Математическая модель зонирования территории

Содержание

Введение

1. Математическая модель зонирования территории

1.1 Постановка задачи

1.2 Постановка многокритериальной задачи принятия решений

1.3 Принцип Парето-оптимальности

2. Алгоритм построения множества Парето

2.1 Численные методы построения множества Парето

2.2 Описание программы

3. Методика зонирования береговой территории по степени опасности

3.1 Структура методики зонирования береговой территории по степени опасности

3.2 Моделирование данных

Заключение

Список используемых источников

Приложение 1

Приложение 2

Введение

 

Рассмотрим ряд общих моделей природного риска, поскольку понятие риска лежит в основе прикладной задачи зонирования прибрежной территории по степени опасности. Оценка риска () цунами определяется как вероятностная мера потерь, установленная для участка береговой зоны за определенное время :

 

,

 

где  - вероятность опасности цунами,  - вероятность потерь (ущерба) участка береговой зоны при реализации опасности.

Оценка риска цунами сочетает в себе вероятность неблагоприятного события и объем этого события (потери, ущерб, убытки). Эти две "элементарные" меры взаимосвязано фигурируют у субъекта при его действиях в условиях неопределенности (в условиях опасности). Строя комбинации этих элементарных мер, адекватных сложившейся ситуации, субъект оценивает уровень опасности и принимает решение на последующие действия (последнее положение относится к управлению риском).

Такое толкование риска может быть подкреплено совершенно прозрачными логически непротиворечивыми выводами субъекта об опасности, находящегося в одной из трех идеализированных ситуациях.

Первая ситуация. Вероятность события весьма большая, но ущерб субъекту, связанный с этим событием, равен нулю (или бесконечно мал). В этой ситуации субъект ясно понимает, что он не подвергается опасности (риск равен нулю).

Вторая ситуация. Ущерб от возможного события велик, но вероятность его появления равна нулю. Следовательно, опасности нет (риск равен нулю).

Третья ситуация. Вероятность события и ущерб от него равны нулю. Ситуация характеризуется как достоверное отсутствие опасности (абсолютная безопасность).

Во всех других случаях, когда и вероятность события, и ущерб принимают конечные значения, субъект оценивает сложившуюся ситуацию как опасную, характеризуемую соответствующим риском.

Анализ риска начинается с оценки вероятности возникновения природных опасностей и определения ущерба. Выше уже было сказано о моделях оценки опасности возникновения морских наводнений с высотой волны превышающей некоторый порог.

Оценка ущербов от наводнений производится на основе полной стоимости объектов, оказавшихся в зоне поражения, и степени их уязвимости. Под уязвимостью понимается свойство объектов полностью или частично утрачивать способность к выполнению своих функций в результате воздействия опасного природного процесса.

Уязвимость (или состояние повреждения) объекта оценивается по отношению затрат, необходимых для восстановления его прежних функций к полной стоимости объекта, и зависит от качества постройки, инженерно-геологических условий размещения объекта и интенсивности природного воздействия. Величину уязвимости находят исходя из практического опыта - анализа разрушений от имевших место природных катаклизмов или с помощью компьютерного моделирования.

Различают две категории ущербов: прямой и косвенный. Величину прямого ущерба получают умножением уязвимости на стоимость элементов риска в момент воздействия:

 

,

 

где  - величина общего ущерба от событий (наводнений) j -го класса,  - количество элементов (объектов), подвергшихся воздействию,  - уязвимость i -го элемента по отношению к природной опасности j -го класса,  - стоимость i -го элемента.

Косвенные потери определяются главным образом нарушением экономической деятельности в связи с прекращением энергоснабжения, работы транспорта, водоснабжения, поставки продуктов питания и т.д. В отличие от прямого ущерба методика расчета косвенного еще не разработана, но, по мнению специалистов, в ряде случаев он может превышать прямой.

Снижение уровня риска можно добиться путем регулирования природной опасности и уязвимости материальной сферы. При этом управлять природными процессами намного сложнее, чем уязвимостью.

Все мероприятия по управлению природными рисками можно подразделить на три группы:

мероприятия, предусматривающие непосредственное вмешательство в развитие опасного процесса и снижение вероятности или интенсивности его проявления;

мероприятия, направленные на оптимизацию хозяйственной деятельности человека в районах опасности, фундаментальной основой которых являются карты природных опасностей и инженерно-геологического районирования территорий. Снижение уязвимости объектов так же одно из важнейших мероприятий по управлению природной безопасностью;

мероприятия, включающие просветительскую работу с населением, создание системы предупреждения и экстренного реагирования, принятия своевременных управленческих решений и т.д.

