Формулы для расчета скорости и расхода при истечении жидкости из малых незатопленных отверстий в тонкой стенке при постоянном напоре

Возьмем большой резервуар с жидкостью под давлением P _ат, имеющий малое круглое отверстие в стенке на достаточно большой глубине Н от свободной поверхности (рис. 8.1). Через это отверстие жидкость вытекает в воздушное (газовое пространство) с давлением p. Частицы жидкости приближаются к отверстию из всего прилежащего объема, двигаясь ускоренно по различным плавным траекториям. Струя отрывается от стенки у кромки отверстия и затем несколько сжимается. Цилиндрическую форму струя принимает на расстоянии, равном примерно одному диаметру отверстия. Сжатие струи обусловлено необходимостью плавного перехода от различных направлений движения жидкости в резервуаре, в том числе от радиально движения по стенке, к осевому движению в струе.

Так как размер отверстия предполагается малым, по сравнению с напором Н и размерами резервуара и свободная поверхность жидкости не влияют на приток струи жидкости к отверстию, то наблюдается совершенное сжатие струи.

Степень сжатия оценивается коэффициентом сжатия e, равным отношению площади поперечного сечения струи в месте сжатия к площади отверстия:

 

e= w _с / w.                                   

Для определения скорости истечения и расхода жидкости составим уравнение Бернулли для сечений 1–1 и 2–2 относительно плоскости сравнения 0–0, проходящей через центр отверстия (рис. 1):

 

H + p_{a т} / g + v ₀ ² /2 g = p_{a т} / g + v ² /2 g + h_w.

Потери напора в данном случае представляют собой местные потери на входе в отверстие, т. е.:

 

h _м = x _м v ² /2 g,

здесь x _м – коэффициент сопротивления отверстия, тогда: 

 

H + v ₀ ² /2 g =(1+ x _м) v ² /2 g.

Решая полученное выражение относительно скорости истечения v, получим:

 

v = ,

обозначив j =1/() и  Н₀=Н+ v ² /2 g, окончательно находим:

 

v = j ,

где j – коэффициент скорости (для отверстия в тонкой стенке j =0,97)

Обычно площадь резервуара намного больше площади отверстия, поэтому скорость v ₀ практически незначительна и ею можно пренебречь, тогда формула примет простой вид:

 

v = j .

В случае истечения идеальной жидкости x _м =0, следовательно j= 1, и теоретическая скорость истечения по формуле Торричелли равна:

 

v _т = .

Из этих двух формул можно заключить, что коэффициент скорости j  есть отношение действительной скорости к теоретической:

 

j= v / v _т.

Действительная скорость истечения v всегда несколько меньше теоретической вследствие сопротивления, следовательно, коэффициент скорости всегда меньше 1.

Распределение скоростей по сечению струи является равномерным лишь в средней части сечения (в ядре струи), наружный же слой жидкости несколько заторможен вследствие трения о стенку. Как показывают опыты, скорость в ядре струи практически равна теоретической, поэтому введенный коэффициент j, следует рассматривать как коэффициент средней скорости. Если истечение происходит в атмосферу, то давление по всему сечению цилиндрической струи равно атмосферному.

Расход жидкости в сжатом сечении можно определить из уравнения неразрывности:

 

Q = w _сж v.

Практически удобнее пользоваться вместо w _сж произведение e w (где e коэффициент сжатия для малых отверстий, равный 0,6–0,64), таким образом, можно записать:

 

Q = ej w = .

Произведение e на j принято обозначать буквой m и называть коэффициентом расхода, подставив m=e j получим формулу для расчета расхода жидкости при истечении ее в атмосферу через отверстия и насадки:

 

Q = m w  = m w ,

где p – расчетное давление, под действием которого происходит истечение жидкости.

На основе опытов установлено, что для малого отверстия в тонкой стенке m колеблется от 0,59 до 0,63, или в среднем m= 0,61. Это выражение применимо для всех случаев истечения, трудность заключается в достаточно точной оценке коэффициента расхода μ. Из уравнения следует, что:

 

m= Q /(w )= Q / Q _т.

Это значит, что коэффициент расхода также представляет собой отношение действительного расхода к теоретическому, который имел бы место при отсутствии сжатия струи и сопротивления, на теоретический расход не является расходом при истечении идеальной жидкости, так как, сжатие струи будет иметь место и при отсутствии гидравлических потерь.

Т.о. действительный расход всегда меньше теоретического, следовательно, коэффициент m всегда меньше 1 вследствие влияния двух факторов: сжатия струи и сопротивления. В одних случаях больше влияет первый фактор, в других – второй.

Введенные коэффициенты – сопротивления отверстия x, коэффициент расхода μ и коэффициент скорости j зависят в первую очередь от типа отверстия и насадка, а также как и все безразмерные коэффициенты в гидравлике, от основного критерия гидродинамического подобия – числа Re.

