Перемещение при равноускоренном движении

Задачи:

Обучающая:

· сформировать понятие перемещения при прямолинейном равноускоренном движении с учётом существования причинно-следственных связей;

· рассмотреть графическое представление равноускоренного движения и отработать решение задач на нахождение параметров равноускоренного движения с применением формул;

· сформировать практические умения применять знания в конкретных ситуациях.

Развивающая:

· развивать умение читать и строить графики зависимости перемещения, скорости и ускорения от времени при равноускоренном движении;

· развивать речь учащихся через организацию диалогического общения на уроке;

· развивать и поддерживать внимание учащихся через смену учебной деятельности.

Воспитательная:

· воспитывать познавательный интерес, любознательность, активность, аккуратность при выполнении заданий, интерес к изучаемому предмету.

Ход урока.

ü Орг. Момент

Приветствие учащихся. Знакомство с ними. Запись в классный журнал отсутствующих учеников. Сообщение темы урока. Запись ее на доске и в тетрадях учащихся.

ü Актуализация знаний.

Перед тем как мы продолжим изучение данного материала, давайте вспомним и повторим ранее изученное.

ü Какое движение называют равномерным, прямолинейным?

ü Что называют скоростью равномерного движения?

ü В каких единицах измеряют скорость?

ü Как перевести скорость из км/ч в м/с.

ü В каких случаях проекция скорости равномерного движения на ось положительна, в каких отрицательна?

Анализ самостоятельной работы.

Проверка домашнего задания

Перемещение при разгоне и торможении тела

Все перечисленные выше формулы работают, если направление вектора ускорения и вектора скорости совпадают (а ↑↑ v). Если векторы имеют противоположное направление (а ↑↓ v), движение следует описывать в два этапа:

Этап торможения

Время торможения равно разности полного времени движения и времени второго этапа:

t₁ = t – t₂

Когда тело тормозит, через некоторое время t₁ оно останавливается. Поэтому скорость в момент времени t₁ равна 0:

0 = v₀₁ – at₁

При торможении перемещение s₁ равно:

Этап разгона

Время разгона равно разности полного времени движения и времени первого этапа:

t₂ = t – t₁

Тело начинает разгоняться сразу после преодоления нулевого значения скорости, которую можно считать начальной. Поэтому скорость в момент времени t₂ равна:

v = at₂

При разгоне перемещение s₂ равно:

 

При этом модуль перемещения в течение всего времени движения равен:

s = | s₁ – s₂ |

Полный путь (обозначим его l), пройденный телом за оба этапа, равен:

l = s₁ + s₂

Пример №3. Мальчик пробежал из состояния покоя некоторое расстояние за 5 секунд с ускорением 1 м/с². Затем он тормозил до полной остановки в течение 2 секунд с другим по модулю ускорением. Найти этот модуль ускорения, если его тормозной путь составил 3 метра.

В данном случае движение нужно разделить на два этапа, так как мальчик сначала разогнался, потом затормозил. Тормозной путь будет соответствовать второму этапу. Через него мы выразим ускорение:

Из первого этапа (разгона) можно выразить конечную скорость, которая послужит для второго этапа начальной скоростью:

v₀₂ = v₀₁ + a₁t₁ = a₁t₁ (так как v₀₁ = 0)

Подставляем выраженные величины в формулу:

График пути

График пути от времени в случае равноускоренного движения совпадает с графиком проекции перемещения, так как s = l.

В случае с равнозамедленным движением график пути представляет собой линию, поделенную на 2 части:

§ 1 часть — до момента, когда скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть графика является частью параболы от начала координат до ее вершины.

§ 2 часть — после момента, при котором скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть является ветвью такой же, но перевернутой параболы. Ее вершина совпадает с вершиной предыдущей параболы, но ее ветвь направлена вверх.

Такой вид графика (возрастающий) объясняется тем, что путь не может уменьшаться — он либо не меняется (в состоянии покоя), либо растет независимо от того, в каком направлении, с какой скоростью и с каким ускорением движется тело.

Пример №7. По графику пути от времени, соответствующему равноускоренному прямолинейному движению, определить ускорение тела.