Таким образом, приведенная модель риска не может быть единственным критерием, который надо учитывать при решении задачи зонирования территории по степени опасности цунами. Оценка риска может стать лишь одним (хотя возможно основным) критерием, который учитывается при зонировании. Для выбора оптимального местоположения объекта, в каждом конкретном случае, необходимо выделение дополнительных критериев.

Цель исследования: Разработать методику зонирования береговой территории по степени опасности для выделения по нескольким критериям участков побережья, что позволит повысить уровень ее защищенности.

Основные задачи:

1. Обосновать модель зонирования территории по степени опасности.

. Разработать алгоритм и программу для проведения расчетов.

. Разработать методику зонирования и выполнить моделирование комплекса данных для оптимального зонирования защищаемой территории по степени риска в критериях "риск-стоимость" на основе оптимизации границ оценки опасности по множеству Парето.

Методы и модели исследования:

Линейное и математическое программирование, методы анализа данных на основе множества Парето.

Фактический материал:

Модельные данные о риске воздействия цунами на побережье и оценки вероятного ущерба.

Структура работы:

Работа состоит из Введения, трех глав, Заключения, Списка литературы и Приложений.

зонирование территория риск цунами

Постановка задачи

 

Нами рассматривалась следующая задача: на определённой территории заданы две точки: начальное и конечное положение границы безопасности, требуется найти в некотором смысле оптимальный маршрут из начального положения в конечное. При этом территория неоднородна, т.е. различные её подобласти различаются по рельефу, типу экосистем и другим параметрам.

Получить решение описанной задачи достаточно сложно. Эта сложность имеет две составляющие - математическая сложность задачи и проблема исходных данных. Более того, представляется мало возможной разработка алгоритма, способного работать с любыми исходными данными. Таким образом, задачу следует переформулировать с учётом качества имеющихся данных и возможности их получения.

Как можно характеризовать исследуемую область? Традиционный подход заключается в сопоставлении каждой точки территории некоторого набора измеримых либо экспертно оцененных параметров. Далее будем называть этот набор вектором параметров. Однако возможность определения вектора параметров в каждой точке исследуемой области сомнительна. Во-первых, произвести измерения (оценку) в каждой точке физически затруднительно, во-вторых, задание многих параметров в точке лишено смысла - так, если высота над уровнем моря принципиально может характеризовать каждую точку территории, то, например, тип экосистемы характеризует некоторую окрестность точки. Также, следует заметить, что не требуется слишком большая точность определения маршрута (рис.1.1).

Множество полученных пикселей можно представить в виде графа, в котором вершины соответствуют пикселям, а дуги соединяют соседние пиксели. В каждой вершине графа задан вектор параметров. Таким образом, предлагается заменить исходную задачу задачей дискретной оптимизации на графе. При этом искомому маршруту будет соответствовать оптимальный путь в графе.

 

Рис.1.1 Представление в виде графа

 

Геометрия пикселей может влиять на точность решения, но принципиальной роли не играет. Нами были выбраны квадратные пиксели. Соседями пикселя считалась его окрестность фон Неймана (рис.1.2).

 

Рис.1.2 Пример недоминируемых маршрутов

 

Для простоты вектор параметров сводится к двум характеристикам пикселя - стоимости проведения маршрута через данный пиксель, и стоимостной оценке риска связанного с данным пикселем. Любой путь в графе может быть охарактеризован двумя величинами - стоимостью границы зонирования, определяемой как сумма стоимостей всех вершин входящих в путь, и риском, определяемым как сумма стоимостных оценок рисков всех составляющих границу зонирования вершин.

Рассмотрим два пути в графе - p и q. Пусть стоимость маршрута p равна s 1 а стоимость маршрута q - s 2, риск маршрута p равен r 1 а риск маршрута q - r 2.

Будем говорить, что маршрут p доминирует маршрут q, если выполняются следующие условия:

s1 <= s2 и r1 <= r2 причем s1! = s 2 или r 1! = r 2 ( 1.1)

т.е. маршрут p доминирует маршрут q если он лучше по одному из параметров и не хуже по другому параметру.