На рис. 8.2 приведен график зависимости коэффициентов от числа Re для круглого отверстия (составлен А.Д. Альштулем на основании опытов разных авторов), подсчитанного по теоретической скорости истечения [9]:

 

Re _т = d v _т / n = d /ν

 

Из графика (рис. 8.2) видно, что с увеличением чисел Re _m, т.е. с уменьшением сил вязкости, коэффициент j возрастает в связи с уменьшением коэффициента сопротивления x а коэффициент e уменьшается вследствие уменьшения торможения жидкости у кромки отверстия и увеличения радиусов кривизны поверхности струи на ее участке от кромки до начала цилиндрической части. Значения коэффициентов j и e при этом асимптотически приближаются к их значениям, соответствующим истечению идеальной жидкости, т.е. при Re _т ® ∞, j ® 1 и e ® 0,6. Коэффициент расхода m с увеличением Re _т сначала увеличивается, что обусловлено резким возрастанием j, а затем достигнув максимального значения (m _мах =0,6 9 при Re _т =350, уменьшается в связи со значительным падением e и при больших Re _т практически стабилизируется при значении равном m= 0,6–0,61.

При истечении с большими значениями числа Рейнольдса (R е_т>100000), что характерно для большинства случаев истечения воздуха, воды и других маловязких жидкостей, можно принимать следующие значения коэффициентов истечения которые меняются незначительно [9]:

e = 0,62–0,64,

φ =0,97–0,98,

x= 0,06–0,065_м,

μ = 0,61.

Т.о., при истечении маловязких жидкостей через круглое отверстие в тонкой стенке имеет место значительное сжатие струи и весьма небольшое сопротивление. Поэтому коэффициент m, получается здесь значительно меньше единицы, главным образом, за счет влияния сжатия струи.

При истечении с малыми числами Рейнольдса все коэффициенты истечения зависят от чисел Рейнольдса Re _{т .}

Для определения коэффициента μ можно также пользоваться следующими приближенными формулами [8]:

 

m = , при Re_m <25,

m= Re _т /(1,5+1,4 Re_m), при 25< Re_m <300,

m= 0,592+ 0,27/(Re_m)^1/6, при 300< Re_m <10000,

m= 0,592+ 5,5/ , при 10000< Re_m.

 

При истечении воды и других жидкостей малой вязкости из отверстий малого диаметра (d <3 см) и при малых напорах коэффициенты истечения e, φ, μ могут испытывать заметное влияние поверхностного натяжения. С увеличением поверхностного натяжения при истечении из малых отверстий в тонкой стенке уменьшается коэффициент скорости φ, возрастает коэффициент сжатия струи ε и уменьшается коэффициент расхода μ.

Истечение жидкости при несовершенном сжатии. Несовершенное сжатие струи наблюдается в том случае, когда на истечение жидкости через отверстие и на формирование струи оказывает влияние близость боковых стенок резервуара, причем отверстие расположено на одинаковых расстояниях от этих стенок, т.е. на оси симметрии резервуара. Ввиду того, что боковые стенки частично направляют движение жидкости при подходе к отверстию, струя по выходе из отверстия сжимается в меньшей степени, чем при истечении из резервуара неограниченных размеров, когда имелось совершенное сжатие. Вследствие уменьшения сжатия струи возрастет коэффициент сжатия струи, а следовательно и коэффициент расхода. В последнем случае коэффициент сжатия будет определяться по формуле [9]:

 

e _нес =0,57+0,043/(1,1- n),

где n = w / W _ отношение площади отверстия к площади сечения потока выше отверстия.

Коэффициент сопротивления отверстия ξ, а также коэффициент скорости φ при несовершенном сжатии можно считать независящими от соотношения площадей (если n не слишком близко к 1) и приблизительно равным для маловязких жидкостей φ =0,97, x= 0,065. Поэтому коэффициент расхода можно найти из соотношения:

 

Μ _нес = e _нес φ,

                               

а расход определить по формуле:

 

Q = μ _нес w .

Однако при использовании этой формулы в случае несовершенного сжатия струи следует иметь в виду, что входящий в формулу расчетный напор Н представляет собой полный напор, равный:

 

Н=(р₁-р₂)/ g + v ₀ ² /2 g.

Это значит, что помимо гидростатического напора следует учитывать еще и скоростной напор в резервуаре, но так как при вычислении расхода скоростной напор обычно не известен, то желательно иметь формулу, выражающую расход при несовершенном сжатии не через полный напор Н, а через гидростатический:

 

Q = μ _нес w ),

где μ _нес= e _нес .

Если направляющие стенки не совпадают ни с одной из кромок отверстия, то наблюдается полное сжатие. В противном случае наблюдается неполное сжатие, для которого:

 

m _неп.сж =m (1+К n *),

где n *= c */ c,   μ – коэффициент расхода при полном сжатии, К – эмпирический коэффициент, имеющий следующие значения:

– для круга – 0,128,

– малого квадрата – 0,152,

– малого прямоугольника – 0,134,

– прямоугольника шириной 0,2 и высотой 0,16 – 0,157.

Павловский Н.Н. рекомендует независимо от формы отверстий принимать К=0,49, c * та часть периметра, по которой сжатие устранено направляющей стенкой, а c  полный периметр отверстия.