на 1 трактор, га

Х₃ - фондовооруженность 1 работника, тыс. руб.

Х₄ - энерговооруженность 1 работника, л.с.

Х₅ - уровень специализации, %

Х₆ - затраты труда на 1 га посева сахарной свеклы, руб.

Х₇ - стоимость внесенных удобрений на 1 га сахарной свеклы, руб.

Х₈ - фондообеспеченность хозяйства, тыс. руб.

Х₉ - уровень концентрации (площадь посева сахарной свеклы), га

Х₁₀ - трудообеспеченность (число работников на 100 га пашни), чел.

Обрабатывая данные приложения 6 с помощью ЭВМ в пакете прикладных программ STSTGRAF были получены данные (Приложение 11), которые можно оформить в виде следующей таблицы.

Полученные результаты представлены в Таблице 15:

 

Таблица 15. Экономико-математическая модель урожайности сахарной свеклы по хозяйствам Аннинского, Семилукского, Хохольского, Бутурлиновского районов за 2006 год

Независимые переменные	Условные обозначения	Коэффициент регрессии	Стандартная ошибка	t-статистика	Уровень значимости
Name	Independent variable	coefficient	std.error	t-value	sig. Level
-	Constant	12,035294	150,540694	0,0799	0,9374
1. производственные затраты на 1 га посева сахарной свеклы (уровень интенсивности), руб.	Х1	0,009268	0,001689	5,4878	0,0001
2. нагрузка пашни на 1 трактор, га	Х2	0,000618	0,729612	0,0008	0,9993
3. фондовооруженность 1 работника, тыс. руб.	Х3	-0,05059	0,238067	-0,2125	0,8348
4. энерговооруженность 1 работника, л.с.	Х4	0,226098	0,724128	0,3675	0,7188
5. уровень специализации, %	Х5	2,104855	3,084833	0,6823	0,5062
6. затраты труда на 1 га посева сахарной свеклы, руб.	Х6	-0,926688	1,28856	-0,7192	0,4839
7. стоимость внесенных удобрений на 1 га сахарной свеклы, руб.	Х7	0,008421	0,01518	0,5547	0,5878
8. фондообеспеченность хозяйства, тыс. руб.	Х8	0,029982	0,082851	0,3619	0,7229
9. уровень концентрации (площадь посева сахарной свеклы), га	Х9	-0,003685	0,121578	-0,0303	0,9762
10. трудообеспеченность (число работников на 100 га пашни), чел	Х10	5,3876778	9,703607	0,6056	0,5545
R-SQ. <ADJ.>= 0,6049	SE= 87,433520	MAE= 51,876862	DurbWat=2,615

 

Коэффициент детерминации равен 0,6049 или 60,49%. Следовательно, на долю неучтенных факторов приходится 39,51%, оказывающих влияние на урожайность сахарной свеклы.

Статистическая оценка характеристик данной модели (коэффициент детерминации, средняя ошибка, стандартная ошибка и коэффициент Дарбина-Уотсона) показывают, что некоторые факторы количественно мало определяют результат, а влияние некоторых факторов(X₂ - нагрузка пашни на 1 трактор, Х₄ - энерговооруженность 1 работника, Х₅ - уровень специализации, Х₆ - затраты труда на 1 га посева сахарной свеклы, Х₇ - стоимость внесенных удобрений на 1 га сахарной свеклы, Х₈ - фондообеспеченность хозяйства, Х₉ - уровень концентрации (площадь посева сахарной свеклы) не поддается логико-экономическому осмыслению. Перечисленные факторы были исключены из модели.

Компьютерная программа позволила просчитать ряд вариантов и построить улучшенную модель с помощью пакета STATGRAF на ЭВМ (Приложение 12). Полученные результаты можно представить в таблице.

 

Таблица 16. Улучшенная экономико-математическая модель урожайности сахарной свеклы по хозяйствам Аннинского, Семилукского, Хохольского, Бутурлиновского районов.

Независимые переменные	Условные обозначения	Коэффициент регрессии	Стандартная ошибка	t-статистика	Уровень значимости
Name	Independent variable	coefficient	std.error	t-value	sig. Level
-	Constant	38,821982	46,3181	0,8382	0,4114
1. производственные затраты на 1 га посева сахарной свеклы (уровень интенсивности), руб.	Х1	0,008794	0,001254	7,0152	0,0000
2. фондовооруженность 1 работника, тыс. руб.	Х3	0,070943	0,072784	0,9747	0,3408
3. трудообеспеченность (число работников на 100 га пашни), чел	Х10	10,192698	4,962204	2,0541	0,0526
R-SQ. < ADJ.>= 0,6930	SE =77,079881	MAE =52,100670	DurbWat=2,557

 

Модель в целом улучшилась. Коэффициент детерминации возрос (ADJ) и стал равным 0,6930 или 69,30%. Отсюда следует, что на долю неучтенных факторов приходится 30,7 %.