Введённое определение проиллюстрировано на рис.1.2 На рисунке показаны оценки четырёх маршрутов в пространстве стоимость-риск. Путь c доминирует маршрут b т.к. он дешевле и безопаснее, маршрут c доминирует маршрут a т.к. при равной стоимость он безопасней, но маршруты a и d не доминирует друг друга - маршрут a дешёвый, но опасный, а маршрут d безопасный, но дорогой.

В реальной ситуации существование единственного оптимального маршрута - самого дешевого и одновременно самого безопасного, крайне маловероятно. Вместо этого будет существовать множество недоминируемых маршрутов - так называемое множество Парето. Маршрут принадлежит множеству Парето, если не существует маршрута его доминирующего.

Описание программы

 

Программа для расчета множества Парето написана на языке С++. В файле data. txt хранятся исходные данные о пикселях: порядковый номер пикселя, значения рисков и значения стоимостей. Число пикселей 23. Элементы множества Парето выделяются по определению множества Парето.

При расчете множества Парето в программе осуществляется перебор всех возможных решений.

В результате выполнения программы происходит не более n сравнений решений, где n - число пикселей. Данные организованы в виде списка. Если при сравнении получаем доминируемое решение, то его удаляем из списка и в дальнейшем в сравнении не участвует, что приводит к сокращению числа операций.

Моделирование данных

 

Рассмотрим вариант зонирования береговой территории по степени опасности. Имеется некоторая исследуемая береговая территория. Необходимо выделить оптимальные зоны для расположения (строительства) некоторых гидротехнических объектов, например объектов рыбного промысла.

Структурирование береговой территории. Как можно характеризовать исследуемую область? Традиционный подход заключается в сопоставлении каждой точки территории некоторого набора измеримых либо экспертно оцененных параметров. Далее будем называть этот набор вектором параметров. Однако возможность определения вектора параметров в каждой точке исследуемой области сомнительна.

Во-первых, произвести измерения (оценку) в каждой точке физически затруднительно, во-вторых, задание многих параметров в точке лишено смысла - так, если высота над уровнем моря принципиально может характеризовать каждую точку территории, то, например, тип экосистемы характеризует некоторую окрестность точки.

Изложенные соображения позволяют перейти от решения поставленной непрерывной задачи к решению дискретной задачи. Дискретизация задачи производится следующим образом - исследуемая область разбивается на одинаковые пиксели, каждому из которых сопоставляется определённое значение вектора параметров.

В случае если распределение некоторого параметра внутри пикселя известно, то пикселю сопоставляется среднее по площади значение параметра, если же параметр определяется экспертно, то он определяется для всего пикселя сразу.

Геометрия пикселей может влиять на точность решения, но принципиальной роли не играет. Нами были выбраны квадратные пиксели. Соседями пикселя считалась его окрестность фон Неймана.

Процедура расчета множества Парето. Задача выбора оптимального местоположения некоторого технического объекта можно заменить расчетом множества Парето и выбором экспертом одного или нескольких элементов множества. Число пикселей конечно, следовательно и множество Парето конечно. В этом случае элементы множества Парето можно выделить, используя простой перебор и сравнение решений по определению.

В случае же когда пиксель можно охарактеризовать двумя параметрами, данная задача может быть решена графически. После расчета множества Парето эксперт выделяет те пиксели, которые оптимальны для использования, например пиксели, значения параметров которых попадают в некоторый определенный экспертом интервал.

Для расчета множества Парето была разработана программа на языке C++, осуществляющая перебор и сравнение всех возможных решений. В результате выполнение алгоритма происходит не более  сравнений решений, где  - число пикселей. Данные организованы в виде списка. Если при сравнении получаем доминируемое решение, то оно удаляется из списка и в дальнейшем в сравнении не участвует, что приводит к сокращению числа операций.

База данных. Исходные данные хранятся в файле "data. txt". Каждому пикселю соответствует три позиции:

порядковый номер пикселя;

оценка стоимости строительства объекта (в эту оценку может помимо непосредственной стоимости строительства объекта на рассматриваемом участке также включаться стоимость строительства дорог необходимых для функционирования объекта, стоимость вырубленных лесов и т.д.);

оценка риска возникновения цунами, приводящего к разрушению объекта.