 

При равноускоренном прямолинейном движении графиком пути является ветвь параболы. Поэтому наш график — красный. График пути при равноускоренном прямолинейном движении также совпадает с графиком проекции его ускорения. Поэтому для вычисления ускорения мы можем использовать эту формулу:

Для расчета возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 c. Ей соответствует путь, равный 5 м. Значит, перемещение тоже равно 5 м. Подставляем известные данные в формулу:

Задачи:

Обучающая:

· сформировать понятие перемещения при прямолинейном равноускоренном движении с учётом существования причинно-следственных связей;

· рассмотреть графическое представление равноускоренного движения и отработать решение задач на нахождение параметров равноускоренного движения с применением формул;

· сформировать практические умения применять знания в конкретных ситуациях.

Развивающая:

· развивать умение читать и строить графики зависимости перемещения, скорости и ускорения от времени при равноускоренном движении;

· развивать речь учащихся через организацию диалогического общения на уроке;

· развивать и поддерживать внимание учащихся через смену учебной деятельности.

Воспитательная:

· воспитывать познавательный интерес, любознательность, активность, аккуратность при выполнении заданий, интерес к изучаемому предмету.

Ход урока.

ü Орг. Момент

Приветствие учащихся. Знакомство с ними. Запись в классный журнал отсутствующих учеников. Сообщение темы урока. Запись ее на доске и в тетрадях учащихся.

ü Актуализация знаний.

Перед тем как мы продолжим изучение данного материала, давайте вспомним и повторим ранее изученное.

ü Какое движение называют равномерным, прямолинейным?

ü Что называют скоростью равномерного движения?

ü В каких единицах измеряют скорость?

ü Как перевести скорость из км/ч в м/с.

ü В каких случаях проекция скорости равномерного движения на ось положительна, в каких отрицательна?

Анализ самостоятельной работы.

Проверка домашнего задания

Перемещение при равноускоренном движении

Вспом­ним ос­нов­ные опре­де­ле­ния про­шло­го урока:

- рав­но­уско­рен­ным на­зы­ва­ют такое дви­же­ние, при ко­то­ром тело за любые рав­ные про­ме­жут­ки вре­ме­ни из­ме­ня­ет свою ско­рость на оди­на­ко­вую ве­ли­чин у;

- уско­ре­ни­ем на­зы­ва­ют от­но­ше­ние из­ме­не­ния ско­ро­сти тела ко вре­ме­ни, за ко­то­рое это из­ме­не­ние про­изо­шло;

- закон из­ме­не­ния ско­ро­сти от вре­ме­ни и про­ек­ции ско­ро­сти от вре­ме­ни для рав­но­уско­рен­но­го дви­же­ния:

(t) = + t

(t) = V_0x + a_xt

Если мы знаем закон, по ко­то­ро­му ме­ня­ет­ся ско­рость со вре­ме­нем либо про­ек­ция ско­ро­сти со вре­ме­нем при рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии, как же нам по­лу­чить закон, по ко­то­ро­му ме­ня­ет­ся про­ек­ция пе­ре­ме­ще­ния со вре­ме­нем? Для этого вспом­ним, какой вид имеет гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти от вре­ме­ни при рав­но­уско­рен­ном и рав­но­мер­ном дви­же­нии (Рис. 1):

Рис. 1. Гра­фи­ки за­ви­си­мо­сти ско­ро­сти от вре­ме­ни при рав­но­уско­рен­ном и рав­но­мер­ном пря­мо­ли­ней­ном дви­же­ни­ях

При рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии гра­фик имеет вид пря­мой линии, ухо­дя­щей вверх, так как его про­ек­ция уско­ре­ния боль­ше нуля.

При рав­но­мер­ном пря­мо­ли­ней­ном дви­же­нии пло­щадь чис­лен­но будет равна мо­ду­лю про­ек­ции пе­ре­ме­ще­ния тела. Ока­зы­ва­ет­ся, этот факт можно обоб­щить для слу­чая не толь­ко рав­но­мер­но­го дви­же­ния, но и для лю­бо­го дви­же­ния, то есть по­ка­зать, что пло­щадь под гра­фи­ком чис­лен­но равна мо­ду­лю про­ек­ции пе­ре­ме­ще­ния. Это де­ла­ет­ся стро­го ма­те­ма­ти­че­ски, но мы вос­поль­зу­ем­ся гра­фи­че­ским спо­со­бом.

