Изображение простейших процессов на P-V, T-S и i-S диаграммах. Вычисление параметров водяного пара с помощью I-S диаграммы.

Аналитическое определение работы(А) теплоты(q) и внутренней энергии (U) трудоемко из-за того, что к пару - реальному газу, применимы только уравнения состояния реального газа, имеющие сложный вид (например, уравнение Вукаловича – Новикова).

С помощью i-S диаграммы этот процесс значительно упрощается, т.к. сводится к снятию ряда параметров с i-S диаграммы и последующему решению простых уравнений.

Для общности результатов рассмотрим процессы, переходящие из области влажного насыщенного пара в область перегретого пара (или наоборот).

 

а) Изохорный процесс

      

qv = ΔUv

Av = 0

         

 

ΔUv = U2 – U1 = (i2 – P2V) – (i1 – P1V)

Значения удельных энтальпий i₁ и i₂, а также Р₁ и Р₂ снимают с диаграммы I-S.

б) Изобарный процесс

qp = i2 – i1

Ap = P(V2 – V1)

 

 

 

Значения удельных энтальпий i₁ и i₂, а также V₁ и V₂ снимаются с i-S диаграммы.

ΔUp = (i2 – PV2) – (i1 – PV1)

в) Изотермический процесс

Ат = qт – Δ Uт

qт = Tн 1 (S2 – S1)

 

 

 

 

Значения i₁ и i₂, а также Р₁ и Р₂, V₁ и V₂, S₁ и S₂ снимают с i-S диаграммы. 

 

        

ΔUт = (i2 – P2 V2) – (i1 – P1 V1)

 

В отличии от идеального газа у водяного пара ΔU_т не равно нулю и это неравенство объясняется затратами внутренней энергии на совершение работы дисгрегации по преодолению сил сцепления между молекулами жидкости при парообразовании.

 

 

г ) Адиабатный процесс

dqS = 0

AS = -ΔUS

 

 

       Значения i₁ и i_2, а также Р₁ и Р₂, V₁ и V₂, S₁ и S₂ снимаются с i - S диаграммы.

 

 

ΔUS = (i2 – P2V2) – (i1 – P1V1)

 

В P - V диаграмме адиабата в области перегретого пара описывается уравнением

PV^k = const, где k =1,3

    В области влажного насыщенного пара при x ≥ 0,7 адиабата также описывается уравнением PV^k = const, но показатель адиабаты принимается значением

k=1,035 +0,1х.

Для сухого насыщенного пара k=1,135.

На практике показатель адиабаты k берется одним значением, которое определяется аналогично показателю политропы по двум точкам:

  ,

д) Процесс при постоянной степени сухости

 В отличии от газов у водяного пара есть еще один дополнительный изопроцесс, а именно процесс, протекающий в области влажного насыщенного пара при постоянном значении х.

Ax = qx – ΔUx

 

При получении приближенной формулы для q_x линия x=const в области влажного насыщенного пара между точками 1 и 2 на T - S диаграмме принята прямой.

Значения i₁ и i₂ а также Р₁ и Р₂, V₁ и V₂, S₁ и S₂ снимают с i - S диаграммы.

Ux = (i2 – P2V2) – (i1 – P1V1)

7. Примеры решения задач

№1. Определить состояние водяного пара, если давление его p = 0,6 МПа, а удельный объем v = 0,3 м³/кг.

Решение

 

Давлению 0,6 МПа должен соответствовать удельный объем сухого насыщенного пара v ″ = 0,3156м³/кг. Так как для заданного состояния v ″ > v, то пар является влажным. Степень сухости его из уравнения для V_x

,

или по приближенной формуле

.

Таким образом, расчет по приближенной формуле для данного случая весьма точен.

 

№2. Определить внутреннюю энергию сухого насыщенного пара при p = 1,5МПа.

Решение

Для сухого насыщенного пара

.

По таблице насышенного водяного пара (вход по давлению):

;

Следовательно,

 

 

№3. Определить энтальпию и внутреннюю энергию влажного насыщенного пара при p =1,3МПа и степени сухости пара x =0,98.

 

Решение

Для влажного насыщенного пара

По таблицам насыщенного водяного пара (вход по давлению) находим

i ′= 814,5кДж/кг; r =1973кДж/кг;

v ″=0,1512м³/кг,

отсюда

 кДж/кг

Удельный объем влажного пара определяется по приближенной формуле:

.