Рассмотренная модельная береговая территория была разбита на 23 пикселя. В соответствие каждому пикселю поставлены значения двух (упомянутых выше) характеристик (критериев):

стоимость строительных работ (определяется в десятибалльной системе),

риск возникновения цунами сейсмической природы с высотой волны превышающей некоторый критический уровень в течение некоторого промежутка лет.

Заключение

 

Выполнено обоснование модели зонирования территории по степени опасности. Разработаны алгоритм и программа для проведения расчетов.

Разработана методика зонирования защищаемых территории по степени опасности наводнений. Методика основана на технологии расчета множества Парето, по которому в дальнейшем эксперт выбирает оптимальный участок для строительства гидротехнических объектов.

Приведен пример зонирования береговой территории по степени опасности. Предлагаемое алгоритмическое и методическое обеспечение позволяет повысить эффективность защищаемых мероприятий для береговых территорий в критериях "риск-стоимость".

Приложение 1

 

Листингпрограммы

#include <stdio. h>

#include <conio. h>node

{N; // Порядковый номер пикселяR; // Оценка рискаC; // Стоимость*r,*l;

};*left, *right;In ()

{N,C;R;*p, *q;*f;= fopen ("data. txt","r"); // Считываем данные из файла(f == NULL)

{("Error! File data. txt not found! \n"); // ошибка();false;

}= left;(! feof (f))

{(f,"%d%f%d",&N,&R,&C);= new node;>N = N;>R = R;>C = C;>l = NULL;>r = NULL;(q == NULL)

{= p;= p;= p;

}(q == left)

{>r = p;>l = left;= p;

}

{>r = p;>l = q;= p;

}

}= q;(f);true;

}Delete (int N)

{*n, *p;= left;(n! = NULL)

{(n->N == N)

{(n == left && n == right) // в списке один элемнт

{= NULL;= NULL;n;true;

}(n == left) // удаляем первый элемент

{= n->r;>l = NULL;n;true;

}(n == right) // удаляем правый элемент

{= n->l;>r = NULL;n;true;

}

// удаляем из середины= n->r;>l = n->l;>l->r = p;n;true;

}= n->r;

}false;

}*Delete (node *n)

{*p;(n == left && n == right) // в списке один элемнт

{= NULL;= NULL;= NULL;n;p;

}(n == left) // удаляем первый элемент

{= n->r;>l = NULL;= n->r;n;p;

}(n == right) // удаляем правый элемент

{= n->l;>r = NULL;= NULL;n;p;

}

// удаляем из середины= n->r;>l = n->l;>l->r = p;n;p;

}Out ()

{*n;= left;(n! = NULL)

{("N = %dR = %.2f C = %d\n",n->N,n->R, n->C);= n->r;

// …. …………………. Расчет множества парето………………………….main ()

{k;= NULL;= NULL;*n,*p;();();= left;(n! = NULL)

{= left;(p! = NULL)

{= 0;(n->C < p->C) // сравнение значений стоимости++;(n->C > p->C)=-10;(n->R < p->R) // сравнение значений риска++;(n->R > p->R)=-10;(k > 0)= Delete (p);= p->r;

}= n->r;

}("\nAfter pareto: \n");();();0;

}

Приложение 2

 

Описание данных

Порядковый номер пикселя, N	Риск, R	Стоимость, C
1	0.1	5
2	0.1	5
3	0.2	4
4	0.2	9
5	0.2	5
6	0.2	5
7	0.3	4
8	0.4	5
9	0.1	6
10	0.2	8
11	0.3	5
12	0.2	8
13	0.1	5
14	0.2	8
15	0.5	6
16	0.2	5
17	0.1	6
18	0.2	7
19	0.3	4
20	0.4	8
21	0.3	5
22	0.4	5
23	0.1	9

 

Содержание

Введение

1. Математическая модель зонирования территории

1.1 Постановка задачи

1.2 Постановка многокритериальной задачи принятия решений

1.3 Принцип Парето-оптимальности

2. Алгоритм построения множества Парето

2.1 Численные методы построения множества Парето

2.2 Описание программы

3. Методика зонирования береговой территории по степени опасности

3.1 Структура методики зонирования береговой территории по степени опасности

3.2 Моделирование данных

Заключение

Список используемых источников

Приложение 1

Приложение 2

Введение

 

Рассмотрим ряд общих моделей природного риска, поскольку понятие риска лежит в основе прикладной задачи зонирования прибрежной территории по степени опасности. Оценка риска () цунами определяется как вероятностная мера потерь, установленная для участка береговой зоны за определенное время :

 

,

 

где  - вероятность опасности цунами,  - вероятность потерь (ущерба) участка береговой зоны при реализации опасности.

