Глава 3. Решение математических задач с помощью техники оригами

Работа по схемам, процесс складывания плоскостных фигур – это деятельность, направленная на развитие восприятия и мышления, которые играют большую роль при изучении геометрии.

Рассмотрим примеры задач, решаемых методами оригами:

1. С помощью перегибания листа бумаги можно получить интересные решения геометрических задач, свойства которых многих плоских фигур становятся очевидными. Так как различные построения и фигуры оригами складываются из квадратного листа бумаги, то получается, что, когда мы производим простейшее действие с листом бумаги, например, складываем его по вертикали или диагонали, мы уже решаем задачи на построение. Покажем, как это можно сделать на примере прямоугольника и равнобедренного треугольника.

Прямоугольник:

В прямоугольнике противоположные стороны равны.

Рисунок 1.

Свойство сторон прямоугольника

Рисунок 2.

Свойство углов прямоугольника

В прямоугольнике все углы прямые. Точка A – произвольная точка, лежащая на стороне прямоугольника. Следует отметить, что учащиеся могут допустить ошибку, выполняя построение так:

Рисунок 3.

Свойство пар углов прямоугольника

 

Такое построение может лишь подтвердить, что ∠A = ∠D, ∠B = ∠C, а это справедливо и для равнобедренной трапеции. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

Рисунок 4.

Свойство диагоналей прямоугольника

 

Равнобедренный треугольник:

Достаточно перегнуть треугольник так, как показано на рисунке, и учащиеся сами назовут все свойства равнобедренного треугольника.

Рисунок 5.

Свойства равнобедренного треугольника

 

При помощи оригами можно доказывать некоторые теоремы планиметрии, рассмотрим возможности оригами на примере теоремы о сумме углов треугольника.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°

Рисунок 6.

Сумма углов треугольника

 

Теорему о сумме углов треугольника можно доказать так:

1) найти точку основания высоты треугольника (точку D);

2) перегнуть лист так, чтобы все вершины треугольника ABC

совместились с точкой D;

3) по построению получили, что развернутый угол FDR равен

сумме углов треугольника ABC.

С помощью этого же алгоритма построения можно доказать, что средняя линия треугольника равна половине стороны треугольника, которой она параллельна, то есть KM = ½ AC. Действительно, в прямоугольнике FKMR противоположные стороны KM и FR равны, а по построению FR = ½ AC, поэтому KM = ½ AC.

Модульное оригами дает возможность построения моделей пространственных фигур – тетраэдр, куб, октаэдр и др., при построении модуля может возникнуть множество планиметрических задач. Далее приведены схемы построения и примеры заданий.

Рассмотрим способ построения сплошной модели додекаэдра из листа А4.

Рисунок 7.

Схема складывания модуля для сплошной модели додекаэдра

 

Проведем анализ схемы складывания:

Задание 1. Найдите градусную меру угла грани в сплошной модели додекаэдра.

Для начала выясним, чему равен угол, полученный на втором шаге складывания модуля. Рассмотрим схему складывания в развернутом виде.

Рисунок 8.

Схема модуля в развернутом виде

Задание 2. Доказать, что пятиугольник, получающийся по схеме является правильным.

Рисунок 9.

Построение правильного пятиугольника

 

Оригами может способствовать появлению практико-ориентированных задач в изучении математики. Например, задачи на построение, доказательство, вычисление и исследование. Рассмотрим подробнее это на примерах. Начиная с 7 класса, в школьном курсе геометрии учащиеся начинают изучать задачи на построение, тогда же происходит знакомство с первой правильной фигурой – равносторонним треугольником. Здесь, можно использовать оригами, как возможность построения несколькими способами правильного треугольника. Рассмотрим один из способов.

Рисунок 10.

Построение правильного треугольника

 

Одной из задач, которые предоставляет оригами – это задача на доказательство. Например, по заданной складке доказать, что ΔАGD равносторонний треугольник.

Рисунок 11.

Чертеж для доказательства

 

В ΔАВС: АВ =1, ВС = 1/2, то есть o ∠ВАС = 30°, AD – биссектриса ∠ВАС, то ∠ВАD =15°. Аналогично, o ∠EAF = 30°, o ∠GAF =15°, отсюда ∠FAB =90-2*30 = 30°.

ΔАGD – равнобедренный (AG = AD) и ∠GAD = 60°, то углы при основании равны o 60°, следовательно, ΔАGD – правильный.