Из формулы для i_x влажного насыщенного пара имеем

 

№4. Найти энтропию влажного насыщенного пара p = 2,4 МПа и x = 0,8.

Решение

Для влажного насыщенного пара

По таблице насыщенного водяного пара (вход по давлению) находим

 кДж/(К×кг);  кДж/(К×кг),

отсюда

 .

 

№5. Найти массу, внутреннюю энергию, энтальпию и энтропию 6 м³ насыщенного водяного пара при давлении p = 1,2 МПа и сухости пара x =0,9.

Решение

Удельный объем влажного насыщенного пара по приближенной формуле

v_x = x v ² _x = 0,1633×0,9 = 0,147 м³/кг.

Масса пара

 .

Внутренняя энергия пара

 .

Энтальпия пара

 .

Следовательно,

 .

Энтропия пара

 

№6. Водяной пар имеет параметры

, .

Определить значения остальных параметров.

Решение

Так как температура пара больше критической, то пар приприведенных параметров перегретый. По таблице перегретого пара находим

; ;

.

 

 

Плотность пара

.

Внутреннюю энергию пара определяем из общей зависимости

 

№7. Определить количество теплоты, затрачиваемой на перегрев 1кг сухого насыщенного пара при 9 МПа до 500°С.

Решение

 

Из таблицы насыщенного водяного пара (вход по давлению) находим

; .

Следовательно, теплота изобарного перегрева пара

№8. В паровом котле объемом V=12м³ находится 1800 кг воды и пара при давлении 11 МПа и температуре насыщения.

Определить массы воды и сухого насыщенного пара, находящиеся в котле.

Решение

Обозначим массы воды и пара соответственно через М_в и М_п (в кг). Удельный объем кипящей воды равен , а удельный объем сухого насыщенного пара - . Следовательно, объем, занимаемый водой,

,

а объем, занимаемый паром,

,

суммарный объем

.

Но так как

,

То

.

Из этого выражения

.

Из таблице насыщенного водяного пара получаем

.

Следовательно, масса пара

,

а масса воды

.

Задача может быть решена и другим путем. Если в паровом котле при рассматриваемых условиях находилась бы только вода, то ее масса

.

В действительности масса воды меньше на

,

так как плотность воды при давлении 11 МПа больше плотности пара при том же давлении на

.

Следовательно, объем пара в котле

,

а его масса

.

Вода занимает объем

,

следовательно, ее масса

.

 

№9. Задано состояние пара:

p=1,6МПа; x=0,96.

Определить остальные параметры, пользуясь диаграммой, и сравнить их со значениями этих же параметров, вычисленных с помощью таблиц водяного пара и соответствующих формул.

Решение

На диаграмме is находим точку С _x, характеризующую данное состояние. Проектируя ее соответственно на ось ординат и ось абсцисс, находим значения i_x =2716кДж/кг и s_x =6,26кДж/(кг×К). Величина удельного объема пара определяются по значению изохоры, проходящей через точк . Для определения температуры пара нужно от точки C_x подняться по изобаре  до верхней пограничной кривой (точка C ²). Через эту точку проходит изотерма ; эта температура и является температурой насыщенного пара при давлении 1,6 МПа.

Сопоставим полученные значения со значениями этих же параметров, вычисленных при помощи таблиц водяного пара и соответствующих формул.

 

 

По таблице насыщенного водяного пара (вход по давлению) для пара при давлении 1,6МПа находим

; ;

; ;

.

Энтальпию пара определяем по формуле (187):

.

Энтропию влажного насыщенного пара вычисляем по формуле:

Значение удельного объема находим по приближенной формуле:

.

Как видно, совпадение значений параметров вполне удовлетворительное.

 

№10 В закрытом сосуде содержится 1м³ сухого насыщенного пара при давлении 1 МПа. Определить давление, степень сухости пара и количество отданной им теплоты, если он охладился до 60 °С.

 

Решение

Пользуясь таблицами насыщенного водяного пара (по температуре) получаем при t ₂=60 °С давление пара p =0,019917 МПа.

Так как процесс происходит при постоянном объеме, то с помощью таблиц насыщенного водяного пара (вход по давлению) при p=1,0МПа находим:

.

По уравнению ,   откуда

 .

Пользуясь таблицей насыщенного водяного пара (вход по температуре), находим  при t₂=60°С

   и

И таким образом

.