Коэффициент корреляции составит:

 

К_к= 0,83.

 

Он свидетельствует о том, что между урожайностью сахарной свеклы и перечисленными выше факторами связь прямая и тесная (по шкале Чедека). Так как коэффициент корреляции > 0,8, а коэффициент детерминации > 69%, то разработанная экономико-математическая модель адекватна, т.е. в наибольшей степени отвечает экономическим целям хозяйств анализируемых районов. Исключение этих факторов из модели значительно ухудшало ее.

Полученная модель количественно измеряет исследуемую связь. Это можно представить в виде следующего уравнения регрессии:

 

Y_x1x3x10=38,821982+0,008794X₁+0,070943X₃+10,192698X₁₀

 

Коэффициент регрессии при Х₁ свидетельствует о том, что при увеличении производственных затрат на 1 га посева сахарной свеклы (уровень интенсивности) на 1 руб. урожайность сахарной свеклы увеличивается на значение коэффициента регрессии, который в данном случае равен 0,008794 (ц/га).

Коэффициент регрессии при Х₃ свидетельствует о том, что при увеличении фондовооруженности 1 работника на 1 тыс. руб. урожайность сахарной свеклы увеличивается на значение 0,070943 (ц/га).

В значительной части рядов динамики экономических процессов между уровнями, особенно близко расположенными, существует взаимосвязь. Само явления взаимосвязи называется автокорреляцией [15].

Автокорреляция - это зависимость последующих уровней ряда от предыдущих.

Если последовательные значения ошибок коррелируют между собой, то существует автокорреляция ошибок, приводящая к росту ошибок параметров регрессии. Методом выявления автокорреляции является нахождение критерия Дарбина-Уотсона (d). Если d» 2, то автокорреляция практически отсутствует; если d» 0, то наблюдается полная положительная автокорреляция; если d» 4, то имеется полная отрицательная автокорреляция. Если 0< d <2, то говорят о правосторонней автокорреляции (за положительным значением ошибки в момент времени t скорее всего последует положительное значение ошибки в момент времени t + 1 и наоборот, за отрицательным – отрицательное), если 2< d <4, то – о левосторонней (за положительным значением ошибки в момент времени t скорее всего последует отрицательное значение ошибки в момент времени t + 1 и наоборот, за отрицательной – положительное).

Коэффициент Дарбина-Уотсона в нашем случае равен 2,557. Это свидетельствует о левосторонней корреляции, так как данный показатель 2< d <4.

C целью оценки существенности влияния изучаемых факторов на результат проведем многофакторный дисперсионный анализ и результаты оформим в таблице 17 на основании Приложение 13.

 

Таблица 17. Многофакторный дисперсионный анализ для всей модели

Источник вариации	Сумма квадратов отклонений	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень свободы	Критерий Фишера (Fрасч)	Уровень значимости
Source	Sum of Squares	DF	Mean Squares	F-Ratio	P-value
Модель (Model)	339651	3	113217	19,0559	0,0000
Ошибка (Error)	124767	21	5941,31
Total <Corr.>	464418	24
R-squared= 0,731347		Stnd.error of est.= 77,0799
R-squared <Adj.for d.f.>=0,490031		Durbin-Watson statistic=2, 55666

Так как F_расч.=19,0559 превышает табличное значение критерия Фишера (F_табл=3,07), то отсюда следует, что влияние заложенных в модель факторов на урожайность сахарной свеклы значимо.

Оценив значимость модели в целом, представляет интерес влияние каждого фактора на результат. Для изучения этого влияния проведем анализ вариации по факторам, и результат представим в виде таблицы.

 

Таблица 18. Дисперсионный анализ вариации по факторам

Факторы вариации	Сумма квадратов отклонений	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень свободы	Критерий Фишера (Fрасч/фактич)	Уровень значимости
Source	Sum of Squares	DF	Mean Squares	F-Ratio	P-value
Х1 - производственные затраты на 1 га посева сахарной свеклы (уровень интенсивности), руб.	313833,454	1	313833,45	52,82	0,0000
Х3 - фондовооруженность 1 работника, тыс. руб.	749,789	1	749,79	0,13	0,7297
Х10 - трудообеспеченность (число работников на 100 га пашни), чел	25067,503	1	25067,50	4,22	0,0526

Model

339650,746

3

 

Данная таблица свидетельствует о том, что существенное влияние на урожайность сахарной свеклы оказывают влияние такие факторы как: Х₁ - производственные затраты на 1 га посева сахарной свеклы (уровень интенсивности), руб <0,05 и трудообеспеченность (число работников на 100 га пашни), чел.