Рис. 2. Гра­фик за­ви­си­мо­сти ско­ро­сти от вре­ме­ни при рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии

Разо­бьем гра­фик про­ек­ции ско­ро­сти от вре­ме­ни для рав­но­уско­рен­но­го дви­же­ния на неболь­шие про­ме­жут­ки вре­ме­ни Δt. Пред­по­ло­жим, что они так малы, что на их про­тя­же­нии ско­рость прак­ти­че­ски не ме­ня­лась, то есть гра­фик ли­ней­ной за­ви­си­мо­сти на ри­сун­ке мы услов­но пре­вра­тим в ле­сен­ку. На каж­дой ее сту­пень­ке мы счи­та­ем, что ско­рость прак­ти­че­ски не по­ме­ня­лась. Пред­ста­вим, что про­ме­жут­ки вре­ме­ни Δt мы сде­ла­ем бес­ко­неч­но ма­лы­ми. В ма­те­ма­ти­ке го­во­рят: со­вер­ша­ем пре­дель­ный пе­ре­ход. В этом слу­чае пло­щадь такой ле­сен­ки будет неогра­ни­чен­но близ­ко сов­па­дать с пло­ща­дью тра­пе­ции, ко­то­рую огра­ни­чи­ва­ет гра­фик V_x (t). А это зна­чит, что и для слу­чая рав­но­уско­рен­но­го дви­же­ния можно ска­зать, что мо­дуль про­ек­ции пе­ре­ме­ще­ния чис­лен­но равен пло­ща­ди, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком V_x (t): осями абс­цисс и ор­ди­нат и пер­пен­ди­ку­ля­ром, опу­щен­ным на ось абс­цисс, то есть пло­ща­ди тра­пе­ции ОАВС, ко­то­рую мы видим на ри­сун­ке 2.

За­да­ча из фи­зи­че­ской пре­вра­ща­ет­ся в ма­те­ма­ти­че­скую за­да­чу – поиск пло­ща­ди тра­пе­ции. Это стан­дарт­ная си­ту­а­ция, когда уче­ные фи­зи­ки со­став­ля­ют мо­дель, ко­то­рая опи­сы­ва­ет то или иное яв­ле­ние, а затем в дело всту­па­ет ма­те­ма­ти­ка, ко­то­рая обо­га­ща­ет эту мо­дель урав­не­ни­я­ми, за­ко­на­ми – тем, что пре­вра­ща­ет мо­дель в тео­рию.

На­хо­дим пло­щадь тра­пе­ции: тра­пе­ция яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ной, так как угол между осями – 90⁰, разо­бьем тра­пе­цию на две фи­гу­ры – пря­мо­уголь­ник и тре­уголь­ник. Оче­вид­но, что общая пло­щадь будет равна сумме пло­ща­дей этих фигур (рис. 3). Най­дем их пло­ща­ди: пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию сто­рон, то есть V_0x · t, пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка будет равна по­ло­вине про­из­ве­де­ния ка­те­тов – 1/2АD·BD, под­ста­вив зна­че­ния про­ек­ций, по­лу­чим: 1/2t·(V_x - V_0x), а, вспом­нив закон из­ме­не­ния ско­ро­сти от вре­ме­ни при рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии: V_x (t) = V_0x + а_хt, со­вер­шен­но оче­вид­но, что раз­ность про­ек­ций ско­ро­стей равна про­из­ве­де­нию про­ек­ции уско­ре­ния а_х на время t, то есть V_x - V_0x= а_хt.

Рис. 3. Опре­де­ле­ние пло­ща­ди тра­пе­ции

Учи­ты­вая тот факт, что пло­щадь тра­пе­ции чис­лен­но равна мо­ду­лю про­ек­ции пе­ре­ме­ще­ния, по­лу­чим:

S_х(t) = V_0xt + а_хt²/2

Мы с вами по­лу­чи­ли закон за­ви­си­мо­сти про­ек­ции пе­ре­ме­ще­ния от вре­ме­ни при рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии в ска­ляр­ной форме, в век­тор­ной форме он будет вы­гля­деть так:

(t) = t + t² / 2

 

Уравнение координаты. Примеры

Вы­ве­дем еще одну фор­му­лу для про­ек­ции пе­ре­ме­ще­ния, в ко­то­рую не будет вхо­дить в ка­че­стве пе­ре­мен­ной время. Решим си­сте­му урав­не­ний, ис­клю­чив из нее время:

S_x(t) = V_0x + а_хt²/2

V_x(t) = V_0x + а_хt

Пред­ста­вим, что время нам неиз­вест­но, тогда вы­ра­зим время из вто­ро­го урав­не­ния:

t = V_x - V_0x / а_х

Под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние в пер­вое урав­не­ние:

S_x = V_0x · (V_x - V_0x) / а_х + а_х/2· (V_x - V_0x / а_х)²

По­лу­чим такое гро­мозд­кое вы­ра­же­ние, воз­ве­дем в квад­рат и при­ве­дем по­доб­ные:

S_x = 2V_0x · V_x - 2V_0x² + V_x² - 2V_0x · V_x + V_0x² / 2 ах = V_x² - V_0x² / 2ах

Мы по­лу­чи­ли очень удоб­ное вы­ра­же­ние про­ек­ции пе­ре­ме­ще­ния для слу­чая, когда нам неиз­вест­но время дви­же­ния.

Задача: На­чаль­ная ско­рость ав­то­мо­би­ля, когда на­ча­лось тор­мо­же­ние, со­став­ля­ет V₀ = 72 км/ч, ко­неч­ная ско­рость V = 0, уско­ре­ние а = 4 м/с² . Узна­ем длину тор­моз­но­го пути. S_x= 0 - 400(м/с)² / -2 · 4 м/с² = 50 м

Про­ана­ли­зи­ру­ем сле­ду­ю­щую фор­му­лу:

S_x = (V_0x + V_x) / 2 · t

Про­ек­ция пе­ре­ме­ще­ния– это по­лу­сум­ма про­ек­ций на­чаль­ной и ко­неч­ной ско­ро­стей, умно­жен­ная на время дви­же­ния. Вспом­ним фор­му­лу пе­ре­ме­ще­ния для сред­ней ско­ро­сти

S_x = V_ср · t

В слу­чае рав­но­уско­рен­но­го дви­же­ния сред­няя ско­рость будет:

V_ср = (V₀ + V_к) / 2

Мы вплот­ную по­до­шли к ре­ше­нию глав­ной за­да­чи ме­ха­ни­ки рав­но­уско­рен­но­го дви­же­ния, то есть по­лу­че­нию за­ко­на, по ко­то­ро­му ме­ня­ет­ся ко­ор­ди­на­та со вре­ме­нем:

х(t) = х₀ + V_0x t + а_хt²/2

Для того чтобы на­учить­ся поль­зо­вать­ся этим за­ко­ном, раз­бе­рем ти­пич­ную за­да­чу.

4. Пример решения задачи

Лыжник съезжает со склона горы из состояния покоя с ускорением 0,5 м/с² за 20 с и дальше движется по горизонтальному участку, проехав до остановки 40 м. С каким ускорением двигался лыжник по горизонтальной поверхности? Какова длина склона горы?

 

Дано:	Решение
v 01 = 0 a 1 = 0,5 м/с2 t 1 = 20 с s 2 = 40 м v 2 = 0	Движение лыжника состоит из двух этапов: на первом этапе, спускаясь со склона горы, лыжник движется с возрастающей по модулю скоростью; на втором этапе при движении по горизонтальной поверхности его скорость уменьшается. Величины, относящиеся к первому этапу движения, запишем с индексом 1, а ко второму этапу с индексом 2.
a 2? s 1?

Систему отсчета свяжем с Землей, ось X направим по направлению скорости лыжника на каждом этапе его движения Запишем уравнение для скорости лыжника в конце спуска с горы:

v ₁ = v ₀₁ + a ₁ t ₁.

В проекциях на ось X получим: v _{1 x} = a _{1 x} t. Поскольку проекции скоростии ускорения на ось X положительны, модуль скорости лыжника равен: v ₁ = a ₁ t ₁.

Запишем уравнение, связывающее проекции скорости, ускорения и перемещения лыжника на втором этапе движения:

– = 2 a _{2 x} s _{2 x}.

Учитывая, что начальная скорость лыжника на этом этапе движения равна его конечной скорости на первом этапе

v ₀₂ = v ₁, v _{2 x} = 0 получим

– = –2 a ₂ s ₂; (a ₁ t ₁)² = 2 a ₂ s ₂.

Отсюда a ₂ =;

a ₂ = = 0,125 м/с².

Модуль перемещения лыжника на первом этапе движения равен длине склона горы. Запишем уравнение для перемещения:

s _{1 x} = v _{01 x} t +.

Отсюда длина склона горы равна s ₁ =;

s ₁ = = 100 м.

Ответ: a ₂ = 0,125 м/с²; s ₁ = 100 м.