Количество теплоты в изохорном процессе вычисляется по формуле .

Определяем значения внутренней энергии пара в начале и в конце процесса:

.

Значение i ₂ находим по формуле (187):

,

Следовательно,

Таким образом,

Так как в рассматриваемом процессе участвует 1м³ пара и плотность его по таблице насыщенного водяного пара (вход по давлению) при p =1 МПа r²=5,139 кг/м³, то

 

№11. В паровом котле находится 8250 кг пароводяной смеси с паросодержанием x = 0,0015 при давлении 0,4 МПа.

Сколько времени необходимо для поднятия давления до 1 МПа при закрытых вентилях, если пароводяной смеси сообщается 18 МДж/мин?

Решение

Удельный объем пароводяной смеси в начальном состоянии:

.

Конечно содержание пара определяется из условия задачи:

v ₂ = v_{x 1}

При давлении P ₂=1,0МПа по таблицам насыщенного водяного пара

Т.к. v ₂ ² > v ₂ , то в конечном состоянии пар является влажным насыщенным, т.е. v ₂ = v_{x 2}, и тогда:

 .

Так как изменения состояния пароводяной смеси происходит при постоянно объеме, то количество теплоты, необходимой для поднятия давления до 1 МПа, по уравнению (201) составит

 .

Определяем энтальпию пара в начальном и конечном состояниях:

 ;

 .

Следовательно,

Время, необходимое для поднятия давления до 1 МПа при закрытых вентилях, составляет

 

№12. Влажный пар имеет при давлении p = 1,5 МПа паросодержание x =0,80.

Какое количество теплоты нужно сообщить 1 кг данного пара, чтобы довести его степень сухости при постоянном давлении до x ₂ = 0,95.

Решение

Количество теплоты в изобарном процессе

 .

Для рассматриваемого случая

 ;

Значения i ¢  и r берутся из таблиц насыщенного водяного пара (вход по давлению).

 .

 

№13. 1 кг водяного пара при p = 1 МПа и t ₁ = 240°С нагревается при постоянном давлении до 320°С.

Определить затраченное количество теплоты, работу расширения и изменение внутренней энергии пара.

Решение

Количество теплоты изобарном процессе

 .

По таблице насыщенного водяного пара (вход по давлению) определяем t _нас для p = 1,0МПа.

Так как при p = 1 МПа температура насыщения t _н = 179,88°С, то пар в исходном и конечном состояниях перегретый. Пользуясь таблицами перегретого пара, получаем

 .

Работа расширения определяется по формуле

 ,

или, пользуясь табл. XV,

 .

Изменение внутренней энергии проще всего определяется из уравнения первого закона термодинамики:

 .

 

№14. Энтальпия влажного насыщенного пара при давлении p _i = 1,4 МПа составляет i _x = 2705 кДж/кг.

Как изменится степень сухости пара, если к 1 кг его будет подведено 40 кДж теплоты при постоянном давлении?

Решение

Определяем начальную степень сухости пара из равенства:

Из таблиц насыщенного водяного пара при p = 1,4 МПа:

следовательно,

 .

Конечную степень сухости пара определяем из равенства:

 ,

из этого получаем

 .

 

№15. Из парового котла поступает в пароперегреватель 2700 кг/ч пара при p =1,6 МПа и х =0,98. Температура пара после пароперегревателя равна

400°С.

Найти количество теплоты, которое пар получает в пароперегревателе при изобарном пароперегреве, и отношение диаметров паропроводов до и после пароперегревателя, считая скорости пара в них одинаковыми.

Решение

Количество теплоты, которое нужно затратить для превращения 1 кг пара заданных начальных параметров в перегретый пар,

 .

В нашем случае q_р= i ₂- i_{x 1}, где i_{x 1} = i ¢ ₁+ r ₁ x

Пользуясь таблицами насыщенного и перегретого пара, находим

 .

Общее количество теплоты

 .

Определяем значения удельного объема пара до (v ₁) и после (v ₂) пароперегревателя:

 .

Пользуясь таблицами перегретого пара, получаем

 .

Как известно, уравнение неразрывности для установившегося течения жидкости или газа имеет вид:

.

Обозначая сечения трубопровода до и после пароперегревателя соответственно через F₁ и F₂ и скорость протекания пара в них через ω, получаем

или

 ,

а также

 .