Оценка риска цунами сочетает в себе вероятность неблагоприятного события и объем этого события (потери, ущерб, убытки). Эти две "элементарные" меры взаимосвязано фигурируют у субъекта при его действиях в условиях неопределенности (в условиях опасности). Строя комбинации этих элементарных мер, адекватных сложившейся ситуации, субъект оценивает уровень опасности и принимает решение на последующие действия (последнее положение относится к управлению риском).

Такое толкование риска может быть подкреплено совершенно прозрачными логически непротиворечивыми выводами субъекта об опасности, находящегося в одной из трех идеализированных ситуациях.

Первая ситуация. Вероятность события весьма большая, но ущерб субъекту, связанный с этим событием, равен нулю (или бесконечно мал). В этой ситуации субъект ясно понимает, что он не подвергается опасности (риск равен нулю).

Вторая ситуация. Ущерб от возможного события велик, но вероятность его появления равна нулю. Следовательно, опасности нет (риск равен нулю).

Третья ситуация. Вероятность события и ущерб от него равны нулю. Ситуация характеризуется как достоверное отсутствие опасности (абсолютная безопасность).

Во всех других случаях, когда и вероятность события, и ущерб принимают конечные значения, субъект оценивает сложившуюся ситуацию как опасную, характеризуемую соответствующим риском.

Анализ риска начинается с оценки вероятности возникновения природных опасностей и определения ущерба. Выше уже было сказано о моделях оценки опасности возникновения морских наводнений с высотой волны превышающей некоторый порог.

Оценка ущербов от наводнений производится на основе полной стоимости объектов, оказавшихся в зоне поражения, и степени их уязвимости. Под уязвимостью понимается свойство объектов полностью или частично утрачивать способность к выполнению своих функций в результате воздействия опасного природного процесса.

Уязвимость (или состояние повреждения) объекта оценивается по отношению затрат, необходимых для восстановления его прежних функций к полной стоимости объекта, и зависит от качества постройки, инженерно-геологических условий размещения объекта и интенсивности природного воздействия. Величину уязвимости находят исходя из практического опыта - анализа разрушений от имевших место природных катаклизмов или с помощью компьютерного моделирования.

Различают две категории ущербов: прямой и косвенный. Величину прямого ущерба получают умножением уязвимости на стоимость элементов риска в момент воздействия:

 

,

 

где  - величина общего ущерба от событий (наводнений) j -го класса,  - количество элементов (объектов), подвергшихся воздействию,  - уязвимость i -го элемента по отношению к природной опасности j -го класса,  - стоимость i -го элемента.

Косвенные потери определяются главным образом нарушением экономической деятельности в связи с прекращением энергоснабжения, работы транспорта, водоснабжения, поставки продуктов питания и т.д. В отличие от прямого ущерба методика расчета косвенного еще не разработана, но, по мнению специалистов, в ряде случаев он может превышать прямой.

Снижение уровня риска можно добиться путем регулирования природной опасности и уязвимости материальной сферы. При этом управлять природными процессами намного сложнее, чем уязвимостью.

Все мероприятия по управлению природными рисками можно подразделить на три группы:

мероприятия, предусматривающие непосредственное вмешательство в развитие опасного процесса и снижение вероятности или интенсивности его проявления;

мероприятия, направленные на оптимизацию хозяйственной деятельности человека в районах опасности, фундаментальной основой которых являются карты природных опасностей и инженерно-геологического районирования территорий. Снижение уязвимости объектов так же одно из важнейших мероприятий по управлению природной безопасностью;

мероприятия, включающие просветительскую работу с населением, создание системы предупреждения и экстренного реагирования, принятия своевременных управленческих решений и т.д.

Таким образом, приведенная модель риска не может быть единственным критерием, который надо учитывать при решении задачи зонирования территории по степени опасности цунами. Оценка риска может стать лишь одним (хотя возможно основным) критерием, который учитывается при зонировании. Для выбора оптимального местоположения объекта, в каждом конкретном случае, необходимо выделение дополнительных критериев.

Цель исследования: Разработать методику зонирования береговой территории по степени опасности для выделения по нескольким критериям участков побережья, что позволит повысить уровень ее защищенности.