Задачи на вычисления можно свести к тому, что при заданной величине стороны квадрата, найти площадь построенного треугольника (если задать величину стороны квадрата), отношение площади данного треугольника к площади квадрата.

Вопрос о том, можно ли разбить правильный треугольник на 6, 8, 10 и так далее правильных треугольников, для учеников может являться задачей для исследования.

Для этого достаточно сторону исходного треугольника разделить на три равные части, затем при помощи складывания построить на этой стороне три правильных треугольника со стороной равной стороны данного, и соединить вершины полученных трех треугольников отрезком прямой. Тем самым правильный треугольник разобьется на 6 правильных треугольников. Таким образом, может возникнуть гипотеза: правильный треугольник можно разбить на любое число n ≥ 6 правильных треугольников.

В результате исследования мы провели опрос среди студентов 1 курса. В анкетировании приняли участие 57 человек. Цель – узнать готовность студентов к использованию техники оригами в решении математических задач.

Вопросы анкеты:

1. Знакомы ли вы с искусством оригами?

2. Вы умеете создавать фигуры в технике оригами?

3. Знаете ли вы, что некоторые задачи по геометрии можно решать с помощью обычного перегибания листа бумаги (оригами)?

4. Трудно вам выполнять наглядное представление геометрических задач при решении?

5. Хотели бы вы совместить свои знания в геометрии с техникой оригами для упрощения изучения геометрии?

Анализ ответов анкетирования позволяет сделать следующие выводы:

 – Среди опрошенных преобладает число обучающихся, которые знакомы с искусством оригами  (82,45%), а 17,54% человек не знают, что это за искусство.

Рисунок 1.
Диаграмма ответов

 

– 52,63% обучающихся ответили, что умеют создавать фигуры в технике «оригами», а 47,36% не увлекаются этим.

Рисунок 2.

Диаграмма ответов

 

–  56,14% обучающихся знают, что некоторые задачи по геометрии можно решать с помощью обычного перегибания листа бумаги (оригами), а 43,85% не знают об этом.

Рисунок 3.
Диаграмма ответов

– Наибольшее количество обучающихся (91,22%) ответили, что им сложно выполнять наглядное представление геометрических задач при решении, и всего 8,77% обучающихся ответили, что совсем не сложно это представить.

Рисунок 4.

Диаграмма ответов

 

–  Большинство обучающихся ответили, что хотели бы совместить свои знания в геометрии с техникой оригами для упрощения изучения геометрии, а 15,78% не желали бы.

Рисунок 5.

Диаграмма ответов

В результате проведенного опроса студенты знакомы с техникой оригами, создавать фигуры, некоторые задачи по геометрии можно решать с помощью обычного перегибания листа бумаги (оригами), им сложно выполнять наглядное представление геометрических задач при решении и поэтому хотели бы совместить свои знания в геометрии с техникой оригами для упрощения изучения геометрии. 

 

Заключение

Искусство оригами – интригующая загадка, и она манит каждого человека невероятными превращениями обыкновенного квадратика бумаги. На первый взгляд техника оригами не представляет сложности: разрезаешь бумагу, складываешь и воплощаешь свою задумку. На самом деле оригами требует трудолюбия, усидчивости, аккуратности, а результат потрясает своей красотой. Это искусство позволяет нам успокоиться, сосредоточиться и отвлечься от своих проблем.

Оригами развивает комбинированное и пространственное мышление, чувство формы, формирует навыки исполнительского мастерства и вырабатывает сложную координацию движений кисти. Сейчас уже доказана связь способности ребёнка и взрослого человека совершать сложно координированные движения пальцами с развитием интеллекта. Самое главное – оригами развивает интуитивное мышление, способность к озарению.

Искусство оригами тесно связано с математикой и может стать хорошей основой для её изучения. В своём исследовании мы рассмотрели решение математических задачи с помощью техники оригами, проверили опрос среди студентов. Цель опроса – выявить готовность студентов к использованию техники оригами в решении математических задач. По результатам опроса мы сделали выводы, что студенты знакомы с техникой оригами, умеют создавать объекты в этой технике, при решении геометрических задач они испытают сложности в наглядном представлении чертежа и поэтому хотели бы совместить свои знания и навыки оригами для упрощения изучения геометрии. 

Занимаясь оригами, мы выявили связь искусства оригами и математики. Гипотеза проекта была подтверждена.