 

№16. От 1кг водяного пара с начальными параметрами p _i=1,6МПа и v ₁=0,15м³/кг отводится теплота при p = const. При этом в одном случае конечный объем v ₂=0,13 м³/кг, а в другом - v ₂=0,10 м³/кг.

Определить конечные параметры, количество теплоты, участвующей в процессе, работу и изменение внутренней энергии.

Решение

Первый случай.

Определяем состояние пара. По таблице насыщенного водяного пара для p =1,6 МПа находим v ₁ ″=0,1238м³ /кг.

Так как v ₁> v ² ₁, то пар в начальном состоянии перегретый.

Для конечного состояния имеем v ₂=0,13м³/кг; v ₂ ″ =0,1238м³/кг, т.е. v ₂> v ² ₂ , следовательно, пар остается перегретым.

Определяем начальную и конечную температуру пара. По табл. перегретого пара, интерполируя между v =0,1452м³/кг и v =0,1519м³/кг, p =1,6 МПа, t = 280° С находим t ₁=274°С.Конечная температура перегретого пара для v ₂=0,13м³/кг и p =1,6МПа равна t ₂=218°С.

Количество теплоты в процессе

.

По таблицам перегретого пара

; ,

Следовательно,

Работа пара в изобарном:

.

Изменение внутренней энергии находим из уравнения первого закона термодинамики:

.

Второй случай. Так как

,

то пар в конечном состоянии влажный насыщенный, т.с. v ₂ = v_{x 2}

Определяем степень сухости пара

,

Откуда

Температуру пара определяем по таблицам насыщенного пара для давления : t ₂₌ t _нас2

Количество теплоты в процессе

.

Пользуясь таблицами насыщенного водяного пара получаем

.

Таким образом,

.

Работа пара в изобарном процессе

.

Изменение внутренней энергии

.

 

№17. 2 кг пара, занимающие при p = 0,8 МПа объем V =0,15 м³, изотермически расширяются до V ₂=0,35 м³.

Определить работу расширения, количество подведенной теплоты и степень сухости пара.

Решение

Определяем удельный объем пара:

 ;

 .

По таблицам насыщенного водяного пара находим при p =0,8 МПа удельный объем  .

Так как v ₁ меньше v ₁″, то пар в начальном состоянии влажный насыщенный. Рассматриваемый изотермический процесс, протекающий в области влажного насыщенного пара, одновременно является процессом изобарным, следовательно v ₁ ′= v ₂ ′, v ₁ ″= v ₂ ″, i ₁ ′= i ₂ ′, S ₁ ′= S ₂ ′  и S ₁ ″= S ₂ ″. Т.к. v ₂< v ₂″, то пар в конечном состоянии также является влажным насыщенным. Степень сухости в начальном и конечном состояниях:

 ;

 .

Работа расширения и количество подведенной теплоты в нашем случае определяются по формулам изобарного процесса:

 .  .

Количество подведенной теплоты может быть также определено по формуле изотермического процесса:

 ,

где Т=Т_нас в К при данном давлении P =0,8 МПа;

s ₁ и s ₂ – энтропия влажного насыщения пара в начальном и конечном состояниях, определяемая по уравнениям.                   

 ;

 ;

Т.к. S ₁′= S ₂′= S ′ и S₁ ″= S₂″=S″, то

 ,

где  и  - энтропии кипящей воды и сухого насыщенного пара при данном давлении Р =0,8 МПа.

Таким образом,

 .

I-S диаграмма водяного пара

 

 

                                                                                                                           

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

1. В.Н. Диденко, О.И. Варфоломеева. Фазовые переходы. Методическое пособие.

-Ижевск, 2003.

2. Кудйнов В.А., Карташов Э.М. Техническая термодинамика. - М.: Высшая школа, 2000. - 262 с.

3. Теплотехника./Под ред. Луканина В.Н. - М.: Высшая школа, 1999. - 672с.

4. Лариков Н.Н. Теплотехника. - М.: Стройиздат, 1985. -432с.

5. Рабинович – Сборник задач по математике.

Дополнительная:

1. Болгарский А.В., Мухачев Г.А., Щукин В.К. Термодинамика и теплопередача. -М.: Высшая школа, 1975. - 496 с.

2. Юдаев Б.Н. Техническая термодинамика и теплопередача. - М.: Высшая школа,

1982.