Основные задачи:

1. Обосновать модель зонирования территории по степени опасности.

. Разработать алгоритм и программу для проведения расчетов.

. Разработать методику зонирования и выполнить моделирование комплекса данных для оптимального зонирования защищаемой территории по степени риска в критериях "риск-стоимость" на основе оптимизации границ оценки опасности по множеству Парето.

Методы и модели исследования:

Линейное и математическое программирование, методы анализа данных на основе множества Парето.

Фактический материал:

Модельные данные о риске воздействия цунами на побережье и оценки вероятного ущерба.

Структура работы:

Работа состоит из Введения, трех глав, Заключения, Списка литературы и Приложений.

зонирование территория риск цунами

Математическая модель зонирования территории

 

Постановка задачи

 

Нами рассматривалась следующая задача: на определённой территории заданы две точки: начальное и конечное положение границы безопасности, требуется найти в некотором смысле оптимальный маршрут из начального положения в конечное. При этом территория неоднородна, т.е. различные её подобласти различаются по рельефу, типу экосистем и другим параметрам.

Получить решение описанной задачи достаточно сложно. Эта сложность имеет две составляющие - математическая сложность задачи и проблема исходных данных. Более того, представляется мало возможной разработка алгоритма, способного работать с любыми исходными данными. Таким образом, задачу следует переформулировать с учётом качества имеющихся данных и возможности их получения.

Как можно характеризовать исследуемую область? Традиционный подход заключается в сопоставлении каждой точки территории некоторого набора измеримых либо экспертно оцененных параметров. Далее будем называть этот набор вектором параметров. Однако возможность определения вектора параметров в каждой точке исследуемой области сомнительна. Во-первых, произвести измерения (оценку) в каждой точке физически затруднительно, во-вторых, задание многих параметров в точке лишено смысла - так, если высота над уровнем моря принципиально может характеризовать каждую точку территории, то, например, тип экосистемы характеризует некоторую окрестность точки. Также, следует заметить, что не требуется слишком большая точность определения маршрута (рис.1.1).

Множество полученных пикселей можно представить в виде графа, в котором вершины соответствуют пикселям, а дуги соединяют соседние пиксели. В каждой вершине графа задан вектор параметров. Таким образом, предлагается заменить исходную задачу задачей дискретной оптимизации на графе. При этом искомому маршруту будет соответствовать оптимальный путь в графе.

 

Рис.1.1 Представление в виде графа

 

Геометрия пикселей может влиять на точность решения, но принципиальной роли не играет. Нами были выбраны квадратные пиксели. Соседями пикселя считалась его окрестность фон Неймана (рис.1.2).

 

Рис.1.2 Пример недоминируемых маршрутов

 

Для простоты вектор параметров сводится к двум характеристикам пикселя - стоимости проведения маршрута через данный пиксель, и стоимостной оценке риска связанного с данным пикселем. Любой путь в графе может быть охарактеризован двумя величинами - стоимостью границы зонирования, определяемой как сумма стоимостей всех вершин входящих в путь, и риском, определяемым как сумма стоимостных оценок рисков всех составляющих границу зонирования вершин.

Рассмотрим два пути в графе - p и q. Пусть стоимость маршрута p равна s 1 а стоимость маршрута q - s 2, риск маршрута p равен r 1 а риск маршрута q - r 2.

Будем говорить, что маршрут p доминирует маршрут q, если выполняются следующие условия:

s1 <= s2 и r1 <= r2 причем s1! = s 2 или r 1! = r 2 ( 1.1)

т.е. маршрут p доминирует маршрут q если он лучше по одному из параметров и не хуже по другому параметру.

Введённое определение проиллюстрировано на рис.1.2 На рисунке показаны оценки четырёх маршрутов в пространстве стоимость-риск. Путь c доминирует маршрут b т.к. он дешевле и безопаснее, маршрут c доминирует маршрут a т.к. при равной стоимость он безопасней, но маршруты a и d не доминирует друг друга - маршрут a дешёвый, но опасный, а маршрут d безопасный, но дорогой.

В реальной ситуации существование единственного оптимального маршрута - самого дешевого и одновременно самого безопасного, крайне маловероятно. Вместо этого будет существовать множество недоминируемых маршрутов - так называемое множество Парето. Маршрут принадлежит множеству Парето, если не существует маршрута его доминирующего.